2019届二轮复习回扣1 集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明课件(53张)(全国通用)

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2019届二轮复习回扣1 集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明课件(53张)(全国通用)

回扣 1  集合、常用逻辑用语、不等式与推理证明 板块四 考前回扣 回归教材 易错提醒 内容索引 回扣训练 回归教材 1. 集合 (1) 集合的运算性质 ① A ∪ B = A ⇔ B ⊆ A ; ② A ∩ B = B ⇔ B ⊆ A ; ③ A ⊆ B ⇔∁ U A ⊇∁ U B . (2) 子集、真子集个数计算公式 对于含有 n 个元素的有限集合 M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2 n ,2 n - 1,2 n - 1,2 n - 2. (3) 集合运算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;若已知的集合是点集,用数形结合法求解;若已知的集合是抽象集合,用 Venn 图求解 . 2. 四种命题及其相互关系 (1) (2) 互为逆否命题的两命题同真同假 . 3. 含有逻辑联结词的命题的真假 (1) 命题 p ∨ q :若 p , q 中至少有一个为真,则命题为真命题,简记为:一真则真 . (2) 命题 p ∧ q :若 p , q 中至少有一个为假,则命题为假命题, p , q 同为真时,命题才为真命题,简记为:一假则假,同真则真 . (3) 命题 綈 p :与命题 p 真假相反 . 4. 全称命题、特称 ( 存在性 ) 命题及其否定 (1) 全称命题 p : ∀ x ∈ M , p ( x ) ,其否定为特称 ( 存在性 ) 命题 綈 p : ∃ x 0 ∈ M , 綈 p ( x 0 ). (2) 特称 ( 存在性 ) 命题 p : ∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 ) ,其否定为全称命题 綈 p : ∀ x ∈ M , 綈 p ( x ). 5. 充分条件与必要条件的三种判定方法 (1) 定义法:正、反方向推理,若 p ⇒ q ,则 p 是 q 的充分条件 ( 或 q 是 p 的必要条件 ) ;若 p ⇒ q ,且 q ⇏ p ,则 p 是 q 的充分不必要条件 ( 或 q 是 p 的必要不充分条件 ). (2) 集合法:利用集合间的包含关系 . 例如,若 A ⊆ B ,则 A 是 B 的充分条件 ( B 是 A 的必要条件 ) ;若 A  B ,则 A 是 B 的充分不必要条件 ( B 是 A 的必要不充分条件 ) ;若 A = B ,则 A 是 B 的充要条件 . (3) 等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题 . 6. 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤:一化 ( 将二次项系数化为正数 ) ;二判 ( 判断 Δ 的符号 ) ;三解 ( 解对应的一元二次方程 ) ;四写 ( 大于取两边,小于取中间 ). 解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论,往往从以下几个方面来考虑: ① 二次项系数,它决定二次函数的开口方向; ② 判别式 Δ ,它决定根的情形,一般分 Δ >0 , Δ = 0 , Δ <0 三种情况; ③ 在有根的条件下,要比较两根的大小 . 7. 一元二次不等式的恒成立问题 (2) 在利用基本不等式求最值时,要特别注意 “ 拆、拼、凑 ” 等技巧,满足基本不等式中 “ 正 ” 、 “ 定 ” 、 “ 等 ” 的条件 . 10. 线性规划 (1) 可行域的确定, “ 线定界,点定域 ”. (2) 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得 . (3) 线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得,这时满足条件的最优解有无数多个 . 11. 推理 推理分为合情推理与演绎推理,合情推理包括归纳推理和类比推理;演绎推理的一般模式是三段论 . 合情推理的思维过程 (1) 归纳推理的思维过程 12. 证明方法 (1) 分析法的特点:从未知看需知,逐步靠拢已知 . 推理模式 框图表示 (2) 综合法的特点:从已知看可知,逐步推出未知 . 推理模式 (3) 反证法 一般地,假设原命题不成立 ( 即在原命题的条件下,结论不成立 ) ,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法 . 易错提醒 1. 描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义 —— 抓住集合的代表元素 . 