【数学】2018届一轮复习北师大版不等式教案
第4讲 不等式
不等式的解法 自主练透 夯实双基
1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
[题组通关]
1．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是( )
A.∪
B.
C.∪
D.
A [解析] 由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，
又其解集是(－1，3)，
所以a＜0，且
解得a＝－1或(舍去)，
所以a＝－1，b＝－3，所以f(x)＝－x2＋2x＋3，
所以f(－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0，
解得x＞或x＜－，故选A.
2．设函数f(x)＝，若f(x0)>2，则x0的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－1)∪
C．(－∞，－1)∪
D．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
B [解析] 不等式f(x0)>2可化为或，解得x0>或x0<－1，故选B.
3．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．
[解析] 当a＝2时，不等式化为－4<0，恒成立；
当a≠2时，由条件知，
解得－2
1时，目标函数直线经过点(
－2，－1)时，zmin＝－2k＋1＝－5，k＝3适合，故k＝±3，选项D正确．
3．(2016·山西高三考前质检)设实数x，y满足，则的最小值是________．
[解析] 如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而表示区域内一点(x，y)与点D(1，1)连线的斜率，所以当x＝，y＝时，有最小值为－.
[答案] －
基本不等式及其应用 共研典例 类题通法
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)．
(1)(2016·合肥第二次质检)若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)已知x，y为正实数，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是( )
A．3 B.
C．4 D.
【解析】 (1)因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a时取等号，选项C正确．
(2)由x＋y＋＋＝5，得5＝x＋y＋，因为x>0，y>0，所以5≥x＋y＋＝x＋y＋，所以(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，所以x＋y的最大值是4.
【答案】 (1)C (2)C
求条件最值问题的两种方法
一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.
[题组通关]
1．(2016·湖南七市(州)协作体联考)已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是( )
A．9 B.
C．4 D.
B [解析] 将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r＝，故直线过圆心，即a＋2b＝6，所以a＋2b＝6≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B.
2．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为( )
A．1 B.
C．2 D.
B [解析] 2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝4＋2a，
由题意可知4＋2a≥7，得a≥，即实数a的最小值为，故选B.
3．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
[解析] 由题意得，y＝，所以2x＋y＝2x＋＝＝≥3，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
[答案] 3
课时作业
[基础达标]
1．“00的解集是实数集R”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [解析] 当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠0时，故ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，等价于0≤a<1.因此，“00的解集是实数集R”的充分不必要条件．
2．(2016·河南六市第一次联考)若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2|a＋b|
D [解析] 由题可知b(ab)max，又ab<＝1(a≠b)，所以m≥1.
4．如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－10，则－t2＋
t≤3，t2－t＋3≥0，解得t>0，所以t≥－2，即原不等式等价于或，解得x≤2.
[答案] (－∞，2]
16．(2016·高考全国卷乙)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
[解析] 由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，
线性约束条件为作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
[答案] 216 000
[能力提升]
1．(2016·河南六市第一次联考)实数x，y满足，使z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为( )
A．0 B．－2
C．1 D．－1
A [解析] 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，所以－a＝1，a＝－1，所以当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0，故选A.
2．(2016·湖北七市(州)协作体联考)设向量a＝(1，k)，b＝(x，y)，记a与b的夹角为θ.若对所有满足不等式|x－2|≤y≤1的x，y，都有θ∈，则实数k的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－1，0)∪(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－1，0)∪(1，＋∞)
D [解析] 首先画出不等式|x－2|≤y≤1所表示的区域，如图阴影部分所示，令z＝a·b＝x＋ky，所以问题等价于当可行域为△ABC时，z>0恒成立，且a与b方向不相同，将△ABC的三个端点值代入，即，解得k>－1，当a与b方向相同时，1·y＝x·k，则k＝∈[0，1]，所以实数k的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D.
3．(2016·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：
解： 由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2，1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2，1)．
参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式＋<0的解集为________．
[解析] 不等式＋<0，可化为＋<0，故得－1<<－或<<1，解得－31，不合题意；当x∈[1，2)时，[x]＝1，不等式为0<0，无解，不合题意；当x∈[2，3]时，[x]>1，所以不等式([x]－1)x<[x]2－1等价于x<[x]＋1，此时恒成立，所以此时不等式的解为2≤x≤3，所以当0≤x≤3时，不等式f(x)
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