2020年基地秘卷数学卷含答案

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书 江苏高考学科基地密卷!一"# ! 江苏高考学科基地密卷!一"# " 江苏高考学科基地密卷!一"# # 江苏高考学科基地密卷!一" 数 ! 学 第 ! 卷!必做题$共 !$% 分" 一%填空题&本大题共 !" 小题$每小题 # 分$共 $% 分 ! !! 已知集合 "& ! $ " $ ' ( # $ #& $$&"%'! $ % " & ' ( # $则 " $ #& !%! ! '! 已知复数 & 满足 & " &'( $且 & 的虚部小于 % $则 && !%! ! (! 根据如图所示的伪代码$则输出的 ' 的值为 !%! ! "! 某校 # 个兴趣小组的学生人数分布如下表!每名学生只参加一个小组" !单位&人" ! 篮球组 书画组 乐器组 高一 () #% & 高二 !) !% "% 已知用分层抽样的方法从参加这三个兴趣小组的学生中共抽取 #% 人$其 中篮球组被抽出 !" 人$则 & 处的值为 !%! ! #! 设 $ ' '! $则当 ( &$* ( $*! 取最小值时$ 的值为 !%! ! )! 在等比数列' ) * (中$已知各项均为正数$ ) " &! $ ) + &) $ *") ( $则 ) $ 的值 为 !%! ! $! 将一颗正方体骰子! $ 个面分别对应点数 ! $ " $ # $ ( $ ) $"先后投掷 " 次$分 别得到点数 + $ * $则点! + $ * "在双曲线$ " + ' ( " " &! 的渐近线上的概率 为 !%! ! *! 设点 , ! $ $ ( "在区域 " & $ ( % $ ( ( $ $ $* ( ) * + , ( 上$过点 , 的直线 - 与区域 " 的公共部 分为线段 "# $则以 "# 为直径的圆的最大面积为 !%! ! +! 已知直三棱柱 "#. # " ! # ! . ! 的所有棱长都为 ) $点 , $ / 分别为棱 .. ! $ #. 的中点$四面体 " ! # ! ,/ 的体积为槡# " $则 ) 的值为 !%! ! !%! 已知函数 0 ! $ " & 槡$$ % - $ - ! $ " ! $'! "$ ( ! * + , ! 若 0 ! ) " & 0 ! )*! "$则 0 ! ! " ) 的值 为 !%! ! !!! 已知函数 0 ! $ " &)$' " $ '#,-$ $其中 ) 为实数 ! 若函数 0 ! $ "在区间!$ * . "上有极小值$无极大值$则 ) 的取值范围是 !%! ! !'! 已知平面向量 ! $ " $ # 满足& . # . &! $ "*#&"! $且 . " . & . "'# . $则 !' " " ) # 的值为 !%! ! !(! 已知 /01" ! ' # ! " # & 1 " $ 23- ! 23- ! ' " " # & 1 $其中 1 为正的常数$则 1 的值为 !%! ! !"! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知圆 . & $ " * ! ( '! " " &( $若等腰直角三角 形 ,"# 的斜边 "# 为圆 . 的一条弦$则 ,. 的最大值为 !%! ! 二%解答题&本大题共 ) 小题$共计 +% 分 ! 解答时应写出文字说明%证明过程 或演算步骤 ! !#! !本小题满分 !( 分" 如图$在三棱柱 "#.'" ! # ! . ! 中$ "#&#. $ 3 为 ". 的中点$ 2 为四边 形 # ! . ! .# 的对角线的交点$ ". / #. ! ! 求证&!" 23 0 平面 " ! "## ! * ! " "平面 " ! . ! ." / 平面 #. ! 3! !第 !# 题" !! !)! !本小题满分 !( 分" 在 1 "#. 中$已知角 " $ # $ . 对应的边分别为 ) $ 4 $ 5 $且 )* ! ) *(/01. &% $ 4&!! !"若 ) 槡& 4 $求 1 "#. 的面积* ! " "若 )15-. 槡& # $求 5 的值 ! !$! !本小题满分 !( 分" 如图$已知一张半径为 !+ 的圆形薄铁皮! 2 为圆心$厚度忽略不计"$从 中裁剪一块扇形!图中阴影部分"用作某圆锥形容器的侧面 ! !"若所裁剪的扇形的圆心角为"" # $求圆锥形容器的体积* ! " "试问裁剪的扇形的圆心角为多少时$圆锥形容器的体积最大+ 并求 出最大值 ! !第 !$ 题" !! !*! !本小题满分 !$ 分" 已知椭圆 . & $ " ) " * ( " 4 " &! ! ) ' 4 ' % "经过点! '" $槡""$离心率为槡" " $左右 焦点分别为 6 ! $ 6 " $ , 是第一象限椭圆 . 上一点$直线 ,6 ! 和 ,6 " 与椭 圆的另一个交点分别为 " $ #! !"求椭圆 . 的标准方程* ! " "若 ,"*,# 槡&$" $求点 , 的坐标 ! !第 !* 题" !! 江苏高考学科基地密卷!一"# ( 江苏高考学科基地密卷!一"# ) 江苏高考学科基地密卷!一"# $ !+! !本小题满分 !$ 分" 已知函数 0 ! $ " & ) $ $ ! ) ' % 且 ) 2 ! " ! !"若 ) ' ! $解关于 $ 的不等式 0 ! "$ " ' 0 ! $ "* ! " "求函数 0 ! $ "的单调区间* ! # "若 ! ) 0 ! $ " ) ) "对任意 $ " , ! $ # -恒成立$求 ) 的取值范围 ! '%! !本小题满分 !$ 分" 已知数列 ) ' ( * 的前 * 项和为 ' * $满足 ) ! & # $ ' * &") **! '") * '! $ * " & # , !"求 ) " 的值!用 # 表示"* ! " "设 4 * &) **! '") * $ * " & # $证明& 4 **! & ! " 4 * * ! # "当 # &! 时$是否存在正数 $ $使得 . ) + ') * .) $ . +'* . 对任意 + $ * " & # $ + 2 * 恒成立$若存在求出 $ 的取值范围*若不存在请说明 理由 ! 第 $ 卷!必做题$共 (% 分" '!! .选做题/本题包括 - % . % / 三小题$请选定其中两题 !!!!!! $并在相应的答题区 !!!!!!!! 域内作答 !!!! ! -, ,选修 ('" &矩阵与变换-!本小题满分 !% 分" 已知变换 7 把直角坐标平面上的点 " ! # $ '( "$ # ! % $ ) "分别变换成点 "8 ! " $ '! "$ #8 ! '! $ " "$求变换 7 对应的矩阵 $! ., ,选修 ('( &坐标系与参数方程-!本小题满分 !% 分" 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知直线 - 的参数方程为 $& # " *9 $ ( 槡& # * + , 9 ! 9 为 参数"$曲线 . 的参数方程为 $& " # + " $ ( &" * + , + ! + 为参数" ! 若直线 - 与曲线 . 相交于 " $ # 两点$求线段 "# 的长 ! /, ,选修 ('( &不等式选讲-!本小题满分 !% 分" 设实数 ) $ 4 $ 5 满足 )*4*5&! $求证&! )'! " " * ! 4*! " " * ! 5*" " " ( #! .必做题/第 '' 题%第 '( 题$每题 !% 分$共计 '% 分 ! 请在答卷纸指定区域内 !!!!!!!! 作答 ! ''! !本小题满分 !% 分" 在合作学习小组的一次活动中$甲%乙%丙%丁%戊五位同学被随机地分配 承担 " $ # $ . $ 3 四项不同的任务$每个同学只能承担一项任务 ! !"若每项任务至少安排一位同学承担$求甲%乙两人不同时承担同一 项任务的概率* ! " "设这五位同学中承担任务 " 的人数为随机变量 % $求 % 的分布列及 数学期望 % % ! '(! !本小题满分 !% 分" 设 5 为虚数单位$ * 为正整数 ! !"证明& /01$*515- ! " $ * &/01*$*515-*$ * ! " "结合等式 !* /01$*515- ! ", - $ * & !*/01 " $ *515- , - $ * $证明& !*. ! * /01$*. " * /01"$* 0 *. * * /01*$&" * /01 * $ " /01 *$ " ! 江苏高考学科基地密卷!二"# ! 江苏高考学科基地密卷!二"# " 江苏高考学科基地密卷!二"# # 江苏高考学科基地密卷!二" 数 ! 学 第 ! 卷!必做题$共 !$% 分" 一%填空题&本大题共 !" 小题$每小题 # 分$共 $% 分 ! !! 已知集合 "& $ . '" - $ - ' ( " $ #& % $ ! $ " $ ' ( # $则 " $ #& !%! ! '! 设复数 5 满足 5 ! &'! " &#*"5 ! 5 是虚数单位"$则复数 & 的模为 !%! ! (! 某战区符合 4% 周年国庆阅兵标准的士兵有 6%% 人$其中陆军士兵有 #%% 人$海军士兵有 (%% 人$空军士兵有 "%% 人 ! 现从该战区选择 !+% 人参加 国庆阅兵$如果按兵种分层选派士兵$那么从海军士兵中选派参加国庆阅 兵的人数为 !%! ! "! 执行如图所示的算法流程图$则输出结果 ' 的值为 !%! ! !第 " 题" !! #! 某学校高三有甲$乙两个自习教室$ " $ # $ . 三名同学随机选择其中一个 教室自习$则 " $ # 两名同学在同一教室上自习$ . 同学在另一教室上自 习的概率为 !%! ! )! 抛物线 ( " &+$ 的焦点 6 到双曲线$ " !$ ' ( " 6 &! 的渐近线的距离为 !%! ! $! 若高为 # 的圆柱内接于一个直径为 ) 的球内$则该圆柱表面积与球的表 面积之比为 !%! ! *! 已知函数 0 ! $ " - ! "$* & "在 $& ) # # 处取得最值$则 & 的最小值 为 !%! ! +! 设 ' * 是等比数列' ) * (的前 * 项和$若满足 ) ( *#) !% &% $则' !+ ' !" 的值 为 !%! ! !%! 已知函数 0 ! $ " &!' " " $ *! $若存在 $ " 0 $使得不等式 0 ! 7 "$ ') " * 0 ! ") '7 $ " - % 成立$则实数 ) 的取值范围是 !%! ! !!! 已知正实数 $ $ ( 满足 $ ' ( $且" $ * ! $' ( &! $则 "$' ( 的最小值 为 !%! ! !'! 已知在 1 "#. 中$ "& " # # $ "#&" $ ".&# $若点 3 是 "# 的中点$点 : 满足 34 ":&" 34 :. $直线 #: 与 .3 交于点 , $则 34 ", ) 34 #. 的值为 !%! ! !(! 已知直线 - & ( 槡& #$*4 $若 - 上总存在点 , $满足过点 , 作圆 . &! $') " " * ! ( 槡' #)*! " " &! ! ) " 0 "的两条切线$切点分别为 " $ # $且 5 ",#& $%8 $则实数 4 的取值范围是 !%! ! !"! 已知函数 0 ! $ " & !' $ $ ) ! $ ! $'! " " $ ' ! * + , $ 函数 ; ! $ " & 0 ! '$ " '+! 则当"%!6 "%"% - + - ! 时$函数 ( & 0 ! $ " * ; ! $ "的零点个数为 !%! ! 二%解答题&本大题共 ) 小题$共计 +% 分 ! 解答时应写出文字说明%证明过程 或演算步骤 ! !#! !本小题满分 !( 分" 已知 ! $ ' 为锐角$ /01 ! & ( ) $ 23- ! * ' " &'#! !"求 23-" ! 的值* ! " "求 15- ! ' ' "的值 ! !)! !本小题满分 !( 分" 如图$已知四棱锥 ''"#.3 的底面 "#.3 是平行四边形$侧面 '"# 是正三角形$ , $ / 分别为 '" $ '3 的中点$且 "3&'3! 求证&!" ,/ 0 平面 '#. * ! " " '" / #3! !第 !) 题" !! !$! !本小题满分 !( 分" 如图$在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知椭圆 . & $ " ) " * ( " 4 " &! ! ) ' 4 ' % "的 右%上顶点分别为 " $ # $点 , 在线段 "# 上$过点 , 作直线 2, 的垂线$ 与椭圆 . 交于 $ 轴下方的 / 点$且 2/ 0 "#! !"若 )&( $ 4&! $求四边形 "#2/ 的面积* ! " "若 1 2,/ 是等腰直角三角形$求4 ) 的值 ! !第 !$ 题" !! !*! !本小题满分 !$ 分" 如图!"$大摆锤是深受年青人喜爱的一种大型游乐设施 ! 考虑到空间和 安全方面的问题$初步设计方案如下&如图! " "$旋转筒中心 # 到摆臂中 心 2 的距离为 !+ 米$摆臂 2# 与 2" 形成的角度!记为 ( "最大为 !"%8! 在摆臂 2# 上有一个焊接点 . $点 . 与摆臂中心 2 的距离记为 $ !米"$ 且焊接点 . 与其承受的应力 ) !单位& 9:3 "来自两个部分的应力之和$ 一是来自 #. 段的应力 ) ! $经测算$ ) ! 与 #. 和 15- ( 的乘积成正比$比例 系数为 槡#)# " *二是来自旋转筒的应力 ) " $经测算$ ) " 与 /01 ( 成正比$比例 系数为 "!%! !"用 $ 和 ( 表示焊接点 . 承受的应力 ) * ! " "根据焊接水平测算$焊接点 . 能承受的最大应力为 ("%9:3! 在大 摆锤安全运行前提下!即焊接点 . 所能承受的应力范围内"$求焊接 点 . 与摆臂中心 2 的最小距离 ! 图!" !!! 图! ' " !! 江苏高考学科基地密卷!二"# ( 江苏高考学科基地密卷!二"# ) 江苏高考学科基地密卷!二"# $ !+! !本小题满分 !$ 分" 已知各项均为正数的等比数列 ) ' ( * 满足 ) " # &) $ $ ") # &) ) ') ( $等差数列 4 ' ( * 的前 * 项和为 ' * $ 4 ! &! $ ' * 4 * & # 4 **! $ * " & # ! !"求数列 ) ' ( * 和 4 ' ( * 的通项公式* ! " "若 5 * & 6 * %&! ) % 4 " % ' % 4 %*" $且不等式 9 " * ! '5 * " 9'5 * ) % 对任意的 * " & #恒 成立$ & 求 5 * * ' 求实数 9 的取值范围 ! '%! !本小题满分 !$ 分" 已知函数 0 ! $ " &$' ! " 15-$'),-$' # " $ ) " 0! !"当 )& # " 时$求曲线 ( & 0 ! $ "在点 # " $ 0 # ! "! " " 处的切线方程* ! " "当 )&% 时$求函数 ; ! $ " & 0 ! $ " ' ! " 15-$ 在 # " $ # # , - " 上的最大值* ! # "若存在 $ ! $ " " ! % $ * . "$且 $ ! - $ " $使得 0 ! $ ! " & 0 ! $ " "$证明& $ ! $ " - () " ! 第 $ 卷!必做题$共 (% 分" '!! .选做题/本题包括 - % . % / 三小题$请选定其中两题 !!!!!! $并在相应的答题区 !!!!!!!! 域内作答 !!!! ! -, ,选修 ('" &矩阵与变换-!本小题满分 !% 分" 已知矩阵 $& " # 9 , - ! 的一个特征值为 (! 若点 , ! '! $ " "在矩阵 $ 对应 的变换作用下得到点 ,8 $求点 ,8 的坐标 ! ., ,选修 ('( &坐标系与参数方程-!本小题满分 !% 分" 在极坐标系中$圆 . 的方程为 * *"/01 ( &% $直线 - 的方程为 " * 15- ( ' 4 # ! " $ * +&%! 若直线 - 过圆 . 的圆心$求实数 + 的值 ! /, ,选修 (') &不等式选讲-!本小题满分 !% 分" 已知 $ $ ( ' % $且 $* ( &! $求证& $槡 *!* ( 槡 *! ) 槡$! .必做题/第 '' 题%第 '( 题$每题 !% 分$共计 '% 分 ! 请在答卷纸指定区域内 !!!!!!!! 作答 ! ''! 如图$在三棱锥 "'#.3 中$顶点 3 处的三条棱两两垂直$ "3&3.& " $ #3 &! $点 : $ 6 分别为棱 #. $ ". 的中点$点 < 在棱 3. 上$ :< / #6! !"求 3< 的长* ! " "求 :< 与平面 "#. 所成角的大小 ! !第 '' 题" !! '(! 四名篮球运动员 " $ # $ . $ 3 在体育馆内进行传球训练$球从一个运动员 传给另一个运动员记为一次传球 ! 训练开始时球在 " 手中$等可能地传 向 # $ . $ 3 任意一个运动员$第二次则从持球运动员等可能地传向另一 运动员 ! 如此继续下去$记经过 * 次传球后球回到 " 运动员手中的概率 为 1 ! * " ! !"求 1 ! " "$ 1 ! # "$ 1 ! ( "的值$并直接写出 1 ! * "的表达式* ! " "求 1 !" . ! * *" 1 ! " " . " * *# 1 ! # " . # * * 0 ** 1 ! * " . * * 的值!用含 * 的式 子表示" ! 江苏高考学科基地密卷!三"# ! 江苏高考学科基地密卷!三"# " 江苏高考学科基地密卷!三"# # 江苏高考学科基地密卷!三" 数 ! 学 第 ! 卷!必做题$共 !$% 分" 一%填空题&本大题共 !" 小题$每小题 # 分$共 $% 分 ! !! 已知复数 && " !*5 ! 5 为虚数单位"$则 . & . & !%! ! '! 设集合 "& $ '! - $ - ' ( ! $ #& ' $$ ) ) ( ! 若 " $ # 27 $则实数 ) 的取 值范围是 !%! ! (! 如图是甲%乙两位同学在 ( 次数学测试中得分的茎叶图$则成绩较稳定 !方差较小"的那一位同学的方差为 !%! ! !第 ( 题" !! !!!!!! !第 " 题" !! "! 图中算法程序的运行结果为 !%! ! #! 关于 $ 的不等式 , ; ! $ " '+ " ' , ; "$ 的解集为 !%! ! )! 现有 # 个奇数$ " 个偶数 ! 若从中随机抽取 " 个数相乘$则积是偶数的概率 为 !%! ! $! 已知 !" ) # $ $ 4 # ! " $ $ 15- ! ' # " $ & ) !# $则 15- ! 的值为 !%! ! *! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知双曲线 . & $ " ) " ' ( " &! ! ) ' % "的右焦点的 坐标为 槡)$ ! " % $则该双曲线的两条渐近线方程为 !%! ! +! 若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开$其展开图是半径为 ) $面积为 !) # 的扇形$则与该圆锥等体积的球的半径为 !%! ! !%! 如图$在平面四边形 "#.3 中$ 5 .#"& 5 ."3&6%8 $ 5 ".3&#%8 $ "#&#. $点 : 在线段 #. 上$且 34 #.&# 34 #:! 若 34 ".& # 34 "3* $ 34 ": ! # $ $ " 0 "$则$ # 的值为 !%! ! !第 !% 题" !! !!! 已知正数数列 ) ' ( * 的前 * 项和为 ' * $且满足 ) ! &! $ ' * ) * &* " $则 ) !% 的值 为 !%! ! !'! 关于 $ 的不等式 ,-$*%$ ' % 恰有三个整数解$则实数 % 的取值范围 是 !%! ! !(! 已知圆 $ " * ( " &( 的圆心为 2 $点 , 是圆! $'! " " * ! ( '! " " &= "上一动 点$若在圆 2 上存在点 / 使得 5 /,2&#%8 $则正数 = 的最大值 为 !%! ! !"! 设 1 "#. 的三个内角 " $ # $ . 所对的边分别为 ) $ 4 $ 5 $若 3 是边 #. 上 一点$且 #3&"3. $ "3 $则/01 ! "'# " 15-. 的最小值为 !%! ! 二%解答题&本大题共 ) 小题$共计 +% 分 ! 解答时应写出文字说明%证明过程 或演算步骤 ! !#! !本小题满分 !( 分" 如图$在四棱锥 ,'"#.3 中$底面 "#.3 是矩形$ ,3 / 平面 "#.3 $ 过 "3 的平面分别与 ,# $ ,. 交于点 : $ 6! !"求证&平面 ,#. / 平面 ,.3 * ! " "求证& :6 0 平面 ,"3! !第 !# 题" !! !)! !本小题满分 !( 分" 已知 1 "#. 中$角 " $ # $ . 的对边分别为 ) $ 4 $ 5 $且槡")/01#*//01#* 4/01.&%! !"求角 # 的大小* ! " "设向量 %& ! /01" $ /01"" "$ && ! % $ '! "$若存在角 " 使得 % ) &&# 成立$求 % 的取值范围 ! !$! !本小题满分 !( 分" 因城市绿化需要$某政府要在市区一个圆形区域中建造一四边形区域绿 化 ! 已知圆形区域中心为 . $且直径 "# 为 "= 米$点 : 在1 "# 上!不与 " % # 两点重合"$ 5 #": 的平分线与圆 . 相交于点 3 $连结 3: $ #3! 政府 计划在四边形 "#3: 内建设绿化$设 5 #":& ( ! !"试用 ( 表示四边形 "#3: 面积 '& 0 ! ( "* ! " "当 ( 取何值时$四边形 "#3: 面积最大$并求其最大值 ! !