2010年普通高等学校招生全国统一考试 文数（北京卷)

2010年普通高等学校招生全国统一考试 文数（北京卷)

绝密«使用完毕前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共140分）‎ 一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎⑴ 集合，则=‎ ‎ (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}‎ ‎⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 ‎ （A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i ‎⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是 ‎ （A） (B) （C） (D)‎ ‎⑷若a,b是非零向量，且，，则函数是 ‎ （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 ‎ （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 ‎（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为：‎ ‎ (6)给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 ‎（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④‎ ‎（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，‎ 顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，‎ 该八边形的面积为 ‎（A）； （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（8）如图，正方体的棱长为2，‎ 动点E、F在棱上。点Q是棱CD的中点，动点 P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，‎ 则三棱锥P-EFQ的体积：‎ ‎（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；[‎ ‎（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 一、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 ‎（9）已知函数右图表示的是给 定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，‎ ‎①处应填写 ；②处应填写 。‎ ‎（10）在中。若，，，则a= 。‎ ‎（11）若点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式＜3表示的平面区域内，则m= 。‎ ‎（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高 ‎（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。‎ 由图中数据可知a= 。若要从身高在 ‎[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的 学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动 ‎，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数 应为 。‎ ‎（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。‎ ‎（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。‎ 设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是 ‎，则的最小正周期为 ；‎ 在其两个相邻零点间的图像与x轴 所围区域的面积为 。‎ 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。‎ 一、 解答：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题共13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值 ‎（16）（本小题共13分）‎ 已知为等差数列，且，。‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式 ‎（17）（本小题共13分）‎ 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。‎ EF//AC，AB=,CE=EF=1‎ ‎（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;‎ ‎(18) （本小题共14分）‎ ‎ 设定函数，且方程的两个根分别为1，4。‎ ‎（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。‎ ‎（19）（本小题共14分）‎ 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；‎ ‎（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。‎ ‎（20）（本小题共13分）‎ 已知集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 ‎（Ⅰ）当n=5时，设，求，；‎ ‎（Ⅱ）证明：，且;‎ ‎(Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数 绝密«使用完毕前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）‎ 一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎⑴ B ⑵ C ⑶ D ⑷ A ‎ ‎ ⑸ C ⑹ B ⑺ A ⑻ C 二、 提空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎⑼ ⑽ 1‎ ‎⑾ -3 ⑿ 0.030 3‎ ‎⒀ () ⒁ 4 ‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎⒂（共13分）‎ 解：（Ⅰ）=‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ 因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。‎ ‎⒃（共13分）‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差。‎ ‎ 因为 ‎ 所以 解得 所以 ‎ （Ⅱ）设等比数列的公比为 ‎ 因为 所以 即=3‎ 所以的前项和公式为 ‎⒄（共13分）‎ 证明：（Ⅰ）设AC与BD交于点G。‎ 因为EF∥AG,且EF=1，AG=AC=1‎ ‎ 所以四边形AGEF为平行四边形 ‎ 所以AF∥EG ‎ 因为EG平面BDE,AF平面BDE,‎ ‎ 所以AF∥平面BDE ‎ （Ⅱ）连接FG。‎ 因为EF∥CG,EF=CG=1,‎ 且CE=1,‎ 所以平行四边形CEFG为菱形 所以CF⊥EG.‎ ‎ 因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.‎ 又因为平面ACEF⊥平面ABCD,‎ 且平面ACEF∩平面ABCD=AC,‎ 所以BD⊥平面ACEF.‎ 所以CF⊥BD.‎ 又BD∩EG=G,‎ 所以CF⊥平面BDE.‎ ‎(18)(共14分)‎ 解：由 得 ‎ 因为的两个根分别为1,4，‎ 所以 （*）‎ ‎（Ⅰ）当时，又由（*）式得 ‎ 解得 又因为曲线过原点，所以 故 ‎（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。‎ 由（*）式得。‎ 又 解 得 即的取值范围 ‎（19）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）因为，且，‎ 所以 所以椭圆C的方程为 ‎（Ⅱ）由题意知 由 得 所以圆P的半径为 解得 ‎ 所以点P的坐标是（0，）‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。‎ 所以 设，‎ 则 当，即，且，取最大值2.‎ ‎(20)(共13分)‎ ‎（Ⅰ）解：=（1,0,1,0,1）‎ ‎ =3‎ ‎(Ⅱ)证明：设 ‎ 因为，所以 ‎ 从而 又 由题意知 当时，‎ 当时，‎ 所以 ‎(Ⅲ)证明：设 记由（Ⅱ）可知 所以中1的个数为k,中1的个数为 设是使成立的的个数。则 由此可知，三个数不可能都是奇数 即三个数中至少有一个是偶数。‎ ‎ ‎