2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高一下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

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2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高一下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

‎2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高一下学期期中考试数学(理)试题 一、单选题 ‎1.的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值,考查基本分析求解能力,属基本题.‎ ‎2.在中,,则 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三角形内角和定理求角,再由正弦定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ 在中,,‎ 则, 由正弦定理,得,解得,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理及其应用,属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.‎ ‎3.若点在角的终边上,且,则( )‎ A.4 B. C.3 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据任意角三角函数的定义构造方程即可解得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得:‎ ‎ ‎ 解得:‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角三角函数的定义,属于基础题.‎ ‎4.下列结论正确的是  ‎ A.若向量,共线,则向量,的方向相同 B.向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上 C.中,D是BC中点,则 D.若,则使 ‎【答案】C ‎【解析】根据向量共线的定义,可知错误;选项忽略了零向量的情况,所以错误;选项可通过向量加法运算得到,所以正确.‎ ‎【详解】‎ 选项:共线,则向量的方向相同或相反,可知错误;‎ 选项:和共线即,则未必在同一条直线上,可知错误;‎ 选项:根据向量线性运算中的加法运算法则,可得,可知正确;‎ 选项:若为非零向量,为零向量,则,此时不存在,使得,可知错误.‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量线性运算、向量共线的定义和性质等,属于基础题.‎ ‎5.已知,则的值域为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】化为利用二次函数求值域即可 ‎【详解】‎ 因为,所以,由,得 ,所以.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式,二次型函数求值域,熟记公式,准确计算是关键,是基础题 ‎6. ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据两角和差的正切公式配凑出,从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用两角和差的正切公式化简求值,是对公式的简单运用,属于基础题.‎ ‎7.先使函数图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的,然后将其图象沿轴向左平移个单位得到的曲线与的图象相同,则的表达式为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】法一:由题意变化后函数解析式为,得令,求得,即可求解;法二:由三角函数图象的平移和伸缩变换得变换前的解析式 ‎【详解】‎ 解法一:‎ ‎,即,‎ 所以令则,∴,即. ‎ 解法二: ‎ 据题意,‎ ‎.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图象的平移和伸缩变换,熟记平移和伸缩变化原则是解题关键,是中档题 ‎8.若向量,的夹角为,且,,则向量与向量的夹角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,设向量与向量的夹角为,,,故选A.‎ ‎9.函数的图象与函数的图象的交点个数是( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出两个函数的图像,由此确定两个图像交点的个数.‎ ‎【详解】‎ 依题意,画出两个函数的图像如下图所示,由图可知,两个函数图像有个交点,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数函数和三角函数的图像的画法,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.‎ ‎10.已知,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据二倍角公式求得,再利用诱导公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角公式、诱导公式的应用,关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.‎ ‎11.已知函数,若方程在上有且只有四个实数根,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】将整理为,根据方程可知或;根据整体所处的范围,可知有四个根需,解不等式求得取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令,则 或 ‎ ‎ 在上有四个实数根 ‎ 解得:‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据方程根的个数求解参数的取值范围的问题,关键是能够根据图象的特点,确定有四个实数根时角所处的范围,从而构造出不等关系求得结果.‎ ‎12.已知、、、是同一平面上不共线的四点,若存在一组正实数、、,使得,则三个角、、( )‎ A.都是钝角 B.至少有两个钝角 C.恰有两个钝角 D.至多有两个钝角 ‎【答案】B ‎【解析】根据,移项得,两边同时点乘,得•0,再根据正实数,和向量数量积的定义即可确定∠BOC、∠COA至少有一个为钝角,同理可证明∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角,∠AOB、∠COA至少有一个为钝角,从而得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎∵λ1λ2λ3,‎ ‎∴,两边同时点乘,得 ‎•,‎ 即||•||cos∠COA+cos∠BOC=﹣0,‎ ‎∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角,‎ 同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角,∠AOB、∠COA至少有一个为钝角,‎ 因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数量积,考查向量的夹角,以及数量积的定义式,同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题 二、填空题 ‎13._________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据诱导公式将所求式子变换成符合两角和差正弦公式的形式,从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确结果:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式化简、两角和差正弦公式的应用问题,属于基础题.‎ ‎14.已知向量,,若向量与共线,则实数_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可求出,根据向量23与共线即可得出2m+2(6+3m)=0,解出m即可.‎ ‎【详解】‎ 解:;‎ ‎∵与共线;‎ ‎∴2m+2(6+3m)=0;‎ 解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量坐标的减法和数乘运算,以及平行向量的坐标关系.