第 !$ 题" !! !*! !本小题满分 !$ 分" 如图$在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知椭圆 . & $ " ) " * ( " 4 " &! ! ) ' 4 ' % "的 右焦点为 6 ! 5 $ % "$下顶点为 , $过点 > % $ 4 ! " " 的动直线 - 交椭圆 . 于 " $ # 两点 ! !"当直线 - 平行于 $ 轴时$ , $ 6 $ " 三点共线$且 ,"& 槡## " $求椭圆 . 的方程* ! " "当椭圆 . 的离心率为何值时$对任意的动直线 - $总有 ," / ,# + !第 !* 题" !! 江苏高考学科基地密卷!三"# ( 江苏高考学科基地密卷!三"# ) 江苏高考学科基地密卷!三"# $ !+! !本小题满分 !$ 分" 设函数 0 ! $ " &$ " ')$',-$ $ ) " 0, !"当 )&! 时$求函数 0 ! $ "的极值* ! " "讨论函数 ( & 0 ! $ "在, ! $ * . "上的单调性* ! # "对任意 $ " , ! $ 7 -$都有 0 ! $ " ) 7 " $求实数 ) 的取值范围 ! '%! !本小题满分 !$ 分" 已知正项数列 ) ' ( * 的前 * 和为 ' * $且 "' * &) " * *) * '" $ * " & # ! !"求数列 ) ' ( * 的通项公式* ! " "设 4 * &" * ) * $ * " & # $数列 4 ' ( * 的前 * 项和为 7 * ! & 求数列 7 ' ( * 的通项公式* ' 若存在整数 + $ * ! + ' * ' ! "$使得7 + 7 * & + ! ' + * # " * ! ' * * # " $其中 # 为常 数$且 #( '" $求实数 # 的所有可能值 ! 第 $ 卷!必做题$共 (% 分" '!! .选做题/本题包括 - % . % / 三小题$请选定其中两题 !!!!!! $并在相应的答题区 !!!!!!!! 域内作答 !!!! ! -, ,选修 ( # " &矩阵与变换-!本小题满分 !% 分" 设点! $ $ ( "在矩阵 $ 对应变换作用下得到点! "$ $ # ( " ! !"求出矩阵 $ * ! " "若曲线 . & ( " &$ 在矩阵 $ 对应变换作用下得到曲线 .8 $求曲线 .8 的方程 ! ., ,选修 ( # ( &坐标系与参数方程-!本小题满分 !% 分" 在平面直角坐标系 $2 ( 中$直线 - 的参数方程为 $&?'" $ ( &"?*! ' $ ! ? 为参 数"$曲线 . 的参数方程为 $&9' ! 9 $ ( &9 " * ! 9 " * + , $ ! 9 为参数" ! !"求直线 - 和曲线 . 的普通方程* ! " "求出直线 - 和曲线 . 的公共点的坐标 ! /, ,选修 ( # ) &不等式选讲-!本小题满分 !% 分" 已知实数 $ $ ( $ & 满足 ($ " *6 ( " *!"& " &!"! 证明& ! $ " *" ( " * ! ( " *#& " * ! & " ( #! .必做题/第 '' 题%第 '( 题$每题 !% 分$共计 '% 分 ! 请在答卷纸指定区域内 !!!!!!!! 作答 ! ''! !本小题满分 !% 分" 如图$在空间直角坐标系 2'$ ( & 中$已知正四棱锥 ,'"#.3 的所有 棱长均为 $ $底面正方形 "#.3 的中心在坐标原点$棱 "3 $ #. 平行于 $ 轴$ "# $ .3 平行于 ( 轴$顶点 , 在 & 轴的正半轴上$点 > $ @ 分别在线 段 ," $ #3 上$且,> ," & #@ #3 & ! # ! !"求直线 >@ 与 ,. 所成角的大小* ! " "求锐二面角 "',@'3 的余弦值 ! !第 '' 题" !! '(! !本小题满分 !% 分" 设 + 为偶数时$且 0 ! + " &" + ) . % * . + * *. " * . +'" * *. ( * . +'( * * 0 *. + * . % ! " * $ ; ! + " &" + )! . ! * . +'! * *. # * . +'# * *. ) * . +') * * 0 *. +'! * . ! * "! + ) * $ + $ * " & # " ! !"若 *&" 时$求 0 ! " "$ ; ! " "的值* ! " "记 6 ! + " & 0 ! + " ' ; ! + "$求 6 ! + "的表达式并化简 ! 江苏高考学科基地密卷!四"# ! 江苏高考学科基地密卷!四"# " 江苏高考学科基地密卷!四"# # 江苏高考学科基地密卷!四" 数 ! 学 第 ! 卷!必做题$共 !$% 分" 一%填空题&本大题共 !" 小题$每小题 # 分$共计 $% 分 ! !! 已知集合 "& ' $ . $ " ) # ($ #& ' % $ ! $ " $ # ($则 " $ # !%! ! '! 已知复数 & 满足 5 ) &&"'& !其中 5 为虚数单位"$则 . & .!%! ! (! 某高校数学学院 " $ # $ . 三个不同专业分别有 +%% $ %% $ (%% 名学生 ! 为了 解学生的课后学习时间$用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取 #$ 名学生进行调查$则应从 " 专业抽取的学生人数为 !%! ! "! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知抛物线 ( " &'+$ 上一点 , 到焦点的距 离为 ) $则点 , 的横坐标为 !%! ! #! 右图求 !*(*4* 0 *"%"% 的值的伪代码中$正整数 + 的最大值 为 !%! ! !第 # 题" !! )! 若从 " 名男生与 " 名女生中选出 " 人担任正%副队长带队去某地参加志 愿活动$每人被选出担任其中一个职位是等可能的$则女生甲当选正队长 的概率为 !%! ! $! 设 ' * 是等差数列 ) ' ( * 的前 * 项和$若 ) " &) $ ' 6 &'6 $则 ) + 的值 为 !%! ! *! 如图$ 2 是正四棱锥 , # "#.3 底面的中心$ : 是棱 ,. 的中点$已知底 面边长为槡"$侧棱长为 " $则三棱锥 , # 2#: 的体积为 !%! ! !第 * 题" !! +! 已知函数 0 ! $ " & . $ " ') . '" $则函数 6 ! $ " &$ 0 ! $ " '! 的零点的个数 为 !%! ! !%! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$圆 2 & $ " * ( " &( 与 $ 轴正半轴交于点 " $经 过点 " 的直线 - 与 ( 轴负半轴交于点 # $与圆 2 的另一个交点是 . $若 34 "#&" 34 #. $则直线 - 的斜率为 !%! ! !!! 已知直线 - 与曲线 0 ! $ " &15-$ 切于点 " !$ 15- ! "$且直线 - 与函数 ( & 0 ! $ "的图象交于点 # ! ' $ 15- ' "$若 ! ' ' & # $则 23- ! 的值为 !%! ! !'! 已知平面四边形 "#.3 中$ 34 "# ) 34 #.' 34 "3 ) 34 3.&! $ 2 是平面内一点$ 且 34 #2& 34 23 $ 34 .2&" 34 2" $则 34 ". ) 34 #3 的值为 !%! ! !(! 已知实数 $ $ ( 满足 "$ " '$ ( ' ( " '!&% $则 $*" ( )$ " *"$ ( *" ( " 的最大值 为 !%! ! !"! 已知函数 0 ! $ " &, ; $ $ ; ! $ " &$ # *#)$ " *)*$ $若存在 $ ! ' % $ " ' % $ $ ! 2 $ " $使得 0 ! ; ! $ ! "" & 0 ! ; ! $ " "" - % $则 ) 的取值范围是 !%! ! 二%解答题&本大题共 ) 小题$共计 +% 分 ! 解答时应写出文字说明%证明过程 或演算步骤 ! !#! !本小题满分 !( 分" 已知函数 0 ! $ " &"15- + $* ! " & ! +' % $ % - & -# "$ ' # " 和## " 是函数 0 ! $ " 的图象与 $ 轴的 " 个相邻交点的横坐标$且当 $& # " 时$ 0 ! $ "取得最 大值 ! !"求函数 0 ! $ "的解析式* ! " "将函数 ( & 0 ! $ "的图象向右平移 " 个单位$得到函数 ( & ; ! $ "的图 象 ! 求函数 ( & ; ! $ "在区间 % $ " , - # 上的最大值和最小值 ! !)! !本小题满分 !( 分" 如图$正三棱柱 "#.'" ! # ! . ! 中$ , $ / 分别是 ". 与 #. 的中点$点 3 在侧棱 "" ! 上$且 " ! 3&""3! !"求证&平面 # ! #, / 平面 "" ! . ! . * ! " "求证& "/ 0 平面 # ! 3,! !第 !) 题" !! !$! !本小题满分 !( 分" 如图$海上有 " $ # 两个小岛$ # 在 " 的正东方向$小船甲从 " 岛出发以 A 海里2小时的速度沿北偏东 $%8 方向匀速直线行驶$同一时刻小船乙出 发$经过 9 小时与小船甲相遇 ! !"若 "# 相距 " 海里$ A 为 槡+# 海里2小时$小船乙从 # 岛出发匀速直 线追赶$追赶 !% 分钟后与小船甲相遇$求小船乙的速度* ! " "若小船乙先从 " 岛以 !$ 海里2小时匀速沿射线 "# 方向行驶 % ! % - % - 9 "小时$再以 + 海里2小时匀速直线追赶小船甲$求小船甲在能与 小船乙相遇的条件下 A 的最大值 ! !第 !$ 题" !! !*! !本小题满分 !$ 分" 在平面直角坐标系 $2 ( 中$椭圆$ " ) " * ( " 4 " &! ! ) ' 4 ' % "的一条准线方程 为 $&" $焦距为 "! !"求椭圆的标准方程* ! " "如图$动直线 - & ( &% ! $' 槡# " 交椭圆于 " $ # 两点$ . 是椭圆上一点$ 直线 2. 的斜率为 % " $且 % ! % " & 槡" ( $ > 是线段 2. 延长线上一点$且 >. <"#&"<#! & 求 >. $ 2. 的长!用 % ! 表示"* ' 问&当 % ! 为何值时$ 2. >. 最小+ 并求出最小值 ! !第 !* 题" !! 江苏高考学科基地密卷!四"# ( 江苏高考学科基地密卷!四"# ) 江苏高考学科基地密卷!四"# $ !+! !本小题满分 !$ 分" 对于给定的正整数 % $如果各项均为正数的数列 ) ' ( * 满足&对任意正整 数 * ! * ' % "$ ) *'% ) *'%*! 0 ) *'! ) **! 0 ) **%'! ) **% &) * "%总成立$那么称 ) ' ( * 是3 / ! % "数 列4 ! !"若 ) ' ( * 是各项均为正数的等比数列$判断 ) ' ( * 是否为3 / ! " "数列4$ 并说明理由* ! " "若 ) ' ( * 既是3 / ! " "数列4$又是3 / ! # "数列4$求证& ) ' ( * 是等比数列 ! '%! !本小题满分 !$ 分" 已知函数 0 ! $ " &"$ # *#$ " '!"$*$ $ ; ! $ "为函数 0 ! $ "的导函数 ! !"求证&函数 0 ! $ "在区间 ! $ " " 上存在唯一的零点* ! " "记 $ % 为函数 0 ! $ "在区间 ! $ " " 上的零点 ! & 设 + " ! $ , " % $函数 B ! $ " & ; ! $ "! +'$ % " ' 0 ! + "$判断 B ! + "的 符号$并说明理由* ' 求证&存在大于 % 的常数 " $使得对任意的正整数 1 $ C $且1 C " ! $ , " % $满足 1 C '$ % ( ! " C # ! 第 $ 卷!必做题$共 (% 分" '!! .选做题/本题包括 - % . % / 三小题$请选定其中两题 !!!!!! $并在相应的答题区 !!!!!!!! 域内作答 !!!! ! -, ,选修 ( # " &矩阵与变换-!本小题满分 !% 分" 已知 ) $ 4 " 0 $向量 ! & ,- " ! 是矩阵 '& ! ! ) 4 ! , - ( 的属于特征值 " 的一个特 征向量$求矩阵 ' 的另一个特征值及 ' '! ( ., ,选修 ( # ( &坐标系与参数方程-!本小题满分 !% 分" 自极点 2 作直线 - 与曲线 . & * " 槡'(# * 15- ( *+&% 相交于点 " $ #! !"求线段 "# 长的最大值* ! " "若锐角三角形 ".# 的面积为槡#$求直线 - 的极坐标方程 ! /, ,选修 (') &不等式选讲-!本小题满分 !% 分" 已知 ) $ 4 $ 5 均为正数$且 )*(4*65&""! 求证& ! )*! * ! 4*! * ! 5*! ( !! .必做题/第 '' 题%第 '( 题$每题 !% 分$共计 '% 分 ! 请在答卷纸指定区域内 !!!!!!!! 作答 ! ''! !本小题满分 !% 分" 从集合 >& ! $ " $ # $ ( $ ) $$ 4 $ + $ 6 $ ' ( !% 中$抽取三个不同的数 ! !"求抽取的三个数组成的数列是等差数列的概率* ! " "记抽取的三个数中相邻自然数的组数为 D $求随机变量 D 的概率分 布列与数学期望 : ! D " ! '(! !本小题满分 !% 分" 已知有穷数列 ) ' ( * 共有 + 项 ! + ( # $ + " & # "$若 ) ! &% $且 ) **! ') * &* ! ) * ) +'! $ * " & # " ! !" +&# 时$求 ) # 的所有可能取值* ! " "求 ) + 所有可能的取值个数 ! 江苏高考学科基地密卷!五"# ! 江苏高考学科基地密卷!五"# " 江苏高考学科基地密卷!五"# # 江苏高考学科基地密卷!五" 数 ! 学 第 ! 卷!必做题$共 !$% 分" 一%填空题&本大题共 !" 小题$每小题 # 分$共 $% 分 ! !! 若! )*45 "! '"5 " &) ! ) $ 4 " 0 $ 5 为虚数单位"$则 )'4 的值为 !%! ! '! 设集合 "& % $ ! $ " $ # $ ' ( ( $ #& " $ ' ( # $ .& $ " 0 . ! ) $ - ' ( # $则! " $ . " 8 #& !%! ! (! 已知一组数据 4 $ + $ !! $ !( $ !) $则该组数据的方差为 !%! ! "! 如图是一个算法的流程图$则输出的 % 的值为 !%! ! !第 " 题" !! #! 从数字 ! $ " $ # $ ( $ ) 中任取两数相加$则和是 # 的倍数的概率为 !%! ! )! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知点 > ! " $ 9 "是双曲线$ " ) " ' ( " &! 与抛物线 ( " & ! " $ 的一个公共点$则该双曲线的焦距为 !%! ! $! 函数 0 ! $ " &, ; ! ( $ '" $*! "的定义域为 !%! ! *! 已知数列 ) ' ( * 是各项均为正数的等比数列$ ' * 是其前 * 项和 ! 若 ) " ) # * ) ) &"( $且 6' # &' $ $则 ) $ 的值为 !%! ! +! 已知函数 0 ! $ " &"15- ! "$* & "$若对 9 $ " 0 $均有 0 ! $ " ). 0 ! $ % " . 恒成 立$则 0 $ % * # ! " ( 的值为 !%! ! !%! 如图$在长方体 "#.3'" ! # ! . ! 3 ! 中$ "#&#.&" $ "" ! &( $ : $ 6 分别 为 33 ! $ 3# 的中点$则三棱锥 # ! '.:6 的体积为 !%! ! !第 !% 题" !! !!! 已知函数 0 ! $ "是定义在 0 上的周期为 ( 的奇函数$且当 % ) $ ) " 时$ 0 ! $ " & '$ " *"槡 $ $函数 ; ! $ " &,0 ; + $ $则方程 0 ! $ " & ; ! $ "的解的 个数为 !%! ! !'! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知椭圆$ " ) " * ( " 4 " &! ! ) ' 4 ' % "的上%下顶点 分别为 # " $ # ! $若一个半径为槡"4$过点 # ! $ # " 的圆 > 与椭圆的一个交 点为 , !异于顶点 # ! $ # " "$且 % ,# ! '% ,# " & + 6 $则椭圆的离心率 为 !%! ! !(! 在四边形 "#.3 中$ "3&" $ #.&# $ > $ @ 分别为 "# $ .3 的中点$且 >@& 槡"! " $若 34 "# ) 34 3.& ) " $则 34 ". ) 34 #3 的值为 !%! ! !"! 已知 ) ' % $ 4 ' % $ + ' % $不等式 ) " ) " *4槡 " *+ 4 )*槡 4 ) 槡)" " 恒成立$则 + 的最大值为 !!!! ! 二%解答题&本大题共 ) 小题$共计 +% 分 ! 解答时应写出文字说明%证明过程 或演算步骤 ! !#! !本小题满分 !( 分" 在 1 "#. 中$角 " $ # $ . 的对边分别为 ) $ 4 $ 5 $已知 )&"4/01.! !"若 /01#& ! # $求 15-" 的值* ! " "若 )&( $ 1 "#. 的面积为 槡+" $ ". 的中点为 3 $求 #3 的长 ! !)! !本小题满分 !( 分" 如图$在四棱锥 ,'"#.3 中$底面 "#.3 是矩形$ > $ @ 分别为 ,3 $ "# 的中点$ 1 ,"3 为锐角三角形$平面 ,"3 / 平面 ,"#! !"求证&直线 >@ 22平面 ,#. * ! " "求证&平面 ,"3 / 平面 ,.3! !第 !) 题" !! !$! !本小题满分 !( 分" 现准备在一块玉上设计制作一个面积为 "%%/= " $高 ., 为 !%/= 等腰 梯形 "#.3 工艺展品!如图"$为了提升观赏度$将其加工成镶金工艺 品$其中金丝部分为线段 "> $ @# $ #. $ .3 $ 3" $若 5 "#.& ( % -(- # ! " " $ >@&#, $金丝部分总长为 E/=! !"试表示出关于 ( 的函数 E ! ( "* ! " "当 ( 为何值时$ E 取得最小值+ !第 !$ 题" !! !*! !本小题满分 !$ 分" 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知圆 2 & $ " * ( " &( 与圆 . & $ " * ( " '"+$* + " '!&%! !"若圆 2 与圆 . 相交于 " $ # 两点 ! & 求实数 + 的取值范围* ' 设 , 为圆 2 上异于 " $ # 的任一点$直线 ," $ ,# 与 $ 轴分别相 交于 > $ @ 两点 ! 设 1 ,2> 与 1 ,2@ 的面积分别为 ' ! $ ' " $求 ' ! ) ' " 的最大值* ! " "已知点 / ! ( $ " "$ 3 $ : 分别为圆 2 与圆 . 上的动点$求 34 /3* 34 /: 的最小值的取值范围 ! 江苏高考学科基地密卷!五"# ( 江苏高考学科基地密卷!五"# ) 江苏高考学科基地密卷!五"# $ !+! !本小题满分 !$ 分" 已知 ) " 0 $函数 0 ! $ " &F $ ')$! !"若函数 0 ! $ "在区间, '! $ % -上单调递减$求实数 ) 的取值范围 ! ! " "若函数 0 ! $ "的图象与 $ 轴相切 ! & 求 0 ! $ "的单调区间* ' 记函数 ; ! $ " &$,-$'$*! $当 $ ( ! 时$ 0 ! $ " ( % ; ! $ "恒成立$求 实数 % 的最大值 ! '%! !本小题满分 !$ 分" 设数列 ) ' ( * 是公差为 G ! G 2 % "的等差数列$数列 4 ' ( * 满足 4 * &) **! ) **" ' ) " * $ * " & # ! !"求证&数列 4 ' ( * 是等差数列* ! " "设数列 4 ' ( * 的首项为 ! $公差为槡#G $数列 5 ' ( * 满足 5 * & ! ! " 4 * '! "! " 4 **! '! " $记 5 ' ( * 的前 * 项和为 ' * $若对 9 * " & # $均有 ! ' * " ! +'! $ + -$求正整数 + 的值* ! # "设数列 4 ' ( * 的公差为 G $若存在正整数 ? $ 9 $使得 ) ? *4 9 是整数$求 . !+) ! . 的最小值 ! 第 $ 卷!必做题$共 (% 分" '!! .选做题/本题包括 - % . % / 三小题$请选定其中两题 !!!!!! $并在相应的答题区 !!!!!!!! 域内作答 !!!! ! -, ,选修 ( # " &矩阵与变换-!本小题满分 !% 分" 已知矩阵 $& ! % % , - 4 $ )& ) % , - % ! ! ) ' % $ 4 ' % " ! 若圆 $ " * ( " &! 在矩阵 $) 对应的变换作用下得到椭圆$ " ( * ( " &! $求实数 ) $ 4 的值 ! ., ,选修 ( # ( &坐标系与参数方程-!本小题满分 !% 分" 在平面直角坐标系 $2 ( 中$圆 . 的参数方程为 $&=/01 ! $ ( &"*=15- ' ! !为参数$ = ' % " ! 