2018-2019学年吉林省实验中学高一上学期期中考试数学试题

2018-2019学年吉林省实验中学高一上学期期中考试数学试题

x y O 3 ` －3 3 2` 1 2018-2019 学年吉林省实验中学高一上学期期中考试数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．） （1）已知集合 A＝{x | 2≤x＜4}，B＝{x | 3x－7≥8－2x}，则 A∪B＝ A．{x | 3≤x＜4} B．{x | x≥2} C．{x | 2≤x＜4} D．{x | 2≤x≤3} （2）已知集合 A＝{x∈Z | x2＋x－2＜0}，则集合 A 的一个真子集为 A．{x | －2＜x＜0} B．{x | 0＜x＜2} C．{0} D．{Ø} （3）下列各组函数中，f(x)与 g(x)是相同函数的是（e 为自然对数的底数） A．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 B．f(x)＝x2 x ，g(x)＝x C．f(x)＝lnx2，g(x)＝2lnx D．f(x)＝ 1 1e ex x  ，g(x)＝e2x （4）下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是 A．f(x)＝1 x B．f(x)＝lg(x－1) C．f(x)＝2x2－1 D．f(x)＝x＋1 x （5）已知函数 f(x)的定义域为[0，1]，则函数 f(2x－1)的定义域为 A．[－1，1] B．[1 2 ，1] C．[0，1] D．[－1 2 ，1] （6）已知定义在[－3，3]上的函数 y＝f(x)，其图象如图所示． 则只有唯一的 x 值与之对应的 y 的取值范围是 A．(3，＋∞) B．[0，2)∪[3，＋∞) C．(0，＋∞) D．[0，1)∪(3，＋∞) （7）已知函数 f(x＋1)＝x2＋2x，则 f(x)的解析式为 A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋2x－1 C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1 （8）三个数 20.3，0.32，log0.32 的大小顺序是 A．0.32＜log0.32＜20.3 B．0.32＜20.3＜log0.32 C．log0.32＜20.3＜0.32 D．log0.32＜0.32＜20.3 （9）函数 f(x)＝ ex－1 ex＋1 （e 为自然对数的底数）的值域为 A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，0)∪(0，1) （10）函数 f(x)＝ 2 4 3 1 2 x x       的单调减区间为 A．(－∞，2] B．[1，2] C．[2，＋∞) D．[2，3] （11）已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足以下两个条件：①在(－∞，0]上单调递减；②f(1) ＝－2．则使不等式 f(x＋1)≤－2 成立的 x 的取值范围是 A．[－3，1] B．(－∞，0] C．[－2，0] D．[0，+∞) （12）设 f(x)＝ (1－2a)x，x≤1 logax＋1 3 ，x＞1 ．若存在 x1，x2∈R，x1 ≠x2，使得 f(x1)＝f(x2)成立， 则实数 a 的取值范围是 A．(0，1 3 ) B．(1 3 ，1 2 ) C．(0，1 2 ) D．(1 4 ，1 3 ) 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分．） （13）函数 y＝loga(x－1)＋1(a＞0，且 a≠1)恒过定点 ． （14）函数 f(x)＝ 3－x lg(x－1) 的定义域为 ． （15）定义域为 R 的函数 f(x)，对任意实数 x 均有 f(－x)＝－f(x)，f(2－x)＝f(2＋x)成 立，若当 2＜x＜4 时，f(x)＝2x－3＋log2(x－1)，则 f(－1)＝ ． （16）已知函数 f(x)＝lg(x＋a x －2)，若对任意 x∈[2，＋∞)，不等式 f(x)＞0 恒成立，则 a 的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共 6 小题，其中 17 小题 10 分，18~22 小题每小题 12 分；解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤．） （17）（本小题 10 分） 已知集合 A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}． （Ⅰ）当 m＝－3 时，求( ARð )∩B； （Ⅱ）当 A∩B＝B 时，求实数 m 的取值范围． （18）（本小题 12 分） 计算下列各式的值： （Ⅰ） 1 20 15 5335 2 49 34 3 5                     ； （Ⅱ） 3 34 log 4 3 27log lg25 3 lg43    ． （19）（本小题 12 分） 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝x2－x＋1． （Ⅰ）求 f(0)的值； （Ⅱ）求 f(x)在 R 上的解析式． （20）（本小题 12 分） 解关于 x 的不等式：x2－(a＋1 a )x＋1≤0 (a∈R，且 a≠0) （21）（本小题 12 分） 已知函数 f(x)的定义域是 R，对任意实数 x，y，均有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当 0x  时， f(x)＞0． （Ⅰ）证明：f(x)在 R 上是增函数； （Ⅱ）判断 f(x)的奇偶性，并证明； （Ⅲ）若 f(－1)＝－2，求不等式 f(a2＋a－4)＜4 的解集． （22）（本小题 12 分） 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)＝kax－a－x a2－1 (a＞0，且 a≠1)． （Ⅰ）求 k 的值； （Ⅱ）当 m∈[0，1]，n∈[－1，0]时，不等式 f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0 恒成立，求 t 的取值范围． 