如 { x | y = lg x }—— 函数的定义域; { y | y = lg x }—— 函数的值域; {( x , y )| y = lg x }—— 函数图象上的点集 . 2. 易混淆 0 , ∅ , {0} : 0 是一个实数; ∅ 是一个集合,它含有 0 个元素; {0} 是以 0 为元素的单元素集合,但是 0 ∉∅ ,而 ∅⊆ {0}. 3. 集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性 . 4. 空集是任何集合的子集 . 由条件 A ⊆ B , A ∩ B = A , A ∪ B = B 求解集合 A 时,务必分析研究 A = ∅ 的情况 . 5. 区分命题的否定与否命题,已知命题为 “ 若 p ,则 q ” ,则该命题的否定为 “ 若 p ,则 綈 q ” ,其否命题为 “ 若 綈 p ,则 綈 q ”. 6. 在对全称命题和特称 ( 存在性 ) 命题进行否定时,不要忽视对量词的改变 . 7. 对于充分、必要条件问题,首先要弄清谁是条件,谁是结论 . 8. 判断命题的真假要先明确命题的构成 . 由命题的真假求某个参数的取值范围,还可以从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算 . 9. 不等式两端同时乘一个数或同时除以一个数时,如果不讨论这个数的正负,容易出错 . 10. 解形如 ax 2 + bx + c >0( a ≠ 0) 的一元二次不等式时,易忽视系数 a 的讨论导致漏解或错解,要注意分 a >0 , a <0 进行讨论 . 13. 解线性规划问题,要注意边界的虚实;注意目标函数中 y 的系数的正负;注意最优整数解 . 15. 类比推理易盲目机械类比,不要被表面的假象 ( 某一点表面相似 ) 迷惑,应从本质上类比 . 用数学归纳法证明时,易盲目以为 n 0 的起始值为 1 ,另外注意证明传递性时,必须用 n = k 成立的归纳假设 . 回扣训练 1. 已知集合 M = { x |log 2 x <3} , N = { x | x = 2 n + 1 , n ∈ N } ,则 M ∩ N 等于 A.(0,8) B .{3,5,7} C.{0,1,3,5,7} D .{1,3,5,7} 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 √ 解析  ∵ M = { x |0< x <8} , 又 N = { x | x = 2 n + 1 , n ∈ N } , ∴ M ∩ N = {1,3,5,7} ,故选 D. 2. 下面几种推理过程是演绎推理的是 A. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B. 所有的金属都能够导电,铀是金属,所以铀能够导电 C. 高一参加军训的有 12 个班, 1 班 51 人, 2 班 53 人, 3 班 52 人,由此 推测 各 班都超过 50 人 D. 在数列 { a n } 中, a 1 = 2 , a n = 2 a n - 1 + 1( n ≥ 2) ,由此归纳出 { a n } 的 通项 公式 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析  A. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质为类比推理 . B. 所有的金属都能够导电,铀是金属,所以铀能够导电 . 由一般到特殊,为演绎推理 . C. 高一参加军训的有 12 个班, 1 班 51 人, 2 班 53 人, 3 班 52 人,由此推测各班都超过 50 人,为归纳推理 . D. 在数列 { a n } 中, a 1 = 2 , a n = 2 a n - 1 + 1( n ≥ 2) ,由此归纳出 { a n } 的通项公式,为归纳推理 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 3. 用反证法证明命题:三角形的内角中至少有一个是钝角 . 假设正确的是 A. 假设至少有一个是钝角 B. 假设至少有两个是钝角 C. 假设没有一个是钝角 D. 假设没有一个是钝角或至少有两个是钝角 答案 √ 解析 解析  原命题的结论为至少有一个是钝角,则反证法需假设结论的反面 . “ 至少有一个 ” 的反面为 “ 没有一个 ” ,即假设没有一个是钝角 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 4. 已知集合 A = { y | y = sin x , x ∈ R } ,集合 B = { x | y = lg x } ,则 ( ∁ R A ) ∩ B 为 A.( - ∞ ,- 1) ∪ (1 ,+ ∞ ) B .[ - 1,1] C.(1 ,+ ∞ ) D .[1 ,+ ∞ ) 答案 √ 解析 解析  因为 A = { y | y = sin x , x ∈ R } = [ - 1,1] , B = { x | y = lg x } = (0 ,+ ∞ ) , 所以 ( ∁ R A ) ∩ B = (1 ,+ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 5.