2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版)

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版)

南昌二中2017—2018学年度上学期期末考试 高二数学（理）试卷 命题人：周启新 审题人：姚翠兰 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）‎ ‎1．证明不等式“”最适合的方法是（ ）‎ A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．数学归纳法 ‎2．命题“，使得”的否定形式是（ ）‎ A．，使得 ‎ B．，使得 ‎ C．，使得 ‎ D．，使得 ‎3．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ ‎ A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．经过点且与双曲线有同渐近线的双曲线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．设，，都是正数，则三个数，，（ ）‎ A． 至少有一个不小于2 B．至少有一个大于2 ‎ C．都大于2 D．至少有一个不大于2‎ ‎7．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．在下列结论中，正确的结论为（ ）‎ ‎①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件 ‎②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件 ‎③“p或q”为真是“”为假的必要不充分条件 ‎④“”为真是“p且q”为假的必要不充分条件 A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ ‎9．若不等式的解集为，则曲线与直线及直线，所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，‎ 则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数是定义在的可导函数， 为其导函数，当且 时, ,若曲线在处的切线的斜率为,则 （ ）‎ A． B．‎0 ‎ C． D．1‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知，，是虚数单位，若，‎ 则复数的模 ；‎ ‎14．已知函数，则 ；‎ ‎15．在平面直角坐标系中，的顶点，分别是离心率为的圆锥曲线 的焦点，顶点在该曲线上．一同学已正确地推得：当时，有 ‎．类似地，当，时，有____________；‎ ‎16．共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为，，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则的最大值为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数在处有极值.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数在区间上有且仅有一个零点,求实数的取值范围.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前n项和满足：，且.‎ ‎(I)求；‎ ‎(Ⅱ)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设顶点在原点，焦点在轴上的拋物线过点，过作抛物线的动弦，，并设它们的斜率分别为，.‎ ‎(Ⅰ)求拋物线的方程；‎ ‎(Ⅱ)若，求证：直线的斜率为定值，并求出其值；‎ ‎（III）若，求证：直线恒过定点，并求出其坐标.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数（）在其定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎(Ⅰ)求实数的取值范围； ‎ ‎(Ⅱ)记两个极值点分别为，（），求证：.‎ 南昌二中2017—2018学年度上学期高二期末考试 数学理参考答案 一、选择题 ‎ BDCAC AABDA BC 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）将方程消去参数得，‎ ‎∴曲线的普通方程为，‎ 将代入上式可得，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为： ．………5分 ‎（Ⅱ）设两点的极坐标方程分别为,‎ 由消去得，‎ 根据题意可得是方程的两根，‎ ‎∴，‎ ‎∴． ………10分 ‎18．解：（Ⅰ） ，，即得，得.………5分 ‎（Ⅱ）∵，∴ .‎ ‎∵，且存在实数使，‎ ‎∴.………………12分 ‎19．解: (Ⅰ) ，由题意知: ,得a=, …… 2分 ∴, 令,得或, 令,得, ∴的单调递增区间是和, 单调递减区间是……… 6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,, 为函数的极大值,为极小值 ………………… 8分 又∵f(-3)=f(0)=b 要使得函数在区间上有且仅有一个零点 ‎ 则, 即 , ∴,‎ 即的取值范围是 …………………… 12分 ‎20．解： (Ⅰ)，所以.‎ 又因为，所以 ‎，所以 ‎，所以 …………………… 5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想，.…………………… 6分 下面用数学归纳法加以证明：‎ ‎①当时，由（1）知成立．‎ ‎②假设()时，成立．‎ 当时，‎ 所以,解得：，‎ 所以 即当时猜想也成立．‎ 综上可知，猜想对一切都成立．…………………… 12分]‎ ‎21．解：(Ⅰ)依题意，可设所求拋物线的方程为,‎ 因拋物线过点，故，拋物线的方程为. …………… 2分 ‎(Ⅱ)设，则，‎ 同理 ‎ ‎,∴，.‎ ‎，即直线的斜率恒为定值，且值为. …………… 7分 ‎（III），∴，∴. ‎ 直线的方程为 ，即. ‎ 将代入上式得即为直线的方程，‎ 所以直线恒过定点，命题得证. …………… 12分 ‎22．解：（Ⅰ）依题，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根，即，方程在有两个不同根.转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点，可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须.‎ 令切点，所以，又，所以，‎ 解得，，于是，所以.………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，分别是方程的两个根，即.‎ 作差得，，即.‎ 所以不等式，等价于，………………8分 下面先证，即证，‎ 令，∵，∴，即证（），‎ 令（），则，‎ ‎∴在上单调递增，∴，‎ 即得证，从而得证；………………10分 再证，即证，即证（），‎ 令（），则，‎ ‎∴在上单调递减，∴，‎ 即得证，从而得证，‎ 综上所述，成立，即.………………12分