以原点 2 为极点$以 $ 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中$直线 - 的极坐标方程为 * /01 ( ' # ! " ( 槡&""! 若直线 - 与圆 . 相交于 " $ # 两 点$且线段 "# 的长为 槡"" $求实数 = 的值 ! /, ,选修 ( # ) &不等式选讲-!本小题满分 !% 分" 已知 ) $ 4 $ 5 是正实数$且 )*4*5&) $求 ! )*4 * ( 4*5 * ( 5*) 的最小值 ! .必做题/第 '' 题%第 '( 题$每题 !% 分$共计 '% 分 ! 请在答卷纸指定区域内 !!!!!!!! 作答 ! ''! !本小题满分 !% 分" 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知点 6 为抛物线 . & ( " &" 1 $ ! 1 ' % "的焦 点$点 " 为抛物线 . 上异于原点的任意一点$直线 - 过点 " 且与抛物线 . 相切 ! !"若点 " 的坐标为 " !$ + "$且 "6&" $求 1 的值* ! " "若过点 " 且与切线 - 垂直的直线交 $ 轴于点 # $求证& 5 6"# & 5 6#"! '(! !本小题满分 !% 分" 设! *$ " "**" &) % *) ! $*) " $ " * 0 *) "**! $ "**! *) "**" $ "**" $ ! *$ " "**! &4 % *4 ! $*4 " $ " * 0 *4 "* $ "* *4 "**! $ "**! $ ! *$ " "* & 1% * 1! $* 1" $ " * 0 * 1"*'! $ "*'! * 1"* $ "* $其中 * " & # ! !"证明& ) **! &"4 * * ! " "用数学归纳法证明&当 * ( " $ * " & #时$ " * - 1* - ( * ! 江苏高考学科基地密卷!六"# ! 江苏高考学科基地密卷!六"# " 江苏高考学科基地密卷!六"# # 江苏高考学科基地密卷!六" 数 ! 学 第 ! 卷!必做题$共 !$% 分" 一%填空题&本大题共 !" 小题$每小题 # 分$共 $% 分 ! !! 已知全集 H& ' '! $ % $ ! $ # ($集合 "& ' '! $ # ($则 : H "& !%! ! '! 已知复数 & 满足 ! " "'5&&"*5 ! 5 为虚数单位"$则 & 的实部为 !%! ! (! 某班 (+ 名学生参加建国 4% 周年知识竞赛$成绩都在区间 (% $ , - !%% 上$其 频率分布直方图如图所示$则成绩不低于 $% 分的人数为 !%! ! !第 ( 题" !! !!!!! !第 " 题" !! "! 执行右图所示的算法$则输出的结果为 !%! ! #! 从 # 个红球% " 个白球中随机取出 " 个球$则取出的 " 个球不全是红球的 概率为 !%! ! )! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$抛物线 ( " &($ 的焦点为 6 $ " 为抛物线上一 点$且 "6&)26 $则 1 "26 的面积为 !%! ! $! 在正项等比数列' ) * (中$若 ") ) &! $ +) $ *") ( &) " $则 ' $ 的值为 !%! ! *! 在正四棱柱 "#.3'" ! # ! . ! 3 ! 中$ "#&#.&" $ "" ! &# $点 : 在侧棱 # ! # 上$且 #:&!! 设三棱锥 3 ! '3:. ! 的体积为 I ! $四棱锥 :'"#.3 的体积为 I " $则I! I " 的值为 !%! ! +! 已知 0 ! $ " &"15- + $* # ! " # !其中 +' % "的单调递增区间为 ' ) # !+ * " # % # $ ( * " # % , - # ! % " 1 "$则 ( 的值为 !%! ! !%! 已知 0 ! $ "是定义在 0 上的周期为 ( 的周期函数$在区间, '" $ " -上$ 0 ! $ " & )$*4 $ % ) $ ) " $ 5$*" !'$ $ '" ) $ - * + , % $且 0 ! ) " &" 0 ! " ! " $则 #)*"4*5 的值 为 !%! ! !!! 已知 "3 $ #: 为 1 "#. 的中线$ "3&# $ #:&" $且 34 "3 与 34 #: 的夹角的余 弦值为 ' ! # $则 34 "# ) 34 ". 的值为 !%! ! !'! 已知 , ! ) $ 4 "在直线 $* ( '#&% 上运动$当点 , 位于第一象限时$则 )4 )*(4 的最大值为 !%! ! !(! 在平面直角坐标系中 $2 ( 中$已知圆 . 的半径为槡"$圆心在直线 - & ( & "$'! 上 ! 若圆 . 上存在一点 , $使得直线 - ! & )$' ( '"&% 与直线 - " & $*) ( '"&% 交于点 , $则当实数 ) 变化时$圆心 . 的横坐标 $ 的取值 范围是 !%! ! !"! 已知 $ ! $ " 是函数 0 ! $ " &$ # '$*) ! ) " 0 "的两个零点$且 % - $ ! - $ " $ 则 $ ! ! $ ! '"$ " "的取值范围是 !%! ! 二%解答题&本大题共 ) 小题$共计 +% 分 ! 解答时应写出文字说明%证明过程 或演算步骤 ! !#! !本小题满分 !( 分" 已知向量 !& ! ( $ #/01 ! "$ "& !$ "23- ! " ! !"若 ! 0 " $求 15- ! 的值* ! " "若 ! / " $且 ) " ' # " $ ! " % $求 /01" ! * # ! " # 的值 ! !)! !本小题满分 !( 分" 如图$在直三棱柱 "#.'" ! # ! . ! 中$已知 "# / ". $ "#&"" ! $设 "# ! $ " ! #&> $ # ! . ! 的中点为 @! !"求证& >@ 22平面 " ! ".. ! * ! " "求证& " ! # / 平面 >".! !第 !) 题" !! !$! !本小题满分 !( 分" 如图$某生态绿地内有一处景观位于点 2 处$景观离绿地出口 " 的距离 2"&">= $环形景观道是以 2 为圆心$ !>= 为半径的圆 ! 现欲在绿地的 . 处建一座发射塔$并从塔座 . 处出发建两条通道 ." $ .# !其中点 # 在 环形景观道上"$且 ."&.# $ ! ".#&$%8! 设 ! "2#& ( ! !"试用 ( 表示出 ! 2"# 的正弦值%余弦值* ! " "为降低发射塔对景观区域的影响$要求发射塔离景观最远!即 2. 最 长"$试确定此时 ( 的值$并求 2. 的最大值 ! !第 !$ 题" !! !*! !本小题满分 !$ 分" 已知椭圆 . & $ " ) " * ( " 4 " &! ! ) ' 4 ' % "的右焦点为 6 ! # $ % "$右准线为 -<$& (! 点 , 是椭圆 . 上异于长轴端点的任意一点$连结 ,6 并延长交椭圆 . 于 / 点$线段 ,/ 的中点为 > $ 2 为坐标原点$且直线 2> 与右准线 - 交 于点 @! !"求椭圆 . 的标准方程* ! " "若 2>&">@ $求点 , 的坐标* ! # "试确定直线 ,@ 与椭圆 . 的公共点的个数$并说明理由 ! 江苏高考学科基地密卷!六"# ( 江苏高考学科基地密卷!六"# ) 江苏高考学科基地密卷!六"# $ !+! !本小题满分 !$ 分" 设函数 0 ! $ " &)$* ! $ '4,-$ ! ) $ 4 " 0 " ! !"当 4&'! 时$函数 0 ! $ "有两个极值$求实数 ) 的取值范围* ! " "当 )*4&! 时$函数 0 ! $ "的最小值为 " $求实数 ) 的值* ! # "对任意给定的正实数 ) $ 4 $证明&存在实数 $ % $当 $ ' $ % 时$ 0 ! $ " ' %! '%! !本小题满分 !$ 分" 给定数列' " * ($若对任意 + $ * " & #且 + 2 * $ " + *" * 也是' " * (的项$则 称' " * (为3 . 数列4 ! 记数列' ) * (的前 * 项和为 ' * ! !"若 ' * &* " ** $试判断' ) * (是否为3 . 数列4$并说明理由* ! " "设3 . 数列4' ) * (满足对任意 * " & # $有 * ! ) ! *) * " &"' * ! 若 ) ! &$ $ ) " " & #且 ) " ' $ $求 ) " 所有可能的取值* ! # "设' ) * (为公差为 G ! G 2 % "的等差数列$且对任意 * " & # $ ' * 是' ) * ( 中的项 ! 求)! G 的取值集合并证明' ) * (为3 . 数列4 ! 第 $ 卷!必做题$共 (% 分" '!! .选做题/本题包括 - % . % / 三小题$请选定其中两题 !!!!!! $并在相应的答题区 !!!!!!!! 域内作答 !!!! ! -, ,选修 ('" &矩阵与变换-!本小题满分 !% 分" 已知矩阵 '& ! " '! , - $ 的一个特征值为 " $求矩阵 ' 的逆矩阵 ! ., ,选修 ('( &坐标系与参数方程-!本小题满分 !% 分" 在极坐标系下$圆 . & * &)/01 ( 与直线 - & ( & # # 相交与 " $ # 两点 ! 若 "#& 槡#$求实数 ) 的值 ! /, ,选修 (') &不等式选讲-!本小题满分 !% 分" 已知函数 0 ! $ " & . $*+'! . * . $'+*" . $若不等式 0 ! $ " ( ( 恒成立$ 求实数 + 的取值范围 ! .必做题/第 '' 题%第 '( 题$每题 !% 分$共计 '% 分 ! 请在答卷纸指定区域内 !!!!!!!! 作答 ! ''! !本小题满分 !% 分" 若 * " ' # $ ( $ ) $$ 4 $ + $ 6 $ !% ($ 0 ! * "表示不是 * 的因数的最小正整数$例 如 0 ! # " &" $ 0 ! + " &#! 如果 0 ! * " ( # $又可记作 0 ! 0 ! * "" ! 类似地$如果 0 ! 0 ! * "" ( # $又可记作 0 ! 0 ! 0 ! * """等等 ! 如果 0 ! 0 ! 0 0 0 ! * ;< = "0"" % 个 0 &" $ 就把 % 叫做 * 的3长度4$用 ) * 表示 * 的长度 ! !"若 ) * &! $求所有 * 的取值的集合* ! " "记 ) * 的所有可能的取值为 D $求 D 的分布列 ! '(! !本小题满分 !% 分" 已知抛物线 . & ( " &" 1 $ ! 1 ' % "的焦点为 6 $过 6 且斜率为( # 的直线 - 与 抛物线 . 交于 " $ # 两点$ # 在 $ 轴的上方$且点 # 的横坐标为 (! !"求抛物线 . 的标准方程* ! " "设点 , 为抛物线 . 上异于 " $ # 的点$直线 ," 与 ,# 分别交抛物 线 . 的准线于 : $ < 两点$ 轴与准线的交点为 J $求证& J< ) J: 为定值$并求出定值 ! !第 '( 题" !! 江苏高考学科基地密卷!七"# ! 江苏高考学科基地密卷!七"# " 江苏高考学科基地密卷!七"# # 江苏高考学科基地密卷!七" 数 ! 学 第 ! 卷!必做题$共 !$% 分" 一%填空题&本大题共 !" 小题$每小题 # 分$共 $% 分 ! !! 已知集合 "& ' $ . '! - $ - " ($ #& ' $ . $ ) % ($则 " 8 #& !%! ! '! 设 && ! )'"5 "! *#5 "! ) " 0 "$其中 5 为虚数单位 ! 若 & 是纯虚数$则 & 在 复平面上对应点的坐标为 !%! ! (! 某中学为了了解教师的职业满意度$采用分层抽样的方法从本校高级教 师 +% 人%中级教师 !"% 人%初级教师 * 人中$抽取 () 人进行问卷调查 ! 已 知高级教师中被抽取的人数为 !" $则 * 的值为 !%! ! "! 根据如图所示的伪代码$最后输出的 4 的值为 !%! ! !第 " 题" !! #! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$双曲线$ " + ' ( " ( &! ! + ' % "的左准线与其中一 条渐近线的交点的纵坐标为槡"$则 + 的值为 !%! ! )! 在 1 "#. 内随机取一点 , $则 1 ,#. 的面积不超过四边形 "#,. 面积 的! " 的概率为 !%! ! $! 已知函数 0 ! $ " &"15- + $ ! " ' % $ +' % "的最小正周期为 " $将 ( & 0 ! $ "的 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 " 倍!纵坐标不变"$所得图象对应 的函数为 ( & ; ! $ " ! 若 ; # ! " ( 槡& " $则 0 # # ! " + 的值为 !%! ! *! 已知高为 # 的正三棱柱内接于一个直径为 ) 的球内$则该棱柱的体积 为 !%! ! +! 已知函数 0 ! $ "是定义在 0 上的奇函数$当 $ ' % 时$ 0 ! $ " &" $ '( $则不等 式 0 ! $ " *"$ ' % 的解集为 !%! ! !%! 设 ' * 为等差数列 ) ' ( * 的前 * 项和 ! 若 ' 6 &') ) $ ) ! ' % $则使得 ) * ' ' * 的 * 的最小值为 !%! ! !!! 如图$在四边形 "#.3 中$ "3 22 #. $ 5 ."3&#%8 $ "3&) $ ". 槡&## $ #.&# $则 34 "# ) 34 .3 的值为 !%! ! !第 !! 题" !! !'! 已知 ) $ 4 $ 5 均为正实数$若! )45*( "! )*45 " & # )45 $则实数 # 的最小值 为 !%! ! !(! 已知圆 . &! $'# " " * ( " &") 与 $ 轴的正%负半轴分别交于 " % # 两点$与 ( 轴的正半轴交于点 3 $过点 # 作圆 . 的动弦 #> $记弦 #> 的中点为 ,! 若动点 / 满足 34 2/& 34 92"* ! '9 " 34 23 $ % - 9 - ! $则 ,/ 的最小值 为 !%! ! !"! 已知函数 0 ! $ " &$ " ')$ $ ; ! $ " &) " ,-$ $若对任意的 $ " ! % $ * . "$不等 式 0 ! $ " ( ; ! $ "恒成立$则实数 ) 的取值范围是 !%! ! 二%解答题&本大题共 ) 小题$共计 +% 分 ! 解答时应写出文字说明%证明过程 或演算步骤 ! !#! !本小题满分 !( 分" 在 1 "#. 中$角 " $ # $ . 的对边分别为 ) $ 4 $ 5! 已知槡#)15-.&5/01" $ " " % $ # ! " " ! !"求角 " 的大小* ! " "若 15- ! ( '" " & # ) $且 % -(- # " $求 /01 ! " ( *" "的值 ! !)! !本小题满分 !( 分" 如图$在四棱锥 , # "#.3 中$底面 "#.3 是矩形$平面 ,#. / 底面 "#.3 $ ,.&#. $点 > 是棱 ,# 的中点 ! 求证& !" ,3 0 平面 >". * ! " "平面 >". / 平面 ,"#! !第 !) 题" !! !$! !本小题满分 !( 分" 如图所示$南通绿博园拟在一块以 2 为圆心%半径 2> 为 # 百米的圆形 地界上划出部分区域!图中实线及其围成的区域$其中实线表示道路"新 建植物园供游客观赏 ! 矩形 "#.3 是以 2 为圆心%半径 2. 为 " 百米的 圆的内接矩形$点 . $ 3 分别在半径 2> $ 2@ 上 ! 设 5 ."3& ( ! !"当 ( & # # 时$求所划区域的面积 ' 的值* ! " "游客在实线道路上观赏的同时$每年可给当地的旅游业带来服务创 收 ! 预计$直线道路上的年服务创收为 # 万元2百米$圆弧道路上的 年服务创收为 槡"" 万元2百米$则当 ( 为何值时$当地年服务创收的 总收入 K 最大+ !第 !$ 题" !! !*! !本小题满分 !$ 分" 如图$已知椭圆 , & $ " ) " * ( " 4 " &! ! ) ' 4 ' % "的离心率为! " $圆 . 与 ( 轴及椭 圆 , 的右准线都相切$且圆心 . 的横坐标为 "! !"求椭圆 , 的标准方程* ! " " & 当圆心 . 在第一象限且圆 . 与 $ 轴相切时$过圆心 . 作直线 - 与椭圆 , 相切$求直线 - 的方程* ' 当圆 . 和椭圆 , 有两个公共点 > $ @ !线段 >@ 不与 $ 轴垂直" 时$若点 , 为线段 >@ 的中点$设直线 ,. 斜率为 % ! $直线 2, 斜率为 % " $则%! % " 是否为定值+ 若是$请求出该定值*若不是$请说 明理由 ! !第 !* 题" !! 江苏高考学科基地密卷!七"# ( 江苏高考学科基地密卷!七"# ) 江苏高考学科基地密卷!七"# $ !+! !本小题满分 !$ 分" 已知函数 0 ! $ " &7 $ ! )7 $ '$') "!其中 7&"!4!+"+ 0是自然对数的底 数"的图象与 $ 轴切于原点 ! !"求实数 ) 的值* ! " "证明& 0 ! $ "存在唯一的极大值点 $ % $满足 $ % " ! % $ %*! "$且 % " 1 * ! # "在! " "的条件下$求使 0 ! $ % " - + 成立的最小整数 + 的值 ! '%! !本小题满分 !$ 分" 已知数列' ) * (与' 4 * (均为正项数列$前 * 项和分别为 ' * 和 7 * $且对任意 * " & # $ ) **! ') * &" ! 4 **! '4 * "恒成立 ! !"若 (' * & ! ) * *! " " $ 4 ! &") ! $求 7 * * ! " "若 ) * &7 * $ 4 ! &"! & 求能使 ) * *" $ 4 + $ )'+ 成等比数列的所有正整数对! + $ * "* ' 设 5 * &* ) "' ' * 7 ! " * $则是否存奇数 = 与偶数 9 ! - = - 9 "$使 "5 ! $ 5 = $ 5 9 成等差数列+ 若存在$求出 = 与 9 的值*若不存在$请说明 理由 ! 第 $ 卷!必做题$共 (% 分" '!! .选做题/本题包括 - % . % / 三小题$请选定其中两题 !!!!!! $并在相应的答题区 !!!!!!!! 域内作答 !!!! ! -, ,选修 ('" &矩阵与变换-!本小题满分 !% 分" 设矩阵 '& " '! , - " ! 的逆矩阵为 ' '! $求! ' '! " " ! ., ,选修 ('( &坐标系与参数方程-!本小题满分 !% 分" 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知直线 - 的参数方程为 $& 槡" " 9 ( &"* 槡" " * + , 9 ! 9 为 参数"$椭圆 . 的参数方程为 $&"/01 ! $ ( &15- ' ! !为参数" ! 设直线 - 与椭圆 . ! 相交于 " $ # 两点$求线段 "# 的长 ! /, ,选修 (') &不等式选讲-!本小题满分 !% 分" 已知 $ $ ( $ & " 0 $且 $*" ( *#&*+&%! 求证&! $'! " " * ! ( *" " " * ! &'# " " ( !(! .必做题/第 '' 题%第 '( 题$每题 !% 分$共计 '% 分 ! 请在答卷纸指定区域内 !!!!!!!! 作答 ! ''! !本小题满分 !% 分" 已知! *"$ " * &) % *) ! $*) " $ " * 0 *) * $ * ! * " & # " ! !"当 *&$ 时$求 ) % *) " *) ( *) $ 的值* ! " "化简& 6 * % L % . "% "* " "% ! '(! !本小题满分 !% 分" 已知有序数组! ) ! $ ) " $0$ ) "*'! " * " & #同时满足下列两个条件& & ) M " ' '! $ ! ($其中 M&! $ " $0$ "*'! * ' 对任意的 % ) * ! % " & # "都有 . ) ! *) " *) # * 0 *) "%'! .) ! 成立*记满 足上述两个条件的有序数组! ) ! $ ) " $0$ ) "*'! "的个数为 ' * ! !"求 ' ! $ ' " $ ' # * ! " "求 ' * 的表达式 ! 江苏高考学科基地密卷!八"# ! 江苏高考学科基地密卷!八"# " 江苏高考学科基地密卷!八"# # 江苏高考学科基地密卷!八" 数 ! 学 第 ! 卷!必做题$共 !$% 分" 一%填空题&本大题共 !" 小题$每小题 # 分$共 $% 分 ! !! 已知复数 &&#*(5 !其中 M 是虚数单位"$ & ' 是其共轭复数$则复数 & ' ) ! & 的实部为 !%! ! '! 设 ) ' % 且 ) 2 ! $ 4 " N $集合 "& ! ( $ ,0 ; ) ' ( " $ #& ' '! $ % $ " 4 ( ! 若 " > # $ 则 )*4& !%! ! (! 如图$茎叶图记录了 " $ # 两组各 # 名同学在期末考试中的数学成绩$则 较为稳定的那组同学成绩的方差为 !%! ! !第 ( 题" !! !!!! !第 " 题" !! "! 根据如图所示的伪代码$则运行后输出的结果为 !%! ! #! 口袋中有形状和大小完全相同的 ( 个小球$球的编号分别为 ! $ " $ # $ (! 若 从袋中有放回的依次摸出 " 个球$则摸出的 " 个球编号之和为奇数的概 率为 !%! ! )! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知双曲线 . & $ " ) " ' ( " 4 " &! ! ) ' % $ 4 ' % "的离 心率为 槡#) ) $则它的右焦点 6 ! # $ % "到它的一条渐近线的距离为 !%! ! $! 设 ' * 为等比数列 ) ' ( * ! * " & # "的前 * 项和$若 ) # ) + &") !% $ ' ( &+% $则 ) ( 的值为 !%! ! *! 设球 2 与圆锥 '2 ! 的体积分别为 I ! $ I " ! 若圆锥 '2 ! 的母线长是其底面 半径的 " 倍$且球 2 的表面积与圆锥 '2 ! 的侧面积相等$则I ! I " 的值 为 !%! ! +! 函数 0 ! $ " &"?M* ! + $* & "! " ' % $ +' % $ % ) & - " # "在 0 上的部分图象如 图所示$则 0 ! "%"% "的值为 !%! ! !第 + 题" !! !!!! !第 !' 题" !! !%! 已知函数 0 ! $ " &"15-$'7 $ *7 '$ $则不等式 0 ! "$ " '! " * 0 ! $'" " ( % 的解集为 !%! ! !!! 已知半径为 ! 的圆 . 的圆心在射线 ( &'$*" ! $ ( ! "上$若圆 . 上有且 仅有一点 / $满足 /" " */# " &$ $其中 " !$ ! "$ # ! # $ # "$则圆 . 的方程 为 !%! ! !'! 如图$在 1 "#. 中$ 3 是 #. 的中点$ : 在边 "# 上$ ".&" $ #:&":" $ "3 与 .: 的交点为 2! 若 34 "2 ) 34 #.&'" $则 "# 的长为 !%! ! !(! 设 ) ' % $ ) 2 ! $函数 0 ! $ " &) $ '$ ) $ ' %! 若函数 0 ! $ "存在唯一零点$则 ) 的取值范围是 !%! ! !"! 在 1 "#. 中$已知 ! 23-" * ! 23-# * " 23-. & 槡+# # /01. $则角 . 的最大值 为 !%! ! 二%解答题&本大题共 ) 小题$共计 +% 分 ! 解答时应写出文字说明%证明过程 或演算步骤 ! !#! !本小题满分 !( 分" 如图$直三棱柱 "#.'" ! # ! . ! 中$点 > 为棱 " ! . ! 的中点$且 " ! # ! &# ! . ! ! !"求证&平面 "# ! > / 平面 ".. ! " ! * ! " "求证& #. ! 22平面 "# ! >! !第 !# 题" !! !)! !本小题满分 !( 分" 已知函数 0 ! $ " &"/01$ ) /01 # $ ' ! " $ ' 槡# " ! !"当 $ " ' # # $ # ! " $ 时$求函数 0 ! $ "的值域* ! " "若 0 ! ! " " & # ) $ !" # " $ ! " # $求 0 ! * # " $ 的值 ! !$! !本小题满分 !( 分" 如图$在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知椭圆 . & $ " ) " * ( " 4 " &! ! ) ' 4 ' % "的 短轴长为 槡"# $左焦点 6 在圆 2 & $ " * ( " &! 上$过点 6 的直线 - 与椭圆 . 交于 , $ / 两点$与圆 2 的另一交点为 >! !"求椭圆 . 的方程* ! " "若 ,/& !$ ) ! & 求直线 - 的方程* ' 若点 @ 为圆 2 上的动点$求 1 >@6 面积的最大值 ! !第 !$ 题" !! !*! !本小题满分 !$ 分" 某农场灌溉水渠长为 !%%%= $横截面是等腰梯形 "#.3 !如图"$ "3 22 #. $ "#&.3 $其中渠底 #. 宽为 != $渠口 "3 宽为 #= $渠深# ( =! 根 据国家对农田建设补贴的政策$该农场计划在原水渠的基础上分别沿 "3 方向加宽% "# 方向加深$若扩建后的水渠横截面 "# ! . ! 3 ! 仍是等 腰梯形$且面积是原面积的 " 倍 ! 设扩建后渠深为 B= $若挖掘费为 )B " 元2 = # $扩建后的水渠的内壁 "# ! $ . ! 3 ! 和渠底 # ! . ! 铺设混凝土费为 #) 元2 = " ! !"试用 B 表示渠底 # ! . ! 的宽$并确定 B 的取值范围* ! " "问&渠深 B 为多少时$可使总建设费最少+ !注&总建设费为挖掘费与铺设混凝土费之和" !第 !* 题" !! 江苏高考学科基地密卷!八"# ( 江苏高考学科基地密卷!八"# ) 江苏高考学科基地密卷!八"# $ !+! !本小题满分 !$ 分" 设 + " 0 $函数 0 ! $ " &$ " *+$ $ ; ! $ " &7 $ $ 0 8 ! $ "为 0 ! $ "的导函数 ! !"若曲线 ( & 0 8 ! $ "与曲线 ( & ; ! $ "相切$求实数 + 的值* ! " "设函数 J ! $ " & 0 ! $ " ; ! $ " $ + " ! % $ ! " ! 若 J ! $ % "为函数 J ! $ "的极大值$ 且 $ % " ! % $ %*! "$ % " & # ! & 求 % 的值* ' 求证&对于 9 $ " ! % $ %*! "$ J ! $ " - # 7 成立 ! '%! !本小题满分 !$ 分" 已知等差数列' ) * (的前 * 项和为 ' * $且满足 ) " *) ( &) ) $ ' !% ')) $ &"%! !"求数列' ) * (的通项公式* ! " "设 4 * & C ) * $ C " & # $且存在 9 " & # $使得 #4 9*" '(4 9*! 是数列' 4 * (中的 项 ! & 求 C 的值* ' 若存在 + $ % $ = " & # $ + - % - = $使得,0;C 4 +*! 4 +*! $ ,0 ; C 4 %*! 4 %*! $ ,0 ; C 4 =*! 4 =*! 成 等差数列$求 % 的最小值 ! 第 $ 卷!必做题$共 (% 分" '!! .选做题/本题包括 - % . % / 三小题$请选定其中两题 !!!!!! $并在相应的答题区 !!!!!!!! 域内作答 !!!! ! -, ,选修 ('" &矩阵与变换-!本小题满分 !% 分" 已知点 , ! ) $ 4 "$先对它作矩阵 $& ! " ' 槡# " 槡# " ? @ A B ! " 对应的变换$再作 )& " % , - % " 对应的变换$得到的点的坐标为! ( $槡(# "$求实数 ) $ 4 的值 ! ., ,选修 ('( &坐标系与参数方程-!本小题满分 !% 分" 在极坐标系中$曲线 . 的极坐标方程为 * &"15- ( $以极点 2 为坐标原点% 极轴为 $ 轴的非负半轴建立平面直角坐标系$直线 - 的参数方程为 $&9 $ ( &"9 ' '! ! 9 为参数"$若直线 - 与曲线 . 交于点 " $ # $求 1 2"# 的 面积 ! /, ,选修 (') &不等式选讲-!本小题满分 !% 分" 已知正数 $ $ ( $ & 满足 $* ( *&&! $证明& ! $*" ( * ! ( *"& * ! &*"$ ( 6! .必做题/第 '' 题%第 '( 题$每题 !% 分$共计 '% 分 ! 请在答卷纸指定区域内 !!!!!!!! 作答 ! ''! !本小题满分 !% 分" 如图$在三棱锥 3'"#. 中$ ". / #. $ 3. / 平面 "#. $ ".&" $ #.& 槡"" $ : 是 "3 的中点$若直线 #: 和 .3 所成角为 $%8! !"求平面 :#. 与平面 "#. 所成的二面角的大小* ! " "求直线 #3 与平面 #.: 所成角的正弦值 ! !第 '' 题" !! '(! !本小题满分 !% 分" 对于给定的常数 * $ 1 ! * ( " $ * " & # $ % - 1 - ! "$设随机变量 D ( # ! * $ 1 " ! !"求概率 , ! D&% "! %&% $ ! $ " $0$ * " ! & 说明它是二项式! C * 1 " * ! C &!' 1 "展开式中的第几项* ' 若 1 & ! " $化简& 6 * % L ! , ! D L % "* ! " "设 O&D " $求 : ! O "$其中 : ! O "为随机变量 O 的数学期望 ! 江苏高考学科基地密卷!九"# ! 江苏高考学科基地密卷!九"# " 江苏高考学科基地密卷!九"# # 江苏高考学科基地密卷!九" 数 ! 学 第 ! 卷!必做题$共 !$% 分" 一%填空题&本大题共 !" 小题$每小题 # 分$共 $% 分 ! !! 已知集合 "& ' ! $ " ($ #& ' " $ # $ ) ($则 " 8 #& !%! ! '! 设复数 & 满足 && ! '5 "! #*(5 "! 5 是虚数单位"$则 & 的模为 !%! ! (! 已知向量 !& ! '# $ ! "$ "& !$ % "$若 ! 0 " $则实数 % 的值为 !%! ! "! 已知 "%%% 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所 示$则时速在, )% $ 4% "的汽车大约有 !%! 辆 ! !第 " 题" !! !!!!!! !第 # 题" !! #! 右图是一个算法的流程图$则输出的 * 的值是 !%! ! )! 某普通高中有数学%物理%化学%计算机四个兴趣小组$甲%乙两位同学各 自随机参加一个兴趣小组$则这两位同学参加不同的兴趣小组的概率 为 !%! ! $! 已知 15- ! " & ! # $则 15- ! * # " " 的值为 !%! ! *! 设等差数列 ) ' ( * 的前 * 项和为 ' * $若 ' 6 &!+ $则 ) # *) ) *) 4 的值 为 !%! ! +! 函数 0 ! $ " & ! " $*15-$ $ " , % $ # -的最大值为 !%! ! !%! 四棱锥 ,'"#.3 的底面 "#.3 为平行四边形$ @ 为线段 ,# 的中点$ 则三棱锥 ,'"@. 与四棱锥 ,'"#.3 的体积的比值为 !%! ! !第 !% 题" !! !!! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$椭圆 . & $ " ) " * ( " 4 " &! ! ) ' 4 ' % "的右焦点为 6 $ 双曲线 : & $ " ) " ' ( " 4 " &! 的渐近线为 - ! $ - " $以 26 为直径的圆交 - ! $ - " 于 > $ @! 若 26&">@ $则双曲线 : 的离心率为 !%! ! !'! 已知两条直线 - ! < ( &"+* ) " 和 - " < ( &"+ " $ - ! 与函数 ( & ,0 ; # $ 的 图象从左至右相交于点 " ! $ ! $ (! "$ # ! $ " $ (" "$ - " 与 ( & ,0 ; # $ 的图象 从左至右相交于点 . ! $ # $ (# "$ 3 ! $ ( $ (( "$则 $ # '$ ! $ ( '$ " 的最大值 为 !%! ! !(! 设函数 0 ! $ " & ! )*! " $ " '4$*) ! ) $ 4 " 0 "$若函数 ( & 0 ! $ "有零点$且 与函数 ( & 0 ! 0 ! $ ""的零点完全相同$则 4 的取值范围是 !%! ! !"! 设直角三角形 "#. 的三边长分别为 ) $ 4 $ 5 $其中 5 为斜边长 ! 则 ) # *4 # *"5 # )45 的取值范围是 !%! ! 二%解答题&本大题共 ) 小题$共计 +% 分 ! 解答时应写出文字说明%证明过程 或演算步骤 ! !#! !本小题满分 !( 分" 设 1 "#. 的三个内角 " $ # $ . 所对的边分别为 ) $ 4 $ 5 $且满足 34 #. ) 34 #" &' ! " )5! !"求角 # 的大小* ! " "若 4 槡&"# $ 15-"*15-.&! $求 1 "#. 的面积 ! !)! !本小题满分 !( 分" 如图$在三棱锥 ,'"#. 中$ 1 ,#. 为等边三角形$点 2 为 #. 的中点$ ". / ,# $平面 ,#. / 平面 "#.! !"求证&平面 ,". / 平面 ,#. * ! " "已知 : 为 ,2 的中点$ 6 是 "# 上的点$ "6& # "#! 若 :6 0 平面 ,". $求 # 的值 ! !第 !) 题" !! !$! !本小题满分 !( 分" 某城市为了美化旅游景区$决定在夹角为 ()8 的两条道路 :# $ :6 之间挖 一个半椭圆形状的人工湖$如图所示$ "#&(% 米$ 2 为 "# 的中点$ 23 为椭圆的半长轴$椭圆的一个焦点 , 在 23 上$在椭圆形区域内建造三 角形游船区 >@, $其中 > $ @ 在椭圆上$且 >@ 平行于 "# 交 23 于 < $ , 在线段 2< 上 ! !"若 2:&#% 米$为了不破坏道路 :6 $求椭圆半长轴长的最大值* ! " "若椭圆的离心率为槡" " $当线段 ,< 长为何值时$游船区域 1 >@, 的 面积最大+ !第 !$ 题" !! !*! !本小题满分 !$ 分" 已知圆 . 过点 2 ! % $ % "且与圆 > & $ " * ! ( 槡*"# " " &( 相切于点 @ !$ 槡' # " ! !"求圆 . 的方程* ! " "设 , 为 $ 轴上一定点$过点 / !$ % "的直线 - 交圆 . 于点 " $ #! 若存 在无穷多条直线 - $使得 ," ) ,#&+ ! + 为定值"$求点 , 的坐标 ! 江苏高考学科基地密卷!九"# ( 江苏高考学科基地密卷!九"# ) 江苏高考学科基地密卷!九"# $ !+! !本小题满分 !$ 分" 已知函数 0 ! $ " &)7 $ ')7,-$ ! ) ' % "$其中 7 为自然对数的底数 ! !"试讨论函数 0 ! $ "的单调性* ! " "若对于任意 $ " ! 7 $ , - 7 $不等式 0 ! $ " ) $ 恒成立$求 ) 的最大值 ! '%! !本小题满分 !$ 分" 对于数列 ) ' ( * 和 4 ' ( * $若数列 4 ' ( * 的首项为 ) ! $且当 * ( " 时$ 4 * &) * 或 ') * $ 则称 4 ' ( * 为 ) ' ( * 的生成数列 ! !"若 ) * &#*'! $存在正整数 + $使得 4 ' ( * 的前 + 项和为 !( $求 + 的最 小值* ! " "若 ) * & # " *'! ! & 4 ' ( * 的前 ( 项和为6 + $求 4 " $ 4 # $ 4 ( * ' 对于任意给定的正整数 * $证明& 4 ' ( * 的前 * 项和 ' * 的所有可能 的值按从小到大排列构成一个等差数列 ! 第 $ 卷!必做题$共 (% 分" '!! .选做题/本题包括 - % . % / 三小题$请选定其中两题 !!!!!! $并在相应的答题区 !!!!!!!! 域内作答 !!!! ! -, 选修 ( # " &矩阵与变换!本小题满分 !% 分" 已知 ) $ 4 " 0 $向量 !& '! , - " 是矩阵 '& ) ! '! , - 4 的属于特征值 '! 的 一个特征向量$ !"求 ) $ 4 的值* ! " "若曲线 . ! & $'" ( *#&% 在矩阵 ' 对应变换作用下得到另一曲线 . " $求 . " 的方程 ! ., 选修 ( # ( &坐标系与参数方程!本小题满分 !% 分" 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知直线 - 的参数方程为 $&'"*9 $ ( & 9 " * + , *# ! 9 为 参数"$曲线 . 的参数方程 $&"/01 ( $ ( 槡& #15- * + , ( ! ( 为参数" ! 设 > 为曲线 . 上的 动点$求点 > 到直线 - 的距离的最小值 ! /, 选修 ( # ) &不等式选讲!本小题满分 !% 分" 已知 ) $ 4 均为正实数$且 ) ' 4 $求证& ")* ! ) " '")4*4 " ( "4*#! .必做题/第 '' 题%第 '( 题$每题 !% 分$共计 '% 分 ! 请在答卷纸指定区域内 !!!!!!!! 作答 ! ''! !本小题满分 !% 分" 在平面直角坐标系 $2 ( 中$已知抛物线 . & ( " &" 1 $ ! 1 ' % "经过点 / !$ '! " ! !"求抛物线 . 的方程* ! " "过点 / 分别作互相垂直的两直线 /> $ /@ $分别与抛物线 . 相交于 异于点 / 的两点 > $ @! 求证&直线 >@ 过定点 ! !第 '' 题" !! '(! !本小题满分 !% 分" 已知数列 ) ' ( * 的各项均为正数$ 4 * &* !* ! " * * ) * ! * " & # "$ 5 * & ! ) ! ) " 0 ) * " ! * $数列 ) ' ( * $ 5 ' ( * 的前 * 项和分别记为 ' * $ 7 * $ 7 为自然对数 的底数 ! !"求证& 5 ! ) ! " 4 ! $ 5 " ) ! $ ! 4 ! *4 " "* 并探究更一般的结论 5 * )!%! )! 4 ! *4 " * 0 *4 *'! *4 * "*!本结 论证明不作要求" ! " "证明& 7 * - 7' * ! 江苏高考学科基地密卷!十"# ! 江苏高考学科基地密卷!十"# " 江苏高考学科基地密卷!十"# # 江苏高考学科基地密卷!十" 数 ! 学 第 ! 卷!必做题$共 !$% 分" 一%填空题&本大题共 !" 小题$每小题 # 分$共 $% 分 ! !! 设复数 & ! "! " & '"5 *5 ! 5 为虚数单位"$则复数 & 的共轭复数 & 为 !%! ! '! 设集合 "& + $ ' ( '# $ #& ! $ + " ' ( '( ! 若 " $ # ' ( & '# $则实数 + 的值 为 !%! ! (! 下图是一个算法流程图$则输出的 ' 的值为 !%! ! !第 ( 题" !! "!"%!6 年 ( 月 "+ 日$中国北京世界园艺博览会开幕 ! 本次博览会以3绿色生 活$美丽家园4为主题$旨在倡导人们尊重自然%融入自然%追求美好生活 ! 园区主要包括3中国馆4%3国际馆4%3植物馆4%3生活体验馆4四大展馆 ! 开 馆第一天$游客甲打算随机参观其中的两个馆$则这位游客能参观到3中 国馆4的概率为 !%! ! #! 若一组数据 "$ ! *! $ "$ " *! $0$ "$ "%"% *! 的方差为 !$ $则数据 $ ! $ " $0$ $ "%"% 的方差为 !%! ! )! 已知函数 0 ! $ "是定义在 0 上的偶函数$且对于任意的 $ " 0 都有 0 ! $*( " & 0 ! $ " * 0 ! " "$ 0 !" &( $则 0 ! # " * 0 ! % "的值为 !%! ! $! 在 1 "#. 中$已知角 " $ # $ . 所对的边分别为 ) $ 4 $ 5 $若 4 " &)5 $且 /01#& 槡#!'15- " # $则角 # 的大小为 !%! ! *! 如图$在三棱柱 "#.'" ! # ! . ! 中$已知 "" ! / 面 " ! #. $ " ! #&" ! .& """ ! &" $ #. 槡&"" $则四棱锥 " ! '#.. ! # ! 的体积为 !%! ! !第 * 题" !! !!!! !第 !% 题" !! +! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$设双曲线$ " ) " ' ( " 4 " &! ! ) ' % $ 4 ' % "的右焦点为 6 $若双曲线的右支上存在一点 , $使得 1 ,26 为等腰直角三角形$且 2, / 6, $则双曲线的离心率为 !%! ! !%! 如图$在 1 "#. 中$ 5 #".&6%8 $ 34 ". &" $ 34 #.& # 34 .3 #' ! " % ! 若 34 ". ) 34 "3&$ $则 # 的值为 !%! ! !!! 在平面直角坐标系 $2 ( 中$点 , $ / 分别为圆 . ! & $ " * ! ( '( " " &! 和圆 . " &! $'") " " * ! ( ') " " " &! !其中 ) " 0 "上的两个动点$则 ,/ 的最小 值为 !%! ! !'! 已知数列 ) ' ( * 是以 ! 为首项$ " 为公差的等差数列$且 ! " '! **! ) " ' ( * 的 前 * 项和为 ' * $则数列 ' "* ' ( * 的前 !% 项和为 !%! ! !(! 设函数 0 !" $ & ,-$'" $ ' % $ '$ # *#$ $ ) % * + , $ $若方程 0 " !" $ *+ 0 !" $ *+ " '!&% 有 ) 个不同的实数根$则实数 + 的取值范围是 !%! ! !"! 已知正实数 $ $ ( 满足 $ ( - ! ( $且 ( ( " *($ ( *!& ( $ $则! $ *$'# ( 的最 小值为 !%! ! 二%解答题&本大题共 ) 小题$共计 +% 分 ! 解答时应写出文字说明%证明过程 或演算步骤 ! !#! !本小题满分 !( 分" 如图$在正三棱柱 "#.'" ! # ! . ! 中$已知点 : 在棱 "# 上$且 ":& ":# $点 6 在棱 ". 上$且 "6&"6. $点 3 为棱 # ! . ! 的中点$点 < 为棱 #. 的中点 ! 求证& !" :6 22平面 #.. ! # ! * ! " " :6 / 平面 " ! "<3! !第 !# 题" !! !!!! !)! !本小题满分 !( 分" 已知向量 ! 