【数学】四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期期末模拟考试（理）

【数学】四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二下学期期末模拟考试（理）

四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年 高二下学期期末模拟考试（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知是虚数单位，复数，则的虚部为 A． B． C． D．‎ ‎2．设命题，则是 A． B． C． D．‎ ‎3．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎4．某公司在十周年庆典中有一个抽奖活动，主持人将公司150名员工随机编号为001，002，003，…，150，采用系统抽样的方法从中抽取5名幸运员工.已知抽取的幸运员工中有一编号为035，那么以下编号中不是幸运员工编号的是 A．005 B．095 C．125 D．135‎ ‎5．在上可导，则是函数在点处有极值的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎6．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则 图中空白框中应填入 ‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎7．将一长为4，宽为2的矩形沿、的中点、连线折成如图所示的几何体，若折叠后，则该几何体的正视图面积为 A．4 B． C．2 D．‎ ‎8．函数的图象大致为 A．B．C．D．‎ ‎9．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有 A．种 B．种 C．种 D．种 ‎10．若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为.‎ A．或 B． C．或2 D．‎ ‎11．若函数在区间和上均为增函数,则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎12．点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离为 A．1 B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．在（x）6的展开式中，x3的系数为_____．‎ ‎14．设第一象限内的点(x，y)满足约束条件,若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为40，则＋的最小值为_____.‎ ‎15．若是函数的极值点，则在上的最小值为______.‎ ‎16．已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．(12分)已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若在处的切线斜率为，求的值；‎ ‎（II）若在处取得极值，求的值及的单调区间.‎ ‎18．（12分） 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．‎ ‎（Ⅰ）完成下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男 ‎55‎ 女 合计 ‎（II）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差．‎ 附表：‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 参考公式：‎ ‎19．（12分）在如图所示的几何体中，平面平面，△为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，，，，‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值.‎ ‎20．（12分）已知椭圆经过点，且离心率为，过其右焦点F的直线交椭圆C于M，N两点，交y轴于E点．若，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断是否是定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（II）求证：时，.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）若不等式的解集包含，求的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．C 2．D 3．A 4．D 5．B 6．D 7．B 8．D 9．A 10．A ‎11．D 12．D ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．解：（1）因为，故，因为在点处的切线斜率为，‎ 所以，即，解得 ‎（2）因为在处取得极值，所以，‎ 即，解得，所以（），‎ 令，即，解得，‎ 当，；当且，；当，， ‎ 所以的单调递增区间为和；单调递减区间为和.‎ ‎18．（1）根据已知数据得到如下列联表：‎ 有兴趣 没有兴趣 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 根据列联表中的数据，得到，，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.1的前提下可以认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.‎ ‎（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生，对冰球有兴趣的概率是，‎ 由题意知，从而X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎， .‎ ‎19．（1） 因为，，‎ 所以四边形是平行四边形．‎ 所以．‎ 因为 平面，平面，‎ 所以 平面．即证.‎ ‎（2）取的中点，连接，‎ 因为，所以．‎ 因为平面平面，平面，‎ 平面平面，‎ 所以平面．‎ 以点为坐标原点，分别以直线，为轴，‎ 轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ‎ 则轴在平面内．‎ 因为， ，‎ 所以，，，，‎ 则 ，．‎ 设平面的法向量为，由 得 ‎ 令，解得，，得．‎ 由题意得平面的法向量为，所以．‎ 又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值是 ．‎ ‎20．（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，．‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）为定值．‎ 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k，‎ 因为直线过点，所以直线的方程为．‎ 令，可得，即．‎ 联立消去y可得．‎ 设，，易知，，则，．‎ ‎，，，．‎ 由，，可得，‎ 所以．‎ 将，代入上式，化简可得 ‎21．（1）由，得.‎ 因为曲线在点处的切线与直线垂直，‎ 所以，所以，即，.‎ 令，则.所以时，，单调递减；‎ 时，，单调递增.所以，所以，单调递增.即的单调增区间为，无减区间 ‎（2）由（1）知，，所以在处的切线为，‎ 即.‎ 令，则，‎ 且，，时，，单调递减；‎ 时，，单调递增.‎ 因为，所以，因为，所以存在，使时，，单调递增；‎ 时，，单调递减；时，，单调递增.‎ 又，所以时，，即，‎ 所以.‎ 令，则.所以时，，单调递增；‎ 时，，单调递减，所以，即，‎ 因为，所以，所以时，，‎ 即时，.‎ ‎22．（1）直线的普通方程为 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为 ‎（2）曲线的参数方程为 设点的坐标为 故的最小值为.‎ ‎23．（1）当时，，‎ ‎，‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得 ；‎ 当时，，解得.‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）的解集包含 等价于在上恒成立，‎ 即对于上恒成立，‎ 令 ，‎ 要使在恒成立，结合二次函数的图象可知，‎ 只要.‎