(2016· 全国 Ⅰ ) 若 a > b >1,0< c <1 ,则 A. a c < b c B. ab c < ba c C. a log b c < b log a c D.log a c b >1 ⇒ a c > b c ,故 A 错; 对于 B :由于- 1< c - 1<0 , ∴ 函数 y = x c - 1 在 (1 ,+ ∞ ) 上单调递减, ∴ a > b >1 ⇔ a c - 1 < b c - 1 ⇔ ba c < ab c ,故 B 错; 对于 C :要比较 a log b c 和 b log a c , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 只需比较 b ln b 和 a ln a . 构造函数 f ( x ) = x ln x ( x >1) , 则 f ′ ( x ) = ln x + 1>1>0 , ∴ f ( x ) 在 (1 ,+ ∞ ) 上单调递增, 又由 0< c <1 ,得 ln c <0 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 对于 D :要比较 log a c 和 log b c , 而函数 y = ln x 在 (1 ,+ ∞ ) 上单调递增, 又由 0< c <1 ,得 ln c <0 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 6. 设有两个命题,命题 p :关于 x 的不等式 ( x - 3 )· ≥ 0 的解集为 { x | x ≥ 3} ;命题 q :若函数 y = kx 2 - kx - 8 的值恒小于 0 ,则- 32< k <0 ,那么 A. “ p 且 q ” 为真命题 B . “ p 或 q ” 为真命题 C. “ 綈 p ” 为真命题 D . “ 綈 q ” 为假命题 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 所以命题 p 为假命题 . 若函数 y = kx 2 - kx - 8 的值恒小于 0 , 则 - 32< k ≤ 0 , 所以 命题 q 也是假命题 , 所以 “ 綈 p ” 为真命题 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 p 1 : ∀ ( x , y ) ∈ D , z ≥ 1; p 2 : ∃ ( x 0 , y 0 ) ∈ D , z ≥ 1 ; p 3 : ∀ ( x , y ) ∈ D , z ≤ 2; p 4 : ∃ ( x 0 , y 0 ) ∈ D , z <0. 其中为真命题的是 A. p 1 , p 2 B. p 1 , p 3 C. p 1 , p 4 D. p 2 , p 3 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析  作出可行域如图阴影部分所示, 可知与 C 连线斜率最小,与 B 连线斜率最大 , 联立方程 可得 C (2,1) , B (1,3) , 所以 p 2 , p 3 为真命题,故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 8. 设命题甲: ax 2 + 2 ax + 1>0 的解集是实数集 R ;命题乙: 0< a <1 ,则命题甲是命题乙成立的 A. 充分不必要条件 B . 充要条件 C. 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析   由命题甲: ax 2 + 2 ax + 1>0 的解集是实数集 R 可知 , 当 a = 0 时,原式= 1>0 恒成立, 解得 0< a <1 ,所以 0 ≤ a <1 , 所以由甲不能推出乙,而由乙可推出甲 , 因此 命题甲是命题乙成立的必要不充分条件,故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 x 2 + y 2 是可行域上的动点 ( x , y ) 到原点 (0,0) 距离的平方 , 显然 ,当 x = 3 , y =- 1 时, x 2 + y 2 取得最大值,最大值为 10. 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析 11. 下列四个结论: ① 若 x >0 ,则 x >sin x 恒成立; ② 命题 “ 若 x - sin x = 0 ,则 x = 0 ” 的逆否命题为 “ 若 x ≠ 0 ,则 x - sin x ≠ 0 ” ; ③“ 命题 p ∧ q 为真 ” 是 “ 命题 p ∨ q 为真 ” 的充分不必要条件; ④ 命题 “ ∀ x ∈ R , x - ln x >0 ” 的否定是 “ ∃ x 0 ∈ R , x 0 - ln x 0 <0 ”. 