槡& "15-$* # ! " ( $ 15-$* # ! "! " ( $ "& 15-$ $ + ) 15-$' # ! "! " ( ! !"若 +&% $试研究函数 0 !" $ &! ) " 在区间 # + $ # # , - ( 上的单调性* ! " "若 23-$&" $且 ! 22 " $试求实数 + 的值 ! !$! !本小题满分 !( 分" 如图$在宽为 !(= 的路边安装路灯$灯柱 2" 高为 += $灯杆 ," 是半径 为 == 的圆 . 的一段劣弧 ! 路灯采用锥形灯罩$灯罩顶 , 到路面的距离 为 !%= $到灯柱所在直线的距离为 "=! 设 / 为灯罩轴线与路面的交点$ 圆心 . 在线段 ,/ 上 ! !"当 = 为何值时$点 / 恰好在路面中线上+ ! " "记圆心 . 在路面上的射影为 J $且 J 在线段 2/ 上$求 J/ 的最 大值 ! !第 !$ 题" !! !*! !本小题满分 !$ 分" 已知椭圆 . & $ " ) " * ( " 4 " &!) ' 4 ' ! " % 的左%右顶点分别为 " $ # $右准线为 - $且离心率为! " ! 圆 : 是以直线 - 与 $ 轴的交点为圆心$槡"为半径的圆! 过点 # 作圆 : 的两条切线$切点分别为 , $ / $且 5 ,#/&6%8! !"求椭圆 . 的标准方程* ! " "过点 3 ' " # $ ! " % 的直线与椭圆交于点 > $ @ 两点!不与 " $ # 重合"$ 直线 "> 与直线 #@ 的交点为 7 $证明& 1 7,/ 的面积为定值 ! 江苏高考学科基地密卷!十"# ( 江苏高考学科基地密卷!十"# ) 江苏高考学科基地密卷!十"# $ !+! !本小题满分 !$ 分" 已知函数 0 ! $ " & )$ ,-$ ! ) " 0 "$函数 0 ! $ "在 $& ! 7 处的切线斜率为 '"! !"求函数 0 ! $ "的单调减区间* ! " "若函数 ( & 0 ! $ "的图象与直线 ( &+ ! + ' 7 "交于不同的两点 " $ ! $ ( ! " ! $ # $ " $ ( ! " " $求证& $ ! *$ " ' "7! '%! !本小题满分 !$ 分" 斐波那契数列! ?5@0-3//517 A B7-/7 "$又称黄金分割数列%因数学家列昂 纳多)斐波那契! C70-3DE0E3?5@0-3//5 "以兔子繁殖为例子而引入$故 又称为3兔子数列4 ! 记斐波那契数列为 ) ' ( * $数列 ) ' ( * 满足 ) ! &! $ ) " & ! $ ) **! &) * *) *'! ! * ( " $ * " & # " ! !"若 ) **! ' 1 ) ' ( * ! 1 - % "是等比数列$求实数 1 的值* ! " "求斐波那契数列 ) ' ( * 的通项公式* ! # "求证&从第二项起$每个偶数项的平方都比其前后两项之积少 !! 第 $ 卷!必做题$共 (% 分" '!! .选做题/本题包括 - % . % / 三小题$请选定其中两题 !!!!!! $并在相应的答题区 !!!!!!!! 域内作答 !!!! ! -, ,选修 ( # " &矩阵与变换-!本小题满分 !% 分" 将曲线 . ! & $ " ' ( " &! 绕原点逆时针旋转 ()8 后得到曲线 . " $求曲线 . " 的方程 ! ., ,选修 ( # ( &坐标系与参数方程-!本小题满分 !% 分" 在平面直角坐标系 $2 ( 中$曲线 . 的参数方程为& $&9 $ ( &"槡 * + , 9 ! 9 为参数" ! 以坐标原点为极点$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系$直线 - 的极坐标 方程为 " * /01 ( * # ! " $ 槡& # $求直线 - 与曲线 . 的交点的坐标 ! /, ,选修 ( # ) &不等式选讲-!本小题满分 !% 分" 已知正实数 $ $ ( $ & 满足 $ " * ( " *& " &! $求 #$*" ( *& 的最大值 ! .必做题/第 '' 题%第 '( 题$每题 !% 分$共计 '% 分 ! 请在答卷纸指定区域内 !!!!!!!! 作答 ! ''! !本小题满分 !% 分" 某商场策划一场年中促销活动$活动方案为&消费者单笔购物每满 !%% 元获得一次抽奖机会!如$顾客单笔消费 #4$ 元$获得 # 次抽奖机会" ! 抽 奖规则如下&一个抽奖盒中装有除颜色外完全相同的 " 只红球和 # 只白 球$从中有放回地摸球$每次随机摸出两个$结果若为一个白球一个红 球$则不中奖*若为两个白球$则中二等奖$奖金为 !% 元*若为两个红球$ 则中一等奖$奖金为 "% 元 ! !"若顾客甲单笔消费 !4) 元$求顾客甲中奖的概率* ! " "若顾客乙单笔消费 "") 元$求顾客乙获得奖金 D 的概率分布和数学 期望 : ! D " ! '(! !本小题满分 !% 分" 设! $ P ! " "* L ) % Q ) ! $ Q ) " $ " Q 0 Q ) "* $ "* $其中 * " & # $ ) % ! % L % $ ! $ " $0$ "* "是与 $ 无关的常数$记 ' "* L 6 "* % L % ) % % Q ! ! !"求 ' "* * ! " "设 4 * & "' "* ' "* *! $用数学归纳法证明& 4 * *4 **! * 0 *4 * " ( ! " $ * " & # ! 书 江苏高考学科基地密卷!一" 第 ! 卷 ! !必做题"共 !"# 分# 一#填空题$本大题共 !" 小题%每小题 # 分%共计 $% 分 ! !! &答案' ! ! " # $ ! &解析'因为集合 "% ! ! & ! " # $ ! #% $$%&%'! ! % " & " # # 表示正奇数构成的集合!所以 " $ #% ! ! " # $ ! '! &答案' '&( &解析'设 &%')(( $ ' " ( ! ( % # %!则 ')( $ % ( & %' & '( & )&'((%'* !所以 ' & '( & %'* ! '(%# !解得 '%# ! ( %'& !所以 &%'&(! )! &答案' !+ &解析' )%!,$,+%!+! "! &答案' $# &解析'由 *+)!+ *+)!+)$#)!#)&#)$ % !& $# !得 $%$#! #! &答案' ! &解析'由 $ & '! !得 $)! & # !所以 * %$)!) * $)! '! ' & $ )! %& * $槡 )! '!%*'!%$ $当且仅当 $%! 时!等号成立% ! *! &答案' * &解析'在各项均为正数的等比数列" ' + #中!由 ' - %' " )&' * !得 , * % , & )& !所以 , & %&! 从而 ' " %' & , * %*! $! &答案' ! !& &解析'双曲线$ & - ' * & & %! 的渐近线为 * %. ! & $ !一颗正方体骰子先后投掷 & 次共有 $" 种等可能基本事 件!其中满足 +% ! & - 的等可能基本事件包括'$ & !%!$ * ! & %!$ " ! $ %!故所求概率为$ $" % ! !& ! $第 - 题% +! &答案' * " &解析'作出不等式组所表示的可行域$如图中阴影部分所示%!则 "# 长度的最大 值为 * !故以 "# 为直径的圆的最大面积为 * " ! ,! &答案' & &解析' . " ! '# ! /0 % ! $ ) # ! /0 , 槡$ & ' % ! $ ' & ' ! & ', ' & ' ! & , ' & , ' & ' ! & , ' & , $ % ' , 槡$ & '% ! $ , $ - ' & , 槡$ & ' % 槡$ & !解得 '%&! !%! &答案' " &解析'结合函数 1 $% % 槡$! # % $ % ! ! & $ '! %! $ ' " ! 的图象知! # % ' % !! 由 1 $ ' % % 1 $ ')! %得!槡'%&' !解得 '% ! * ! 则 1 ! $ % ' % 1 $ * % %"! !!! &答案' # % ' % ! &解析' 1 2 $% %') & $ & ' $ $ % '$ & '$$)& $ & !则 ' & # !且 1 2 $ ! % % # !解得 # % ' % !! !'! &答案' ! * ( ! ( &解析'将 ( ! ( % ( !'" ( 平方!得 ! & %! & '&! & ")" & !即 ! & "% ! & " & % ! & # 因为 !)"%&$ !所以 $'!% ! & "' $ % ! !则 $' % ! & "% ! & "' $ % ! & "% ! & " & '! & $ % " % ! * # !)! &答案'槡&'! &解析'设 /01& ! ' " $ % $ % 3 /01 " $ !则 /01 ! ) ! ' " $ % $ % 3 /01 ! ' ! ' " $ %) * $ ! 即 /01 ! /01 ! ' " $ % $ '1(2 ! 1(2 ! ' " $ % $ % 3 /01 ! /01 ! ' " $ % $ ) 3 1(2 ! 1(2 ! ' " $ % $ ! 即$ !' 3 % /01 ! /01 ! ' " $ % $ % $ !) 3 % 1(2 ! 1(2 ! ' " $ % $ !所以 342 ! 342 ! ' " $ % $ % !' 3 !) 3 ! 又 342 ! & 342 ! ' " $ % $ % 3 !所以 3 % !' 3 !) 3 !解得正常数 3 槡% &'!! !"! &答案' 槡&& &解析'过 4 作斜边 "# 的垂线! 5 为垂足 ! 设 "5%#5%$ ! 45% * ! /4%6 !则等腰直角三角形 /"# 中! "5%/5 !即 6) * %$ !又 $ & ) * & %* !所以 &$ & '&6$)6 & '*%# 在 # ! $ % * 上有解!从而 # % '& $ % 6 & '- 6 & $ % '* ' # !解得 6 ) 槡&&! 且当 6 槡%&& 时! $ 槡% &% * !所以 /4 的最大值为 槡&&! 二#解答题$本大题共 * 小题%共计 ,% 分 ! 请在答题卡指定区域 !!!!!!! 内作答 ! !#! 证明'$ ! %连结 "# ! ! 在三棱柱 "#4'" ! # ! 4 ! 中!四边形 # ! 4 ! 4# 为平行四边 形!从而 7 为平行四边形 # ! 4 ! 4# 对角线的交点! 所以 7 为 # ! 4 的中点! $$ & 分 又 8 是 "4 的中点! 从而在 * "4# ! 中!有 78 ++ "# ! ! $$ * 分 又 78 + 平面 " ! "## ! ! "# !, 平面 " ! "## ! ! 所以 78 ++平面 " ! "## ! ! $$ " 分 $ & %在 * "#4 中!因为 "#%#4 ! 8 为 "4 的中点! 所以 #8 - "4 $$ - 分 又因为 "4 - #4 ! ! #4 !$ #8%# ! #4 ! ! #8 , 平面 #4 ! 8 ! 所以 "4 - 平面 #4 ! 8! $$ !& 分 因为 "4 , 平面 " ! 4 ! 4" ! 所以平面 " ! 4 ! 4" - 平面 #4 ! 8! $$ !* 分 !*! 解'$ ! %因为 ') ! ' )*/014%# ! ' 槡% 5 !所以 /014%' 槡&5 5 ! $$ & 分 因为 1(2 & 4)/01 & 4%! ! 4 " # ! $ % " !所以 1(24% 槡&! 5 ! $$ * 分 又 (%! !所以 * "#4 的面积 )% ! & '(1(24% ! & 槡, 5,!, 槡&! 5 % 槡$ & ! $$ " 分 $ & %因为 '1(24 槡% $ ! ') ! ' )*/014%# ! 所以 1(24% 槡$ ' ! /014%' ! * ') ! $ % ' ! $$ - 分 由 1(2 & 4)/01 & 4%! 得! 槡$ $ % ' & ) ' ! * ') ! $ %) * ' & %! ! $$ !# 分 即 ' * '!*' & )*6%# !解得 ' 槡% 5 $负值已舍% ! $$ !& 分 在 * "#4 中!由余弦定理 9 & %' & )( & '&'(/014 得! 9 槡% 5)!'&5,!, ' 槡&5 $ %槡 5 槡%&$! $$ !* 分 !$! 解'设圆锥形容器的半径为 : !高为 ; !圆锥形容器的体积为 .! ( & ( $ ! %由 & " :% & " $ !得 :% ! $ ! $$ & 分 从而 ;% !':槡 & % 槡&& $ !所以 .% ! $ );% ! $ " & $ % ! $ & , 槡&& $ % 槡&& " -! $ 7 $ % ! $$ * 分 答'圆锥形容器的体积为 槡&& " -! 7 $ ! $$ " 分 $ & %设裁剪的扇形的圆心角为 ! !由 & " :% ! !得 :% ! & " !且 # % : % ! 则 ;% !':槡 & ! 所以 .% ! $ );% ! $ " & : & , !':槡 & % ! $ " : * , !': $ %槡 & ! $$ 6 分 令 $%: & $ # % $ % ! %! 3 $% %$ & $ !'$ %!则 3 2 $% %$ $ &'$$ %! 令 3 2 $% %# 得! $% & $ ! $%# $ %舍 ! $ # ! $ % & $ & $ & $ ! $ % 3 2 $% ) # ' 3 $% . 极大值 / 所以!当 $% & $ 时! 3 $%取极大值即最大值!即 ! % 槡&" " $ 849 时! . 取最大值 槡&$ " &5 ! $$ !& 分 答'裁剪的扇形圆心角为 槡&" " $ 849 !圆锥形容器的体积取最大值 槡&$ " &5 7 $ ! $$ !* 分 !+! 解'$ ! %因为椭圆离心率为槡& & !所以9 ' % 槡& & ! 因为$ '& !槡&%在椭圆 4 上!所以* ' & ) & ( & %! ! 又 ' & %( & )9 & !解得 ' 槡%&& ! (%&! 因此所求椭圆方程为$ & - ) * & * %!! $$ * 分 $ & %设 / $ # ! * # %!则 $ #& # ! * #& # 且 $ & # )& * & # %- !设 " $ ! ! * ! %! # $ & ! * & % ! 因为直线 /" 方程为' * % * # $ # )& $ )& %!与椭圆方程联立消去 * 得! $ # )$ % $ & )& * # $'$$ & # '-$ # %# ! $$ 5 分 因为直线 /" 与椭圆交于点 / ! " !所以 $ # ! $ ! 是上面方程的两根! 所以 $ # $ ! %' $$ & # )-$ # $ # )$ !即 $ ! %' $$ # )- $ # )$ ! 所以 /"% !) * # $ # $ % )&槡 & ( $ # '$ !( % $ # )& % & ) * & # $ # % )&槡 & $ # ) $$ # )- $ # )$ % $ # )* % & & $ # % )&槡 & $ & # )"$ # )- $ # )$ % $ # % )* & 槡& $ # % )$ ! $$ !# 分 类似可求得! $ & %' $$ # '- $'$ # !从而 /#% $ # % '* & 槡& $'$ % # ! 因为 /")/# 槡%"& !所以 $ # % )* & 槡&$ # )$ % ) $ # % '* & 槡&$ '$ # % 槡%"& ! $ # )* % & $ '$ # % ) $ # '* % & $ )$ # % %!& $ 6'$ & # %! $$ !* 分 整理得 $ & # %" !因为 $ #& # ! * #& # !所以 $ # 槡% " ! * # %!! ! 故所求点 / 坐标为$槡"!% ! $$ !" 分 ( $ ( !,! 解'$ ! %由 1 $ &$ % & 1 $%得! ' &$ &$ ' ' $ $ & # !所以' $ $ ' $ '& % &$ ! 因为 ' $ & # !所以 $ $ ' $ '& % & # ! 因为 ' & ! !所以 $ & # ' $ & " & 或 $ % # ' $ % " & ! 解得! $ & :0 ;' & 或 $ % # ! 所以!原不等式解集为$ ' < ! # % 0 $ :0 ;' & ! ) < % ! $$$ * 分 $ & %函数 1 $%的定义域是$ ' < ! # % 0 $ # ! ) < %! 1 2 $% % ' $ $ :2''! % $ & ! 因为 ' & # 且 ' 1 ! !所以令 1 2 $% %# 得! $% ! :2' ! $$ + 分 # 当 ' & ! 时! ! :2' & # ! $ " $ ' < ! # %时! 1 2 $% % # ! 1 $%递减, $ " # ! ! :2 $ % ' 时! 1 2 $% % # ! 1 $%递减, $ " ! :2' ! ) <$ % 时! 1 2 $% & # ! 1 $%递增, $$ 5 分 $ 当 # % ' % ! 时! ! :2' % # ! $ " ' < ! ! :2 $ % ' 时! 1 2 $% & # ! 1 $%递增, $ " ! :2' ! $ % # 时! 1 2 $% % # ! 1 $%递减, $ " $ # ! ) < %时! 1 2 $% % # ! 1 $%递减, $$ 6 分 综上得!当 ' & ! 时! 1 $%的减区间为$ ' < ! # %! # ! ! :2 $ % ' !增区间为 ! :2' ! ) <$ % , 当 # % ' % ! 时! 1 $%的减区间为 ! :2' ! $ % # !$ # ! ) < %!增区间为 ' < ! ! :2 $ % ' ! $$ !# 分 $%因为 ! ) 1 $% ) ' &对任意 $ " ) ! ! $ *恒成立! 显然 ' & ! !且原问题等价于 1 7(2 $% ' ! 1 74= $% ) ' " & ! 由$ & %得! 1 $%在 # ! ! :2 $ % ' 上递减!在 ! :2' ! ) <$ % 上递增 ! ( % ! :2' ) ! !即 ' ' > 时! 1 $%在) ! ! $ *上递增! 由 1 74= $% % 1 $% % ' $ $ ) ' &得! ' ) $ ! 又 1 7(2 $% % 1 $ ! % %' ' ! 恒成立! 所以 > ) ' ) $! ( % ! :2' ' $ !即 ! % ' ) $ 槡>时! 1 $%在) ! ! $ *上递减! 由 1 74= $% % 1 $ ! % %' ) ' &恒成立!由 1 7(2 $% % 1 $% % ' $ $ ' ! 得! ' ' $ 槡$& $ 槡>! 所以 ' 无解 ! (( % ! % ! :2' % $ !即 $ 槡>% ' % > 时! 1 $%在 ! ! ! :2 ) % ' 上递减!在 ! :2' ! $ * $ 上递增! 由 1 7(2 $% % 1 ! :2 $ % ' %' ! :2' :2'%' :0 ; > ' :2'%>:2' ' ! 得! ' ' > ! > & > ! $ ! 由 1 74= $% ) ' &得 1 $ ! % %' ) ' & 1 $% % ' $ $ ) ' 2 3 4 & !解得 ! ) ' ) $ ! 所以 > ! > ) ' % > 适合 ! 综上!的取值范围是) > ! > ! $ * ! $$ !" 分 ( * ( '%! &解析'$ ! %在 ) + %&' +)! '&' + '! 中!令 +%! 得 ) ! %&' & '&' ! '! ! 所以 ' & % $ $ )! & ! $$ & 分 $ & %因为 ) + %&' +)! '&' + '! ! !# 所以 ) +)! %&' +)& '&' +)! '! ! !$ $ ' # 得! ' +)! %&' +)& '*' +)! )&' + ! $$ + 分 所以 &' +)& '*' +)! %' +)! '&' + ! 即 ' +)& '&' +)! % ! & $ ' +)! '&' + %! 所以 ( +)! % ! & ( + ! $$ - 分 $%不存在正数 % !使得 ( ' - '' +() % ( -'+ ( 对任意 - ! + " & # ! - 1 + 恒成立 ! 理由如下' 因为 $ %! !所以 ' ! %! ! ' & %& !所以 ( ! %' & '&' ! %#! 由$ & %得! ( + %# !所以 ( + %' +)! '&' + %# ! $$ !# 分 即 ' +)! %&' + ! + " & # ! 所以 ' " # + 是以 ! 为首项! & 为公比的等比数列! 所以 ' + %& +'! ! $$ !& 分 假设存在正数 % !使得 ( ' - '' +() % ( -'+ ( 对任意 - ! + " & # ! - 1 + 恒成立! 不妨设 - & + !此时 ' -& ' + !则 ' - '' +) % -' % + ! ' - ' % - ) ' + ' % + !记 9 + %' + ' % +%& +'! ' % + ! + " & # ! 由 - ! + 的任意性可知!数列" 9 + #不递增 ! $$ !* 分 所以 9 +)! '9 + % ) & + ' % $ +)! %* ' ) & +'! ' % + * %& +'! ' % ) #! 当 + & !):0 ;& % ! + " & #时! & +'! ' % & # !矛盾 ! 所以不存在正数 % !使得 ( ' - '' +() % ( -'+ ( 对任意 - ! + " & # ! - 1 + 恒成立 ! $$ !" 