‎ ‎15.已知中,三边与面积的关系为,则的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角形面积公式可求解出,根据同角三角函数关系可求得.‎ ‎【详解】‎ 由三角形面积公式可得:‎ ‎ ‎ 本题正确结果:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积公式的应用、同角三角函数关系,关键是能够通过三角形面积公式构造出三角形边角之间的关系,属于基础题.‎ ‎16.函数若 对恒成立,则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,则, ‎ ‎ ,‎ 即对恒成立,‎ 因为是R上的奇函数,也是增函数,‎ 所以 即,‎ 令,则,求其最大值可得,所以,‎ 故填.‎ 点睛:本题综合考查了指数函数的增减性、幂函数的增减性,函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,属于难题.解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时,注意特殊值的使用,可以使问题简单迅速求解,但要注意检验,在处理恒成立问题时,注意利用分离参数求参数的取值范围,注意分离参数后转化为求函数最值问题.‎ 三、解答题 ‎17.在平面直角坐标系中, 已知点,,‎ ‎(1)求以线段,为邻边的平行四边形的两条对角线的长;‎ ‎(2)在中,设是边上的高线, 求点的坐标.‎ ‎【答案】(1)和(2)(一1,2)‎ ‎【解析】(1)由题意求得 ,利用向量的模的运算公式,即可求解.‎ ‎(2)设,根据共线向量,求得 ,进而利用,求得 ‎,即可得出点D的坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,可得,,则 ,‎ 所以,‎ 即两条对角线的长为和 .‎ ‎(2)设点的坐标为,由点在上,设,‎ 则,∴,即 ‎ ‎∴,∵,‎ ‎∴,即,解得,‎ 即点D的坐标为(-1,2)‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的运算,以及共线向量与向量模的应用,其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式,以及共线向量的表示是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.‎ ‎18.(Ⅰ)已知为第二象限,化简;‎ ‎(Ⅱ)化简.‎ ‎【答案】(Ⅰ)原式(Ⅱ)原式=-1‎ ‎【解析】(Ⅰ)由为第二象限,结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解.‎ ‎(Ⅱ)通过切化弦,通分以及两角差的正弦函数化简,然后利用诱导公式以及二倍角公式化简,可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)原式 ‎=‎ ‎=‎ ‎(Ⅱ)原式 ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题,考查三角函数的恒等变形,诱导公式、两角差的三角函数等基本知识的灵活运用,注意公式的正确应用,考查计算能力.‎ ‎19.某校高一年级从某次的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如下的频率分布直方图:‎ ‎(Ⅰ)求这100份数学试卷成绩的众数和中位数;‎ ‎(Ⅱ)从总分在和的试卷中随机抽取2份试卷,求抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率.‎ ‎【答案】(1)100; (2).‎ ‎【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图能求出这100份数学试卷成绩的众数和中位数. ‎ ‎(Ⅱ)总分在[55,65]共有0.002×10×100=2(份),记为A,B,总分在[135,145]的试券共有0.004×10×100=4(份),记为a,b,c,d,利用列举法能求出抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由频率分布直方图得这100份数学试卷成绩的众数为:=100,‎ 记这100份数学试卷成绩的中位数为x,‎ 则0.002×10+0.008×10+0.013×10+0.015×10+(x-95)×0.024=0.5,‎ 解得x=100,‎ ‎∴众数为100,中位数为100.‎ ‎(Ⅱ)总分在[55,65]共有0.002×10×100=2(份),记为A,B,‎ 总分在[135,145]的试券共有0.004×10×100=4(份),记为a,b,c,d,‎ 则从上述6份试卷中随机抽取2份的抽取结果为:‎ ‎{A,B},{A,a},{A,b},{A,c},{A,d},{B,a},{B,b},{B,c},‎ ‎{B,d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},共15个,‎ 相差超过10分的有8种,分别为:‎ ‎{A,a},{A,b},{A,c},{A,d},{B,a},{B,d},{B,c},{B,d},‎ ‎∴抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率p=.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查众数、中位数、概率的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎20.在中,内角所对的边分别为,已知.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若的面积,且,求.‎ ‎【答案】(Ⅰ); (Ⅱ).‎ ‎【解析】(Ⅰ)利用余弦定理正弦定理对化简即得. (Ⅱ)先化简得到,再利用余弦定理求得,再求b+c的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ) ‎ ‎, ,‎ 由正弦定理得,‎ 即 ,‎ ‎ , ,‎ ‎ .‎ ‎(Ⅱ),,‎ ‎,‎ ‎,, 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,考查三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若函数,判断的值域;‎ ‎(2)若关于的方程有实根,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)为非奇非偶函数;值域为;(2)‎ ‎【解析】(1)根据定义域不关于原点对称,可知为非奇非偶函数;利用分离常数的方式可知,根据的范围求得,从而得到的值域;(2)将问题转化为有实根;构造,根据复合函数单调性求得单调性,根据单调性求得的值域,进而得到的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由得定义域为:‎ 因此定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数 有题意知:‎ 当时,‎ 所以 所以函数的值域为 ‎(2)方程有实根,即有实根 构造函数 则 因为函数在上单调递减,而在上单调递增 所以复合函数是上的单调递减函数 所以在上最小值为,最大值为 即,所以当时,方程有实根 ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性的判断、函数值域的求解、根据方程根的情况求解参数范围.解决方程根的个数的问题,关键是能够通过分离变量将问题转化为参数与新函数的交点问题,通过求解值域得到结果.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期;‎ ‎(2)若函数在的最大值为2,求实数的值.‎ ‎【答案】(1) ;(2)或 ‎【解析】(1)根据二倍角公式进行整理化简可得,从而可得最小正周期;(2)将通过换元的方式变为,;讨论对称轴的具体位置,分别求解最大值,从而建立方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)‎ 最小正周期 ‎(2)‎ 令,则 由得 ‎ ‎①当,即时 当时,‎ 由,解得(舍去)‎ ‎②当,即时 当时,‎ 由得,解得或(舍去)‎ ‎③当,即时 当时,,由,解得 综上,或 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题,解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式,再利用对称轴的位置进行讨论;易错点是忽略了换元后自变量的取值范围.‎
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