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析  对于 ① ,令 y = x - sin x ,则 y ′ = 1 - cos x ≥ 0 ,则函数 y = x - sin x 在 R 上单调递增,则当 x >0 时, x - sin x >0 - 0 = 0 ,即当 x >0 时, x >sin x 恒成立,故 ① 正确; 对于 ② ,命题 “ 若 x - sin x = 0 ,则 x = 0 ” 的逆否命题为 “ 若 x ≠ 0 ,则 x - sin x ≠ 0 ” ,故 ② 正确; 对于 ③ ,命题 p ∨ q 为真即 p , q 中至少有一个为真, p ∧ q 为真即 p , q 都为真,可知 “ p ∧ q 为真 ” 是 “ p ∨ q 为真 ” 的充分不必要条件,故 ③ 正确; 对于 ④ ,命题 “ ∀ x ∈ R , x - ln x >0 ” 的否定是 “ ∃ x 0 ∈ R , x 0 - ln x 0 ≤ 0 ” ,故 ④ 错误 . 综上,正确结论的个数为 3 ,故选 C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 12. 下列类比推理的结论不正确的是 ① 类比 “ 实数的乘法运算满足结合律 ” ,得到猜想 “ 向量的数量积运算满足结合律 ” ; ② 类比 “ 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,则 S 4 , S 8 - S 4 , S 12 - S 8 成等差数列 ” ,得到猜想 “ 设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ,则 T 4 , 成 等比数列 ” ; ③ 类比 “ 平面内,垂直于同一条直线的两直线相互平行 ” ,得到猜想 “ 空间中,垂直于同一条直线的两直线相互平行 ” ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析 ④ 类比 “ 设 AB 为圆的直径, P 为圆上任意一点,直线 PA , PB 的斜率存在,则 k PA · k PB 为常数 ” ,得到猜想 “ 设 AB 为椭圆的长轴, P 为椭圆上任意一点,直线 PA , PB 的斜率存在,则 k PA · k PB 为常数 ”. A. ①④ B . ①③ C. ②③ D. ②④ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 ① 类比 “ 实数的乘法运算满足结合律 ” ,得到猜想 “ 向量的数量积运算满足结合律 ” 不成立,即 ( a · b )· c ≠ a ·( b · c ) ,这是由向量数量积的定义决定的 . ③ 类比 “ 平面内,垂直于同一条直线的两直线相互平行 ” ,得到猜想 “ 空间中,垂直于同一条直线的两直线相互平行 ” 不成立,空间中可能出现相交,异面的情况 . 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 当 a = 0 时,显然不成立, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解得 9< a ≤ 25 ,当 a <0 时,不符合条件 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 故 m ≤ (tan x + 1) min , ∴ m ≤ 0 ,故实数 m 的最大值为 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 答案 解析 15. 在平面上,如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有 c 2 = a 2 + b 2 . 猜想若正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O - LMN ,如果用 S 1 , S 2 , S 3 表示三个侧面面积, S 4 表示截面面积,那么类比得到的结论是 __________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析   将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析 16. 要制作一个容积为 4 m 3 ,高为 1 m 的无盖长方体容器 . 已知该容器的底面造价是 20 元 / m 2 ,侧面造价是 10 元 / m 2 ,则该容器的最低总造价是 ________ 元 . 答案 160 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15 解析  由题意知,体积 V = 4 m 3 ,高 h = 1 m , 所以底面积 S = 4 m 2 ,设底面矩形的一条边长是 x m , 又设总造价是 y 元, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 16 15
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