分 第 % 卷!附加题"共 *# 分# '!!-. 解'设矩阵 %% ' ( ) * 9 < !则 ' ( ) * 9 < $ ) * '* % & ) * '! !且 ' ( ) * 9 < )* # + % '! ) * & ! $$ & 分 所以 $''*(%& ! $9'*<%'! " ! 且 +(%'! ! +<%& " ! $$ " 分 解得 '% & + ! (%' ! + ! 9% ! + ! <% & + 2 3 4 ! 所以矩阵 %% & + ' ! + ! + 5 6 7 8 & + ! $$ !# 分 /. 由 $% $ & )6 ! * 槡% $ 2 3 4 6 消去参数 6 !得 * 槡% $ $ ' $ & %! 由 $% & $ - & ! * %& 2 3 4 - 消去参数 - !得 * & %"$! -- " 分 联立方程组 * 槡% $ $' % $ & * & %" 2 3 4 $ !消 $ 得 * & 槡'&$ * '6%# ! 解得 * ! 槡%$$ ! * & 槡%' $! ( + ( 所以 " 6 & !槡 $ % $$ ! # ! & ! 槡 $ % ' $ ! 所以 "#% 6 & ' $ % ! & & ) $槡 槡$) $ %槡 & %-! $$ !# 分 ?@ 因为)$ ''! % ) $ ()! % ) $ 9)& %* & % $ ''! % & ) $ ()! % & ) $ 9)& % & )& )$ ''! %$ ()! % ) $ ()! %$ 9)& % ) $ ''! %$ 9)& %* $$ * 分 ) $ )$ ''! % & ) $ ()! % & ) $ 9)& % & *! 故由已知得!$ ''! % & ) $ ()! % & ) $ 9)& % & ' $ ! 当且仅当 '%& ! (%# ! 9%'! 时!等号成立 ! $$ !# 分 ''! 解'$ ! %记.甲/乙两人不同时承担同一项任务0为事件 " !则 / $ " % %!' " * * 4 & + " * * %!' ! !# % 6 !# ! $$ * 分 $ & % & 的所有可能的取值为 # !! & ! $ ! * ! + ! / $ & = # % = $ + * + = $ % $ * + ! / $ & = ! % = 4 ! + & $ * * + = + & $ * * + ! / $ & = & % = 4 & + & $ $ * + = !# & $ $ * + ! / $ & = $ % = 4 $ + & $ & * + = !# & $ & * + ! / $ & = * % = 4 * + & $ ! * + = !+ * + ! / $ & = + % = 4 + + & $ # * + = ! * + ! 所以 > $% & = 9 + ? = # ( & / ? = + * ! $$ !# 分 ')! 解'$ ! % # 当 +%! 时! /01$)(1(2$%/01$)(1(2$ !即证, $ 假设当 +%% 时! /01$)(1(2 $ % $ % %/01%$)(1(2%$ 成立! 则当 +%%)! 时! /01$)(1(2 $ % $ %)! % /01%$)(1(2 $ % %$ /01$)(1(2 $ % $ % /01%$/01$'1(2%$1(2 $ % $ ) 1(2%$/01$)1(2$/01 $ % %$?%/01% $ % )!$)(1(2% $ % )!$ ! 故命题对 +%%)! 时也成立!由 #$ 得! /01$)(1(2 $ % $ + %/01+$)(1(2+$ , $$ * 分 $ & %由$ ! %知! ! @ /01$ @ (1(2 $ %) * $ + = 9 + : = # 4 : + /01$ @ (1(2 $ % $ : = 9 + : = # 4 : + /01:$ @ (1(2 $ % :$ ! 其实部为 ! @ 4 ! + /01$ @ 4 & + /01&$ @ - @ 4 + + /01+$ , ! @ /01 $ % $ @ (1(2 ) * $ + = &/01 & $ & @ &(1(2 $ & /01 $ $ % & + = & + /01 + $ & /01 $ & @ (1(2 $ $ % & + = & + /01 + $ & /01 +$ & @ (1(2 +$ $ % & !其实部为 & + /01 + $ & /01 +$ & ! 根据两个复数相等!其实部也相等可得! ! @ 4 ! + /01$ @ 4 & + /01&$ @ - @ 4 + + /01+$ = & + /01 + $ & /01 +$ & ! $$ !# 分 江苏高考学科基地密卷!二" 第 ! 卷 ! !必做题"共 !"# 分# 一#填空题$本大题共 !" 小题%每小题 # 分%共计 $% 分 ! !! &答案' # ! " # &解析'略 ! '! &答案' 槡$& &解析'由 ( $ &'! % %$)&( 得! &% $)&( ( )!%$'$( !所以 ( & ( % $ & ) $ '$ %槡 & 槡%$&! )! &答案' -# &解析'按照分层抽样方法!选派陆/海/空三个兵种人数之比为 $ ' * ' & !故应从海军士兵中选派人数为 !-#, ( " ( * 6 %-#! "! &答案' ! &解析'执行流程图得! +%! ! )%&,&'!%$ ! +%$ ! )%&,$'$%$ ! +%+ ! )%&,$'+%! ! +%5 & " !故输出 的 ) 的值是 !! #! &答案' ! * &解析'画树状图可得共 - 种等可能的情形!其中符合条件的有 & 种!故所求概率为! * ! *! &答案' " + &解析'抛物线 * & %-$ 的焦点 A $ & ! # %!双曲线$ & !" ' * & 6 %! 的一条渐近线方程为 $$'* * %# !由点到直线距 离公式得 <% " + ! $! &答案' * + &解析'设圆柱的底面圆半径为 : !球的半径为 B !易知$ &: % & )$ & %+ & !解得 :%&! 而 B% + & !所以圆柱的表面 积为 & " :,$)& " : & %&# " !球的表面积为 * " B & %&+ " !故该圆柱表面积与球的表面积之比为&#" &+ " % * + ! +! &答案' " " &解析'由题意! 1(2&, + " $ ) $ % ' %.! !所以!#" $ ) ' % " & )% " ! % " 0 !解得 ' %' !5 " " )% " ! % " 0 ! 所以当 %%$ 时! ' 的最小值为" " ! ,! &答案' 5 " &解析'由题意得 ' * )$' * & , " %# !又 ' *1 # !所以 , " %' ! $ !所以)!- ) !& % !' , !- !' , !& % !' ' $ % ! $ $ !' ' $ % ! $ & % 5 " ! !%! &答案' ' < ! $ % ! * &解析'易知 1 $%为奇函数!且在 ( 上单调递增!由不等式 1 $ > &$ '' % ) 1 $ &''> $ % % # 得! 1 $ > &$ '' % % 1 $ > $ '&' %!所以 > &$ '' % > $ '&' !即 '' & > &$ '> $ 在 ( 上有解!而$ > &$ '> $ % 7(2 %' ! * !所以 '' & ' ! * !即 ' % ! * ! !!! &答案' 槡$)&& &解析' &$' * %$) $ ' * % % ) $) $ ' * %*& & $ ) ! $' $ % * %$) & $ ' * % $ ) $ $' * ' 槡$)&&! !'! &答案' !5 * ( 5 ( &解析'由 # ! / ! > 三点共线知!可设:; "/% $ :; "#) $ !' $ % :; ">% $ :; "#) & $ $ !' $ % :; "4 !同理由 8 ! / ! 4 三点共 线知!可设:; "/% % :; "8) $ !' % % :; "4% % & :; "#) $ !' % % :; "4 !于是 & $ % % & $ $ !' $ % %!' 2 3 4 % !解得 $ % ! * % % 2 3 4 ! & !所以:; "/% ! * :; "#) ! & :; "4 !所以:; "/ & :; #4% $ ! * :; "#) ! & :; "4 %&$ :; "4' :; "# % %' ! * :; "# & ' ! * :; "# & :; "4) ! & :; "4 & % !5 * ! !)! &答案') '+ ! $ * &解析'可知圆 4 是圆心在直线 * 槡% $$'! 上!半径为 ! 的圆!由 < "/#%"#A 知!符合条件的点 / 的轨迹 为圆心在直线 * 槡% $$'! 上!半径为 & 的圆 4 ! !当直线 C 与圆 4 ! 相切时可得 ( 的最大值和最小值分别为 $ 和 '+ !于是实数 ( 的取值范围是) '+ ! $ * ! !"! &答案' * &解析'函数 * % 1 $% ) D $%的零点的个数 = 方程 1 $% ) D $% %# 的根的个数 = 方程 1 $% ) 1 $ !'$ % ' -%# 的根的个数 = 方程 -% 1 $% ) 1 $ !'$ %的根的个数 = 直线 * %- 与函数 A $% % 1 $% ) 1 $ !'$ %的图 象的交点的个数 ! 又可以求得 A $% % $ & )$)! ! $ % # ! ! !!! ! # ) $ ) ! ! $ & '$$)$ ! $ & ! 2 3 4 ! 结合 A $%的图象可知!当&#!6 &#&# % - % ! 时!直线 * %- 与函数 A $%的图象有 * 个交点!所以函数 * % 1 $% ) D $%的零点个数为 *! 二#解答题$本大题共 * 小题%共计 ,% 分 ! 请在答题卡指定区域 !!!!!!! 内作答 ! !#! 解'$ ! %由 ! ! ( 为锐角!由 /01 ! % * + !得 1(2 ! % !'/01 &槡 ! % $ + ! $$ & 分 所以 342 ! % $ * ! $$ * 分 所以 342& ! % 1(2& ! /01& ! % &* 5 ! $$ " 分 $ & % 342 ( %342 $ ! ) ( ' ! % % 342 $ ! ) ( % '342 ! !)342 $ ! ) ( % 342 ! % '$' $ * !'$, $ * %$! $$ !# 分 因为 342 ( % 1(2 ( /01 ( %$ ! 1(2 & ( )/01 & ( %! ! 解得 1(2 ( % $ 槡!# ! /01 ( % ! 槡!# ! $$ !& 分 所以 1(2 $ ! ' ( % %1(2 ! /01 ( '/01 ! 1(2 ( % $ + , ! 槡!# ' * + , $ 槡!# %' 槡6 !# +# ! $$ !* 分 !*! 解'$ ! %因为 / ! 0 分别为 )" ! )8 的中点! 所以 /0 > "8! $$ & 分 因为四边形 "#48 是平行四边形!所以 #4 > "8 ! 所以 /0 > #4 ! $$ * 分 又因为 /0 + 平面 )#4 ! #4 , 平面 )#4 ! 所以 /0 > 平面 )#4! $$ " 分 $ & %连结 8/ ! #/ !因为 "8%)8 ! / 为 ") 的中点! 所以 8/ - )"! $$ - 分 因为 * )"# 是正三角形! / 为 ") 的中点! 所以 #/ - )"! $$ !# 分 ( - ( 又因为 8/ $ #/%/ ! 8/ , 平面 /8# ! #/ , 平面 /8# ! 所以 )" - 平面 /8#! $$ !& 分 又因为 #8 , 平面 /8# !所以 )" - #8! $$ !* 分 !$! 解'易知 " $ ' ! # %! # $ # ! ( %!因为 70 > "# !所以 % 70 %% "# %' ( ' ! 所以直线 70 的方程为 * %' ( ' $! $$ & 分 $ ! %当 '%* ! (%! 时!直线 70 的方程为 * %' ! * $ ! 联立 * %' ! * $ $ & !" ) * & 2 3 4 %! !解得 $ 0 槡%&& !所以 * 0 %' 槡& & ! $$ * 分 所以四边形 "#70 的面积 )%) * 7"# )) * 7"0 % ! & 7" $ 7#) ( * 0( % % ! & ,* !) 槡& $ % & 槡%&) &! $$ " 分 $ & %联立 * %' ( ' $ $ & ' & ) * & ( & 2 3 4 %! !解得 $ 0 % ' 槡& !所以 * 0 %' ( 槡& ! $$ - 分 因为 * 7/0 是等腰直角三角形!而点 # 到直线 70 的距离 ; 即为斜边 70 上的高! 所以 ;% ! & 70 !即 ( !) ( $ % '槡 & % ! & ' 槡 $ % & & ) ( 槡 $ % &槡 & ! $$ !& 分 整理得! ' & )( & 槡'&&'(%# !即 ( $ % ' & 槡'&& ( $ % ' )!%# ! 解得( ' 槡% &'! 或( ' 槡% &)! $舍%! 故( ' 的值为槡&'!! $$ !* 分 !+! 解'$ ! %由于 )! 与 #4 和 1(2 * 的乘积成正比!比例系数为 槡$+$ & ! 所以 )! % 槡$+$ & !-' $ % $ & 1(2 * ! $$ & 分 由于 )& 与 /01 * 成正比!比例系数为 &!# ! 所以 )& %&!#/01 * ! $$ * 分 所以焊接点 4 承受的应力 ) % )! ) )& % 槡$+$ & !-' $ % $ & 1(2 * )&!#/01 * ! *" # ! & " ) * $ ! $$ " 分 $ & %由于焊接点 4 承受的应力最大为 *&#BC4 ! 所以 槡$+$ & !-' $ % $ & 1(2 * )&!#/01 *) *&# 对于 *" # ! & " ) * $ 恒成立 ! $$ - 分 当 * %# 时!不等式显然成立, 当 *" # ! & " $ * $ !则 1(2 *& #! 所以 槡$+$ & !-' $ % $ ) &!# &'/01 * 1(2 $ % * 对于 *" # ! & " $ * $ 恒成立 ! 所以 槡$+$ & !-' $ % $ ) &!# &'/01 * 1(2 $ % * 7(2 ! *" # ! & " $ * $ ! $$ !# 分 设 * % &'/01 * 1(2 * ! *" # ! & " $ * $ !则 * 2% !'&/01 * 1(2 & * !令 * 2%# !则 /01 * % ! & !所以 * % " $ ! ( 6 ( * # ! " $ % $ " $ " $ ! & " $ % $ * 2 ' # ) * / 极小值 . 所以当 * % " $ 时! * 7(2 槡% $! $$ !$ 分 所以 槡$+$ & !-' $ % $ ) 槡&!#$ ! 解得 $ ' "! $$ !+ 分 答'在大摆锤安全运行前提下!焊接点 4 与摆臂中心 7 的最小距离为 " 米 ! $$ !" 分 !,! 解'$ ! %设 ' " # + 的公比为 , !则 ' !& # ! , & # ! 由 ' & $ %' " ! &' $ %' + '' * " ! 得 ' & ! , * %' ! , + ! ' ! , * '' ! , $ '&' ! , & %# " ! 解得 ' ! % , %& ! 所以数列 ' " # + 的通项公式为 ' + %' ! , +'! %& + ! $$ & 分 当 +%! 时! ) ! ( ! % $ ( & !所以 ( & % ! $ ! 当 +%& 时! ) & ( & % $ ( $ !所以 ( $ % ) & $ ( & %!) ! $ ! 因为 ( " # + 是等差数列!所以 ( $ '( & %( & '( ! ! 即 !% ! $ '! !所以 $ % ! & ! $$ * 分 此时 ( " # + 是以 ! 为首项!为公差的等差数列!所以 ( + %+! 于是)+ ( + % + $ +)! % & + % +)! & % ! & ( +)! !符合题意 ! 故数列 ( " # + 的通项公式为 ( + %+! $$ " 分 $ & % # 由$ ! %知! ' % ( & % ) % ( % @ & = & % % & % $ % @ ! % & % @ $ % & = % & & % @ ! $ % @ ! %$ % @ & % = & % @ & % @ & E & % @ ! % @ ! ! 所以 9 + = 9 + % = ! ' % ( & % ) % ( % @ & = & $ $ E & & $ % & @ & * * E & $ $ % $ @ - @ & + @ & + @ & E & + @ ! + @ $ % ! = & + @ & + @ & E &! $$ !# 分 $ 因为 9 + @ !E 9 + = & + @ $ + @ $ E & + @ & + @ & = & + @ & $ + @ ! % $ + @ & %$ + @ $ % & # 对任意的 + " & # 恒成立! $$ !& 分 所以数列 9 " # + 满足' 9 ! % 9 & % 9 $ % -!因此$ 9 + % 7(2 = 9 ! = & $ ! 不等式 6 & @ $ ! E 9 + % 6 E 9 + ) # 即$ 6 @ ! %$ 6 E 9 + % ) # ! 所以 E ! ) 6 ) 9 + 对任意的 + " & # 恒成立! 故实数 6 的取值范围为) '! ! & $ * ! $$ !" 分 '%! 解'$ ! %当 '% " & 时! 1 $% %$' ! & 1(2$' " & :2$' " & ! 1 2 $% %!' ! & /01$' " &$ !则 1 2 " $ % & %# ! 又 1 " $ % & %' ! & ' " & :2 " & ! 所以曲线 * % 1 $%在点 " & ! 1 " $ %$ % & 处的切线方程为 * %' ! & ' " & :2 " & ! $$ * 分 $ & %当 '%# 时! D $% %$'1(2$' " & ! ( #! ( 则 D 2 $% %!'/01$ & # 对 $ " " & ! $ " ) * & 恒成立! 所以函数 D $%在 " & ! $ " ) * & 上单调增! 因此函数 D $%在 " & ! $ " ) * & 上的最大值为 D $ " $ % & % " )!! $$ - 分 $%由 1 $ ! % % 1 $ & %得! $ ! ' ! & 1(2$ ! '':2$ ! ' " & %$ & ' ! & 1(2$ & '':2$ & ' " & ! 即 ' $ :2$ & ':2$ ! % %$ & '$ ! ' ! & $ 1(2$ & '1(2$ ! % ! 由$ & %知! D 2 $% %!'/01$ ' # 对 $ " $ # ! ) < %恒成立! 且当且仅当 $%&% " ! % " & #时!取. % 0! 所以 D $%在$ # ! ) < %上单调增 ! 又 $ !% $ & !所以 D $ ! % % D $ & %!即 $ ! '1(2$ !% $ & '1(2$ & ! 所以 $ & '$ !& 1(2$ & '1(2$ ! ! 所以 ' $ :2$ & ':2$ ! % & $ & '$ ! ' ! & $ & '$ ! % % ! & $ & '$ ! %!则 &' & $ & '$ ! :2$ & ':2$ ! ! $$ !& 分 下面证明' $ & '$ ! :2$ & ':2$ ! & $ ! $槡 & ! 即证明$& '$ ! $ ! $槡 & & :2 $ & $ ! !即证明 $ & $ ! '! $ & $槡! & :2 $ & $ ! ! 考虑函数 ; $ 6 % %:26' 6'! 槡6 $ 6 & ! %! 则 ;2 $ 6 % % ! 6 ' 6)! &槡66 %' $槡6'! % & &槡66 ) # !当且仅当 6%! 时!取. % 0! 所以函数 ; $ 6 %在$ # ! ) < %上单调减!又$& $ ! & ! !所以 ; $ $ & $ ! % % ; $ ! % %# !即 :2 $ & $ ! % $ & $ ! '! $ & $槡! ! 因此 &' & $ & '$ ! :2$ & ':2$ ! & $ ! $槡 & !故 $ ! $ &% *' & ! $$ !" 分 第 % 卷!附加题"共 *# 分# '!!-. 解'矩阵 % 的特征多项式为 1 $% % $ '& '$ '6 $ '! % $ '& %$ '! % '$6! $$ & 分 因为矩阵 % 的一个特征值为 * !所以方程 1 $% %# 有一根为 * ! 即 1 $ * % %"'$6%# !所以 6%&! $$ " 分 所以 %% & $ ) * & ! !所以 % '! ) * & % & $ ) * & ! '! ) * & % )* * # ! 所以点 /2 的坐标为$ * ! # % ! $$ !# 分 /. 解'$ ! %以极点为坐标原点!极轴所在直线为 $ 轴建立直角坐标系 ! 由 + )&/01 * %# 得 + & )& + /01 * %# ! 则圆 4 的直角坐标方程是 $ & ) * & )&$%# ! 圆心坐标为$ '! ! # %!半径 :%!! $$ * 分 由 & + 1(2 * ' 5 " $ % " )-%# !得 & + 1(2 * /01 5 " " '& + /01 * 1(2 5 " " )-%# ! 