吉林省实验中学 2018---2019 学年度上学期 高一年级数学学科期中考试参考答案 第 Ⅰ 卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B C D C B D C D A B C B 第 Ⅱ 卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分．） （13）(2，1)； （14）(1，2)∪(2，3]； （15）－2； （16）(2，＋∞)． 三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） （17）（本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ）当 m＝－3 时， ＝{x|x＜－3 或 x＞4}，B＝{x|－7≤x≤－2}， …………2 分 ∴( )∩B＝{x|－7≤x＜－3}． …………4 分 （Ⅱ）由 A∩B＝B 可知，B ⊆ A． …………5 分 当 2m－1＞m＋1 时，即 m＞2 时，B＝Ø，满足 B ⊆ A； …………7 分 当 2m－1≤m＋1 时，即 m≤2 时，B≠Ø，若 B ⊆ A， 则2m－1≥－3， m＋1≤4， 解得－1≤m≤3， 又 m≤2，∴－1≤m≤2. …………9 分 综上所述，m 的取值范围是[－1，＋∞)． …………10 分 （18）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）原式＝ ； …………6 分 （Ⅱ）原式＝ ． …………12 分 （19）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． 令 x＝0，得：f(－0)＝－f(0)，即 f(0)＝0 …………4 分 （Ⅱ）当 x＜0 时，－x＞0， f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－(－x)＋1]＝－x2－x－1． …………10 分 ∵当 x＞0 时，f(x)＝x2－x＋1，且 f(0)＝0， ∴f(x)在 R 上的解析式为 f(x)＝ 0，x＝0x2－x＋1，x＞0 …………12 分 （20）（本小题满分 12 分） 解：不等式可化为：(x－a)(x－1a)≤0． 令(x－a)(x－1a)＝0，可得：x＝a 或 x＝1a． …………2 分 ①当 a＞1a，即－1＜a＜0 或 a＞1 时，不等式的解集为[1a，a]； …………5 分 ②当 a＜1a，即 a＜－1 或 0＜a＜1 时，不等式的解集为[a，1a]； …………8 分 ③当 a＝1a，即 a＝－1 或 a＝1 时， （i）若 a＝－1，则不等式的解集为{－1}； （ii）若 a＝1，则不等式的解集为{1}． …………11 分 综上，当－1＜a＜0 或 a＞1 时，不等式的解集为[1a，a]； 当 a＜－1 或0＜a＜1 时，不等式的解集为[a，1a]； 当 a＝－1 时，不等式的解集为{－1}； 当 a＝1 时，不等式的解集为{1}； …………12 分 （21）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）证明：设 x1＜x2，则 x2－x1＞0， ∵当 x＞0 时，f(x)＞0，∴f(x2－x1)＞0， ∵f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)， ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即 f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在 R 上是增函数． …………4 分 （Ⅱ）解：在条件中，令 y＝－x，得 f(0)＝f(x)＋f(－x)， 再令 x＝y＝0，则 f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，故 f(－x)＝－f(x)， 即 f(x)为奇函数． …………8 分 （Ⅲ）解：∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝2，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝4， ∴不等式可化为 f(a2＋a－4)＜f(2)， 又∵f(x)为 R 上的增函数， ∴a2＋a－4＜2，即 a∈(－3，2)． …………12 分 （22）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由 f(x)＋f(－x)＝0，得kax－a－xa2－1 ＋ka－x－axa2－1 ＝0， 即kax－a－x＋ka－x－axa2－1 ＝0，即ax＋a－xa2－1 ＝0， 所以 k＝1． …………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)＝ax－a－xa2－1 ． ①当 a＞1 时，a2－1＞0，y＝ax 与 y＝－a－x 在 R 上都是增函数， 所以函数 f(x)在 R 上是增函数； ②当 0＜a＜1 时，a2－1＜0，y＝ax 与 y＝－a－x 在 R 上都是减函数， 所以函数 f(x)在 R 上是增函数． 综上，f(x)在 R 上是增函数． （此结论也可以利用单调性的定义证明） …………8 分 不等式 f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0 可化为 f(2n2－m＋t)＞－f(2n－mn2)， ∵函数 f(x)是奇函数， ∴不等式可化为 f(2n2－m＋t)＞f(－2n＋mn2)； 又∵f(x)在 R 上是增函数． ∴2n2－m＋t＞－2n＋mn2 …………10 分 即 t＞(n2＋1)m－2n2－2n，对于 m∈[0，1]恒成立． 设 g(m)＝(n2＋1)m－2n2－2n，m∈[0，1]． 则 t＞g(m)max＝g(1)＝－n2－2n＋1 所以 t＞－n2－2n＋1，对于 n∈[－1，0]恒成立． …………11 分 设 h(n)＝－n2－2n＋1，n∈[－1，0]． 则 t＞h(n)max＝h(－1)＝2． 所以 t 的取值范围是(2，＋∞)． …………12 分