则直线 C 的直角坐标方程是 $ 槡' $ * )-%#! $$ - 分 若直线 C 通过圆 4 的圆心!则 '!)-%# !所以 -%!! $$ !# 分 1. 证法一'因为$ $槡 )!) * 槡 )! % & ) $ )!) * )! %$ ! & )! & % %" ! 所以 $槡 )!) * 槡 )! )槡"! $$ !# 分 ( !! ( 证法二'要证 $槡 )!) * 槡 )! )槡"! 即证$ $槡 )!) * 槡 )! % & ) $槡"% & ! 即证 $)!)& $ )! %$ * )!槡 % ) * )! ) " ! 即证 & $ )! %$ * )!槡 % ) $% $ )! % ) $ * )! %! 由基本不等式易得 ! $$ !# 分 ''! 解'$ ! %以 8 为原点! 8# 为 $ 正半轴! 84 为 * 轴正半轴! 8" 为 & 轴正半轴! 建立空间直角坐标系 8'$ * & !则 8 $ # ! # ! # %! # $ ! ! # ! # %! 4 $ # ! & ! # %! " $ # ! # ! & %! A $ # !!%! > $ ! & !! # %!所以:; #A% $ '! !!% ! 设 F $ # ! ' ! # %!则:; >F% ' ! & ! ''! ! $ % # ! 因为 >F - #A !所以:; >F & :; #A%# !即 ' ! & ! ''! ! $ % # &$ '! !!% % ! & )''!%# !得 '% ! & ! 即 8F% ! & ! $$ * 分 $ & %由$ ! %得 F # ! ! & ! $ % # ! :; >F% ' ! & ! ' ! & ! $ % # ! :; "#% $ ! ! # ! '& %! :; "4% $ # ! & ! '& %! 设平面 "#4 的一个法向量为 &% $! * ! & %! 由 & - :; "# & - :; " "4 !即 $'&&%# & * '&& " %# !得 $%&& * % " & ! 可取 &% $ & !!%!设 >F 与平面 "#4 所成角的大小为 * ! 则 /01 % & ! :; >F & % & & :; >F & & :; >F % ' ! & '! 槡"& 槡& & % 槡$ & !即 1(2 * % 槡$ & ! 所以 * % " $ !故 >F 与平面 "#4 所成角为" $ ! $$ !# 分 ')! 解'$ ! % 3 $ & % % ! $ ! 3 $% % ! $ $ !' 3 $ & %% % & 6 ! 3 $ * % % ! $ $ !' 3 $%% % 5 &5 ! 3 $ + % % ! * ) !' ' $ % ! $ +'! * ! $$ * 分 $ & % 3 $ ! % 4 ! + )& 3 $ & % 4 & + )$ 3 $% 4 $ + ) - )+ 3 $ + % 4 + + %+ 3 $ ! % 4 # +'! )+ 3 $ & % 4 ! +'! )+ 3 $% 4 & +'! ) - )+ 3 $ + % 4 +'! +'! %+ " ! * $ 4 # +'! )4 ! +'! )4 & +'! ) - )4 +'! +'! % ' ! * ) 4 # +'! ' $ % ! $ # )4 ! +'! ' $ % ! $ ! ) - )4 +'! +'! ' $ % ! $ +'! *# %+ " ! * & & +'! ' ! * ) !) ' $ % ! $ * +'! # %+ ) & +'$ ' ! * & $ % & $ +'! * ! $$ !# 分 江苏高考学科基地密卷!三" 第 ! 卷 ! !必做题"共 !"# 分# 一#填空题$本大题共 !" 小题%每小题 # 分%共计 $% 分 ! !! &答案'槡& '! &答案' ' & '! )! &答案' &!+ ! "! &答案' ! ( &! ( #! &答案'$ * ! ) < % &解析'由题知 &$ & # ! $ & '- & &$ " ! 解得 $ & *! *! &答案' 5 !# &解析'从 $ 个奇数! & 个偶数中随机抽取 & 个数!共有 !# 种可能!其中乘积为偶数的共有 5 种可能!所以概 率为5 !# ! $! &答案' 槡+$'!& &" &解析'因为 !" + " " ! 5 " $ % " !所以 ! ' " " " & " $ ! $ %" !所以 /01 ! ' " $ % " %' !& !$ ! 所以 1(2 ! %1(2 ! ' " " ) " $ % " % 槡$ & 1(2 ! ' " $ % " ) ! & /01 ! ' " $ % " % 槡$ & , + !$ ) ! & , ' !& $ % !$ % 槡+$'!& &" ! +! &答案' * %. ! & $ &解析'由条件!知 '%& !所以双曲线的方程为$ & * ' * & %! !所以两条渐近线方程为 * %. ! & $! ,! &答案' $ 槡6 &解析'由圆锥展开图得到的扇形面积为 !+ " 知!扇形弧长为 " " !则圆锥底面半径为 $ !因此由勾股定理可得 圆锥的高为 * !所以圆锥的体积为 !& " !所以得出球的半径为 $ 槡6! !%! &答案'槡$ &解析'建立如图所示的直角坐标系! 设 "#%! !则 4 $ ! !%! > $ ! ! ! $ %! 8 ' 槡$ $ ! 槡$ $ % $ ! 由:; "4% $ :; "8) % :; "> ! 得 ' 槡$ $ $ ) % %! ! 槡$ $ $ ) ! $ % %! 2 3 4 ! 解得 $ % 槡$ & ! % % $ & 2 3 4 ! 所以% $ 槡% $! !!! &答案' ! ++ &解析'由题知' ) + %+ & ' + !则 + ' & 时! ) +'! % $ +'! % & ' +'! ! 所以 ' + %+ & ' + ' $ +'! % & ' +'! !即' + ' +'! % +'! +)! ! 所以 + ' & 时! ' !# ' 6 & ' 6 ' - &-& ' & ' ! % 6 !! & - !# &-& & * & ! $ % ! ++ !即 ' !# % ! ++ ! !'! &答案' ' :2& & ! ' :2+ $ * + &解析'原命题 = :2$ $ & '% 有且只有三个整数解 ! 令 1 $% % :2$ $ ! 1 2 $% % !':2$ $ & %# ? $%>! $ " $ # ! > %时! 1 2 $% & # ! 1 $%单调递增, $ " $ > ! ) < %时! 1 2 $% % # ! 1 $%单调递减!且 $ : ) < 时! 1 $% : #! 又 1 $ ! % %# ! 1 $ & % % 1 $ * % % :2& & ! 1 $% % :2$ $ ! ( $! ( 则由图象可得! 1 $ + % ) '% % 1 $ * %!所以 % " ' :2& & ! ' :2+ $ * + ! !)! &答案' 槡*' & &解析'要求 : 的最大值!考虑 / 在圆外! 若存在 0 使得 < 0/7%$#A ! 则& 7/ ' 1(2$#A ? 7/ ) *! 即 / 的轨迹' $ & ) * & ) !"! 又 / 在$ '! % & ) $ * '! % & %: &上!由图象知! : 的最大值为 槡*' &! !"! &答案' 槡$ & &解析'由题意! "8%#8% &' $ ! 48% ' $ ! 在 * "48 中!由正弦定理得! "8 1(24 % 48 1(2 $ "'# % !即 & $ ' 1(24 % ! $ ' 1(2 $ "'# % ! 所以 1(24%&1(2 $ "'# %!即 1(2 $ ")# % %&1(2 $ "'# %! 所以 1(2"/01#)/01"1(2#%& $ 1(2"/01#'/01"1(2# %! 即 1(2"/01#%$/01"1(2#! 两边除以 /01" & /01# 得! 342"%$342#! 从而 " ! # 为锐角!所以 /01 $ "'# % 1(24 % /01"/01#)1(2"1(2# */01"1(2# % !)342"342# *342# % !)$342 & # *342# % ! * $342#) ! 342 % # ' ! * & & $342# & ! 342槡 # % 槡$ & ! 二#解答题$本大题共 * 小题%共计 ,% 分 ! 请在答题卡指定区域 !!!!!!! 内作答 ! !#! 证'$ ! %因为 /8 - 平面 "#48 ! #4 , 平面 "#48 ! 所以 /8 - #4! $$ & 分 因为底面 "#48 是矩形!所以 48 - #4! 因为 48 $ /8%8 ! 48 ! /8 , 平面 /48 ! 所以 #4 - 平面 /48! $$ * 分 因为 #4 , 平面 /#4 ! 所以平面 /#4 - 平面 /48! $$ " 分 $ & %因为底面 "#48 是矩形!所以 "8 > #4 ! $$ - 分 因为 #4 , 平面 /#4 ! "8 + 平面 /#4 ! 所以 "8 > 平面 /#4! $$ !# 分 因为 "8 , 平面 "8A> !平面 "8A> $ 平面 /#4%>A ! 所以 "8 > >A! $$ !& 分 因为 "8 , 平面 /"8 ! >A + 平面 /"8 ! 所以 >A > 平面 /"8! $$ !* 分 !*! 解'$ ! %在 * "#4 中!由正弦定理 ' 1(2" % ( 1(2# % 9 1(24 ! 可得槡&1(2"/01#)1(24/01#)1(2#/014%# ! 所以槡&1(2"/01#)1(2#) $ % 4 %#! $$ & 分 因为 ")#)4% " ! 所以槡&1(2"/01#)1(2 " ' $ % " %# !即槡&1(2"/01#)1(2"%# ! 因为 " " # ! $ % " !所以 1(2" & # !所以 /01#%' 槡& & ! ( *! ( 因为 # " # ! $ % " !所以 #% $ " * ! $$ " 分 $ & %因为 ' & &%$ !所以 %/01"'/01&"%$ ! $$ - 分 因为 /01&"%&/01 & "'! !所以 &/01 & "'%/01")&%#! 令 6%/01" !因为 " " # ! " $ % * !所以 6 " 槡& & ! $ % !所以 %%&6) ! $ % 6 ! $$ !# 分 令 1 $% 6 %&6) ! $ % 6 ! 1 $% 26 %&!' ! 6 $ % & % # ! 所以 1 $% 6 在 槡& & ! $ % 上单调递减! 所以 1 $% 6 " * !槡$ % $& ! 所以 % 的取值范围为 * !槡$ % $& ! -- !* 分 !$! 解'$ ! %连结 4> ! 48 ! 可得等腰三角形 "4> ! 48> ! 4#8 !所以 < ">4% * ! 因为 "8 为 < #"> 的角平分线!所以 < #"8% < >"8% * & ! 又 "4%48 ?< 4"8% < 48"% * & ! 所以 < >"8% < 48"% * & ! 所以 "> ++ 48 ?< 84>% < ">4% * ! $$ * 分 在 * #48 中! < 4#8% < 48#% " & ' * & ! < #48% * ! 所以 )% 1 $ * % %) * "4> )) * 48> )) * #48 % ! & : & 1(2 $ " '& * % ) ! & : & 1(2 * ) ! & : & 1(2 * 即 )%: & 1(2 * $ !)/01 * %! *" # ! " $ % & ! -- - 分 $ & %由 1 2 $ * % %: & ) /01 * $ !)/01 * % '1(2 & * * %: & ) &/01 & * )/01 * '! * %: & )$ &/01 * '! %$ /01 * )! %* 令 1 2 $ * % %# ? /01 * % ! & ?* % " $ ! * # ! " $ % $ " $ " $ ! " $ % & 1 2 $ * % ) # ' 1 $ * % . / 所以当 * % " $ 时! ) 74= % 1 " $ % $ % 槡$$ * : & ! 答'当 * % " $ 时!四边形 "#8> 面积最大!且最大面积为 槡$$ * : &平方米 ! $$ !* 分 !+! 解'$ ! %当直线 C 平行于 $ 轴时! " 槡$' & ! ( $ % & ! # ' 槡$' & ! ( $ % & ! 由 / ! A ! " 三点共线!得 % /" %% /A !即 $ & ( 槡$ & ' % ( 9 !所以 ' 槡% $9! 又 /"% 槡$ & $ % ' & ) $ & $ % (槡 & % 槡$$ & !且 ' & %( & )9 & ! 所以 ' 槡% $ ! ( 槡% & ! 9%! ! ( +! ( 所以椭圆 4 的方程为$ & $ ) * & & %!! $$ * 分 $ & %方法一$ # 当直线 C 平行于 $ 轴时!由 /" - /# !得 % /" & % /# % $ & ( 槡$ & ' & $ & ( ' 槡$ & ' %'! ! 所以 ' & %$( & ! 又 ' & %( & )9 & !所以 &' & %$9 & !故 G & % & $ ! 又 G " $ # !%!所以 G% 槡" $ ! $$ - 分 $ 当直线 C 不平行于 $ 轴时!下面证明当 G% 槡" $ 时!总有 /" - /#! 事实上!由 # 知!椭圆方程可化为$ & $( & ) * & ( & %! !即 $ & )$ * & %$( & ! 设直线 C 的方程为 * %%$) ( & ! " $ ! ! * ! %! # $ & ! * & % ! 由 * %%$) ( & ! $ & )$ * & %$( 2 3 4 & 得$ !)$% & % $ & )$%($' 6 * ( & %# ! 所以 $ ! )$ & % '$%( !)$% & ! $ ! & $ & % ' 6 * ( & !)$% & ! 又:; /"% $ ! ! * ! )( %! :; /#% $ & ! * & )( %! 所以:; /" & :; /#%$ ! $ & ) $ * ! )( %$ * & )( % %$ ! $ & ) $ %$ ! ) $( & %$ %$ & ) $( & % % $ !)% & % $ ! $ & ) $%( & $ ! )$ & % ) 6 * ( & % $ !)% & %& ' 6 * ( & !)$% & ) $%( & & '$%( !)$% & ) 6 * ( & % ' 6 * ( & $ !)$% & % !)$% & ) 6 * ( & %' 6 * ( & ) 6 * ( & %# ! 所以 /" - /#! 综上!当椭圆 4 的离心率为槡" $ 时!对任意的动直线 C !总有 /" - /#! $$ !" 分 方法二$ 设直线 C 的方程为 * %%$) ( & ! " $ ! ! * ! %! # $ & ! * & % ! 由 * %%$) ( & ! $ & ' & ) * & ( & %! 2 3 4 ! 得$ ( & )' & % & % $ & )%' & ($' $ * ' & ( & %# ! 所以 $ ! )$ & % '%' & ( ( & )' & % & ! $ ! & $ & % ' $ * ' & ( & ( & )' & % & ! :; /"% $ ! ! * ! )( %! :; /#% $ & ! * & )( %!当 /" - /# 时! 则:; /" & :; /#%$ ! $ & ) $ * ! )( %$ * & )( % %$ ! $ & ) %$ ! ) $( $ % & %$ & ) $( $ % & % $ !)% & % $ ! $ & ) $%( & $ ! )$ & % ) 6 * ( & % $ !)% & %& ' $ * ' & ( & ( & )' & % & ) $%( & & '%' & ( ( & )' & % & ) 6 * ( & %' $ * ' & ( & & !)$% & ( & )' & % & ) 6 * ( & %# ! ( "! ( 所以 ' & $ !)$% & % %$ $ ( & )' & % & %!所以 ' & %$( & ! 又 ' & %( & )9 & !所以 &' & %$9 & !故 G & % & $ ! 又 G " $ # !%!所以 G% 槡" $ ! 综上!当椭圆 4 的离心率为槡" $ 时!对任意的动直线 C !总有 /" - /#! $$ !" 分 !,! 解'$ ! %当 '%! 时! 1 $% %$ & '$':2$ ! $ & # ! 所以 1 2 $% %&$'!' ! $ % $ &$)! %$ '! % $ !令 1 2 $% %# !得 $%!! 列表如下' $ $ # !% ! $ ! ! ) < % 1 2 $% ' # ) 1 $% / # . 所以函数 1 $%的极小值为 1 $ ! % %# !无极大值 ! $$ * 分 $ & % 1 2 $% %&$''' ! $ % &$ & ''$'! $ ! 令 1 2 $% %# !即 &$ & ''$'!%# !$ # % 解得 $ ! % '' ' &槡 )- * % # ! $ & % ') ' &槡 )- * & # ! 故 1 2 $% % & $ '$ ! %$ '$ & % $ ! $ ' ! !其中 $'$ !& #! # 若 $ &) ! !即 ' ) ! 时! 1 2 $% ' # 恒成立! 所以 1 $%在) ! ! ) < %上单调递增 ! $ 若 $ && ! !即 ' & ! 时! 当 ! ) $ % $ & 时! 1 2 $% % # ,当 $ & $ & 时! 1 2 $% & #! 所以 1 $%在) ! ! $ & %上单调递减!在$ & ! ) < %上单调递增 ! 综上!当 ' ) ! 时! 1 $%在) ! ! ) < %上单调递增, 当 ' & ! 时! 1 $%在 ! ! ') ' &槡 )- ) % * 上单调递减!在 ') ' &槡 )- * ! ) < $ % 上单调递增 ! $$ !# 分 $%因为对任意 $ " ) ! ! > *!都有 1 $% ) > & !所以 '> & ) 1 $% ) > &在) ! ! > *上恒成立 ! # 当 ' ) ! 时!由$ & %知! 1 $%在) ! ! ) < %上单调递增! 所以 1 $% 7(2 % 1 $ ! % %!'' ' # ! 1 $% 74= % 1 $ > % %> & ''>'! ! 则 > & ''>'! ) > & !所以 ' ! > ) ' ) !! $ 当 ' & ! 时!由$ & %知! 1 $%在) ! ! $ & %上单调递减!在$ & ! ) < %上单调递增 ! $ & %若 $ &' > !即 ' ' &>' ! G 时! 1 $%在) ! ! > *上单调递减! 所以 1 $% 74= % 1 $ ! % %!'' % # ! 1 $% 7(2 % 1 $ > % %> & ''>'! ! 则 G & ''>'! ' 'G & !所以 ' ) &>' ! G ! 故 '%&>' ! > ! $ ' %若 $ &% > !即 ! % ' % &>' ! > 时! 1 $%在) ! ! $ & %上单调递减!在$ & ! > *上单调递增! 其中 1 $ ! % %!'' % # ! 1 $ > % %> & ''>'! ) > & ! 因此!必有 1 $ & % ' 'G & ! 由于 &$ & & ''$ & '!%# !所以 '%&$ & ' ! $ & ! ( 5! ( 所以 1 $ & % %$ & & ''$ & ':2$ & %$ & & ' &$ & ' ! $ $ % & $ & ':2$ & %'$ & & )!':2$ &' '> & ! 即 $ & & ):2$ &) > & )! !$ ! % $ &% > %! 令 D $ 6 % %6 & ):26 !$ 6 & # %!则 D $ & % ) D $ > % ! 因为 D 2 $ 6 % %&6) ! 6 & # !所以 D $ 6 %单调递增! 所以当 $ &% G 时! D $ & % % D $ > %恒成立!符合题意 ! 所以 ! % ' % &>' ! > ! 综上!实数 ' 的取值范围为 ' ! > ! &>' ! ) * > ! $$ !" 分 '%! 解'$ ! %因为 &) + %' & + )' + '& ! # 所以 &) +'! %' & +'! )' +'! '& ! + ' & ! $ # ' $ 得! &' + %' & + '' & +'! )' + '' +'! ! + ' & ! 所以 ' + )' +'! % $ ' + )' +'! %$ ' + '' +'! %! + ' & ! 又因为 ' +& # !所以 ' + '' +'! %! ! 由 &) ! %' & ! )' ! '& 且 ' !& # !得 ' ! %& ! 所以数列 ' " # + 是以 & 为首项!为公差的等差数列! 所以 ' + %+)! ! + " & # ! $$ * 分 $ & % # 因为 ( + %& + ' + % $ +)! % & + ! 所以 H + %&,& ! )$,& & ) - ) $ +)! % & + ! 因此 &H + %&,& & )$,& $ ) - ) $ +)! % & +)! ! 两式相减!得 'H + %&,& ! )& & )& $ ) - )& + ' $ +)! % & +)! %&)&, !'& + !'& ' $ +)! % & +)! %'+ & & +)! ! 所以 H + %+ & & +)! ! $$ - 分 $ 因为H - H + % - $ ) - ) $ % + $ ) + ) $ % ! 所以- & & -)! + & & +)! % - - $ -)$ % & ) ) *$ + + $ +)$ % & ) ) *$ !即- & )$-)& $ & - % + & )$+)& $ & + ! 设 1 $ + % % + & )$+)& $ & + ! + " & # ! 则 1 $ +)! % ' 1 $ + % % + & )++)*)& $ & +)! ' + & )$+)& $ & + % '+ & '+)*'& $ & +)! ! 当 + ' $ 时! '+ & '+)*'& $) '$ & '$)*'& $ %'-'& $) '-'& $ '& % %'* % # ! 所以当 + ' $ 时! 1 $ +)! % % 1 $ + %!因此当 - & + ' $ 时! 1 $ + % & 1 $ - %!与 1 $ + % % 1 $ - %相矛盾! 又 + & ! !于是 +%& !所以- & )$-)& $ & - % +) $ & ! 当 - ' + 时! - & )$-)& $ & - ) + & )$,+)& $ & + % &#) $ !" ! 又&#) $ !" ' +) $ & % '&#'5 $ !" ) '&#'5, $ '& % !" %' $ - % # !即&#) $ !" % +) $ & ! 所以当 - ' + 时! - & )$-)& $ & - % +) $ & !与- & )$-)& $ & - % +) $ & 相矛盾 ! 又 - & +%& !所以 -%$ 或 *! 当 -%$ 时! $ & )$,$)& $ & $ % +) $ & !解得 $ %'! , 当 -%* 时! * & )$,*)& $ & * % +) $ & !解得 $ %'& , ( -! ( 因此 $ 的所有可能值为 '! 和 '&! $$ !" 分 第 % 卷!附加题"共 *# 分# '!!-. 解'$ ! %设矩阵 %% ' ( ) * 9 < !则 ' ( ) * 9 < )* $ * % &$ $ ) * * !即 '$)( * 9$)< ) * * % &$ $ ) * * ! $$ & 分 从而 '$)( * %&$ ! 9$)< * %$ * " ! 所以 '%& ! 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J $ & ! * & ! # %! 由/I /" % #J #8 % ! $ 知! :; /I% ! $ :; /" ! :; #J% ! $ :; #8 ! 即$ ! ! * ! ! & ! 槡'$& % % ! $ $! '$ ! 槡'$& %! 且$ & '$ ! * & '$ ! # % % ! $ $ '" ! '" ! # %! 所以 $ ! %! ! * ! %'! ! & ! 槡%&& ! $ & %! ! * & %! !从而 I ! ! '! !槡$ % && ! J ! !! $ % # ! $$ & 分 $ ! % :; IJ% # ! & ! 槡$ % '&& ! :; /4% '$ ! $ ! 槡$ % '$& ! 所以 /01 1 :; IJ ! :; /4 2 % :; IJ & :; /4 :; :; IJ /4 % !- 槡&$," % 槡$ & ! 设直线 IJ 与 /4 所成角为 * ! ( 6! ( 则 /01 * % 槡$ & !因为 # %*) " & !所以 * % " " ! 所以直线 IJ 与 /4 所成角的大小为" " ! $$ + 分 $ & %易知 "4 - 平面 /#8 ! :; "4% '" ! " ! $ % # ! 故平面 /#8 的一个法向量为 '% '! !! $ % # ! 设平面 /"J 的法向量为 &% $ ! * ! % & !则 & & :; /"%# ! & & :; /J%# 2 3 4 ! 又:; /"% $ ! '$ ! 槡% '$& ! :; /J% ! !! 槡$ % '$& !所以 $$'$ * 槡'$&&%# ! $) * 槡'$&& 2 3 4 %# 不妨取 &%! !则 $ 槡%&& ! * 槡% & !所以 &% 槡&& !槡&! $ % ! $$ - 分 所以 /01 1 ' ! & 2 % ' & & ' & % 槡 槡'&&) & 槡 槡&, !! %' 槡!! !! ! 所以锐二面角 "'/J'8 的余弦值为槡!! !! ! $$ !# 分 ')! 解'$ ! %当 +%& 时! 1 $ & % %& & , 4 # & 4 & & )4 & & 4 $ % # & %- ! 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A $ - % % 1 $ - % ' D $ - % %& - & 4 # + 4 - + )4 & + 4 -'& + )4 * + 4 -'* + ) - )4 - + 4 # $ % + '& - &$ 4 ! + 4 -'! + )4 $ + 4 -'$ + )4 + + 4 -'+ + ) - )4 -'! + 4 ! + % %& - 4 # + 4 - + '4 ! + 4 -'! + )4 & + 4 -'& + '4 $ + 4 -'$ + ) - )4 -'& + 4 & + '4 -'! + 4 ! + )4 - + 4 # $ % + ! $$ * 分 考虑 !)& $ % $ + & !'& $ % $ +展开式中含 $ - 的项之和为' 4 # + & $ % $ # 4 - + '& $ % $ - )4 ! + & $ % $ ! 4 -'! + '& $ % $ -'! )4 & + & $ % $ & 4 -'& + '& $ % $ -'& ) - )4 -'! + & $ % $ -'! 4 ! + '& $ % $ )4 - + & $ % $ - 4 # + '& $ % $ # ! 所以 !)& $ % $ + !'& $ % $ +展开式中含 $ - 的系数之和为' & - 4 # + 4 - + '4 ! + 4 -'! + )4 & + 4 -'& + '4 $ + 4 -'$ + ) - )4 -'& + 4 & + '4 -'! + 4 ! + )4 - + 4 # $ % + $$ 5 分 又 !)& $ % $ + !'& $ % $ + % !'*$ $ % & + !且 !'*$ $ % & +展开式中含 $ - 的项的系数为' $ % '! - & & - & 4 - & + ! 所以 A $ - % % 1 $ - % ' D $ - % $ % % '! - & & - & 4 - & + ! $$ !# 分 江苏高考学科基地密卷!四" 第 ! 卷 ! !必做题"共 !"# 分# 一#填空题$本大题共 !" 小题%每小题 # 分%共计 $% 分 ! !! &答案'" # !# ! &解析'由 $ & ) $ 解得 槡' $ ) $ )槡$!所以 " $ #% " # !# ! '! &答案'槡& &解析'由 ( & &%&'& 得!$ !)( % &%& !所以 &% & !)( % & $ !'( % ! & '( & %!'( !所以 ( & ( 槡% &! )! &答案' !" &解析'据分层抽样的意义可知!应从 " 专业抽取的学生 -## -##)"##)*## ,$"%!" 人 ! "! &答案' '$ &解析' / 到焦点的距离为 + 即为 / 到准线的距离为 + !因为抛物线的准线方程为 $%& ! 所以点 / 的横坐标为 '$! ( #& ( #! &答案' &#&$ &解析'满足条件的正整数 - 的取值为 &#&! ! &#&& ! &#&$ !所以正整数 - 的最大值为 &#&$! *! &答案' ! * &解析'记 & 名女生为'甲/乙, & 名男生为' D / E@ 从 & 名男生与 & 名女生中选出 & 人担任正/副班长!共包含 !& 个基本事件'$甲! D %/$甲! E %/$甲!乙%/$乙! D %/$乙! E %/$乙!甲%/$ D !甲%/$ D !乙%/$ D ! E %/$ E !甲%/$ E ! 乙%/$ E ! D % @ 设事件.女生甲当选正队长0为事件 B !因为事件 B 包括 $ 个基本事件'$甲! D %/$甲! E %/$甲! 乙%!所以 / $ I % % $ !& % ! * ! $! &答案' '5 &解析'由 ) 6 %6' + %'6 !知 ' + %'! !又 ' & ! ' + ! ' - 成等差数列!所以 ' - %'5! +! &答案' 槡$ !& ! &解析'连结 74! 因为 / ( "#48 是正四棱锥! 7 是底面 "#48 的中心!所以 /7 - 74 ! 由题意可知! 74% ! & #8%! !所以 /7% & & '!槡 & 槡% $! 因为 > 是棱 /4 的中点! 所以 4 / ( 7#> %. 4 ( 7#> % ! & . / ( 7#4 % ! - . / ( "#48 % ! - , ! $ ) 正方形 "#48 & /7% 槡$ !& ! ,! &答案' + &解析'函数 A $% % 1 $% '! 的零点的个数转化为函数 * % 1 $%与 * % ! $ 的交点个数!由图可知!交点为 + 个!所以函数 A $%的零点为 + 个 ! !%! 答案' 槡$ $ &解析'因为 " $ & ! # %!故可设直线 CF * %% $ '& %! % & # !则 # $ # ! '&% % ! 设 4 $ # ! * # %! :; "#%& :; #4 得!$ '& ! '&% % %& $ # ! * # )&% %!解得 $ # %'! ! * # %'$% !即 4 $ '! ! '$% %!代入圆 7 方程解得 % & % ! $ !因为 % & # ! 所以 %% 槡$ $ ! !!! &答案' " & ! &解析'因为直线 C 的斜率为1(2!'1(2 ( ! ' ( % 1(2 ! '1(2 $ ! ' " % " % &1(2 ! " !又 1 2 $% %/01$ !所以 /01 ! % &1(2 ! " ! 所以 342 ! % " & ! !'! &答案' '$ &解析'$方法一%因为:; #7% :; 78 ! :; 47%& :; 7" !所以 7 为四边形 "#48 两条对角线的交点! 且:; "4%$ :; "7%$, ! & :; "#) ! & :; $ % "8 % $ & :; "#) $ & :; "8 ! 所以:; "# & :; #4% :; "# &$ :; "4' :; "# % % ! & :; "# & ) $ & :; "# & :; "8 ! !# :; "8 & :; 84% :; "8 &$ :; "4' :; "8 % % $ & :; "# & :; "8) ! & :; "8 & ! !$ 因为:; "# & :; #4' :; "8 & :; 84%! !所以由 # ' $ 得! & $ :; "# & ' :; "8 & % %! !即:; "# & ' :; "8 & %&! 所以:; "4 & :; #8% $ & $ :; "#) :; "8 %$ :; "8' :; "# % % $ & $ :; "8 & ' :; "# & % %'$! $方法二%由:; "# & :; #4' :; "8 & :; 84%! !得:; 7" & :; 7#%' ! & !所以:; "4 & :; #8%" :; 7" & :; 7#%'$! !)! &答案' 槡& * ( !& ( &解析'因为 &$ & '$ * ' * & '!%# !所以 &$ & '$ * ' * & % &$) $ % * $' % * %!! 设 &$) * %6 ! $' * % ! 6 !则 $% ! $ 6) ! $ % 6 ! * % ! $ 6' & $ % 6 ! 所以 $)& * +$ & )&$ * )& * & % 6' ! 6 6 & ) ! 6 & % 6' ! 6 6' ! $ % 6 & )& ) 6' ! 6 & & 6' ! $ % 6槡 & % 6' ! 6 槡&&6' ! 6 ) 槡& * ! 当且仅当 6% 槡 槡&) " & 即 $% 槡" $ ! * % 槡 槡$&' " " !时. % 0成立! 所以 $)& * +$ & )&$ * )& * & 的最大值为槡& * ! !"! &答案'$ '" ! '! % &解析'因为 1 $% %: ; $ 在$ # ! ) < %上递增!当且仅当 $ " $ # !%时! 1 $% % # ! 存在 $ !& # ! $ && # ! $ !1 $ & !使得 1 $ D $ ! %% % 1 $ D $ & %% % # 等价于 存在 $ !& # ! $ && # ! $ !1 $ & !使得 D $ ! % % D $ & % " $ # !%! 因为 D 2 $% %$$ $ )&' %!所以 # 当 ' ' # 时! D $%在$ # ! ) < %上递增!不存在 $ !& # ! $ && # ! $ !1 $ & !使得 D $ ! % % D $ & %, $ 当 ' % # 时! $ " $ # ! '&' %时 D 2 $% % # ! D $%在$ # ! '&' %上递减, $ " $ '&' ! ) < %时 D 2 $% & # ! D $%在$ '&' ! ) < %上递增, 若存在 $ !& # ! $ && # ! $ !1 $ & !使得 D $ ! % % D $ & % " $ # !%!则需满足 D $ # % %')" & # !# D $ '&' % %*' $ )')" % ! ! " $ 解不等式 # 得! ' & '" !解不等式 $ 得! *' $ )')+ % # !$ ')! %$ *' & '*')+ % % # ! 因为 *' & '*')+ & # !所以 ' % '! ! 综上! ' 的取值范围是 '" % ' % '!! 二#解答题$本大题共 * 小题%共计 ,% 分 ! 请在答题卡指定区域 !!!!!!! 内作答 ! !#! 解'$ ! %因为 ' " & 和$" & 是 1 $% %&1(2 , $) $ % ' 的图象与 $ 轴的 & 个相邻的交点的横坐标! 所以 1 $%的最小正周期 H%&, $ " & ) " $ % & %* " ! $$ & 分 又 H% & " , !所以 , % ! & ! $$ * 分 又 1 " $ % & %& !所以 &1(2 " * ) $ % ' %& !即 1(2 " * ) $ % ' %! ! 因为 # % ' %" !所以" * % " * ) ' % + " * ! 从而" * ) ' % " & !即 ' % " * ! $$ 5 分 $ & %由$ ! %知! 1 $% %&1(2 ! & $) " $ % * ! 依题意! D $% %&1(2 ! & $ ' " % ) " ) * * %&1(2 ! & $' " $ % * ! $$ !# 分 因为 $ " # ! & ) * " !所以 ' " * ) ! & $' " * ) $ " * ! 当! & $' " * %' " * !即 $%# 时! ; $%取得最小值 槡' & , $$ !& 分 当! & $' " * % " & !即 $% $ & " 时! ; $%取得最大值 &! $$ !* 分 !*! 证明'$ ! %在正三棱柱 "#4'" ! # ! 4 ! 中! "" !- 平面 "#4 ! ( && ( 因为 #/ , 平面 "#4 !所以 "" !- #/! $$ & 分 又因为 * "#4 是正三角形! / 是 "4 的中点! 所以 #/ - "4! 因为 "" !$ "4%" ! "" !, 平面 "" ! 4 ! 4 ! "4 , 平面 "" ! 4 ! 4 ! 所以 #/ - 平面 "" ! 4 ! 4! $$ * 分 又因为 #/ , 平面 # ! #/ ! 所以平面 # ! #/ - 平面 "" ! 4 ! 4! $$ " 分 $ & %分别延长 #" ! # ! 8 !设 #" $ # ! 8%> ! 因为 #/ ! "0 是正三角形 "#4 的两条中线! 设 #/ $ "0%A !所以 #A%&A/! $$ - 分 因为 "# > " ! # ! !所以#! 8 8> % " ! 8 8" %& ! $$ !# 分 又 "" !> ## ! ! # ! 8 8> % #" "> %& !即 #"%&">! 所以 "A > >/ !即 "0 > >/ ! $$ !& 分 因为 >/ , 平面 # ! 8/ ! "0 + 平面 # ! 8/ ! 所以 "0 > 平面 # ! 8/! $$ !* 分 !$! 解'$ ! %设小船乙速度为 $ 海里+小时! 则 ! " $ % $ & 槡% -$, $ % ! " & )& & 槡'&,&, -$, $ % ! " ,/01$#A ! $$ $ 分 解得 $ 槡%*$! 答'小船乙的速度为 槡*$ 海里+小时 ! $$ + 分 $ & %由题意得) - $ 6'% %* & % $ !"% % & ) $ K6 % & '&,!"%,K6/01$#A ! 所以 !6& % $ % 6 & ) $ 槡!&-'!"$K % % $ % 6 )K & '"*%#! 设% 6 %L ! # % L % ! ! 则有 !6&L & ) $ 槡!&-'!"$K % L)K & '"*%# !其中 L " $ # !%! 即关于 L 的方程 !6&L & ) $ 槡!&-'!"$K % L)K & '"*%# 在$ # !%上有解! $$ 6 分 则 # % $ 槡!&-'!"$K % & '*,!6&, $ K & '"* % ' # ! 解得 # % K ) 槡!"$ $ ! 当 K% 槡!"$ $ 时!解得 L% ! $ " $ # !%!因此 K 最大值为 槡!"$ $ ! $$ !$ 分 答'小船甲的最大速度为 槡!"$ $ 海里+小时 ! $$ !* 分 !+! 解'$ ! %设椭圆的焦距为 &9 $ 9 & # %! 因为椭圆的一条准线方程为 $%& !焦距为 & ! 所以' & 9 %& ! &9%& !从而 ' & %& ! 9 & %!! $$ & 分 故 ( & %' & '9 & %!! 所以椭圆的标准方程为$ & & ) * & %!! $$ * 分 $ & % # 设 " $ ! ! * % ! ! # $ & ! * % & !联立方程 $ & & ) * & %! ! * %% ! $' 槡$ 2 3 4 & 消去 * 得! *% & ! $ % )&$ & 槡'*$% ! $'!%#! ( $& ( 则 $ ! )$ & % 槡&$% ! &% & ! )! ! $ ! $ & %' ! &&% & ! $ % )! ! 所以 "#% $ ! '$ % & & ) * ! ' * $ % &槡 & % $ ! 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( *& ( 因为函数 ; $% % D $%$ -'$ # % ' 1 $ - %!所以 ; $ - % % D $ - %$ -'$ # % ' 1 $ - % ! 则 ;2 $ - % % D 2 $ - %$ -'$ # % ) D $ - % ' 1 2 $ - % % D 2 $ - %$ -'$ # % %" $ &-)! %$ -'$ # % ! $$ " 分 因为 - " ! ! $ ) % # !所以 ;2 $ - % % # !从而函数 ; $ - %在区间 ! ! $ ) % # 上单调递减! 所以 ; $ - % & ; $ # % %' 1 $ # % %#! $$ - 分 $ 对任意的正整数 3 ! , !且3 , " ! ! $ ) % # !令 -% 3 , ! 函数 ; $% % D $%$ -'$ # % ' 1 $ - %!则 ; $ # % % D $ # %$ -'$ # % ' 1 $ - % ! 记 A $ - % % D $ # %$ -'$ # % ' 1 $ - %!则 A2 $ - % % D $ # % ' 1 2 $ - % % 1 2 $ # % ' 1 2 $ - %! 当 - " ! ! $ ) % # 时!由$ ! %知! A2 $ - % % 1 2 $ # % ' 1 2 $ - % & # !所以 A $ - %为区间 ! ! $ ) % # 上的单调增函数!所以 A $ - % % A $ # % %' 1 $ # % %# !即 ; $ # % % #! $$ !# 分 由$ & % # 知! ; $ - % & # !所以 ; $ - %& ; $ # % % #! 又函数 ; $% % D $%$ -'$ # % ' 1 $ - %区间 - ! $ $ % # 上图象不间断!所以函数 ; $%在 - ! $ $ % # 上存在零点!从 而函数 ; $%在 ! ! $ ) % # 上存在零点 ! $$ !& 分 不妨设 $ ! 为函数 ; $%在 ! ! $ ) % # 上的一个零点!则 ; $ ! % % D $ ! %$ -'$ # % ' 1 $ - % % D $ ! % 3 , '$ $ %# ' 1 3 $ % , %# !从而3 , '$ # % 1 3 $ % , D $ ! % ! 由$ ! %知!函数 D $%在 ! ! ) * & 上单调递增!所以 #% D $ ! % % D $ ! % % D $ & % ! 于是 3 , '$ # % 1 3 $ % , D $ ! % ' 1 3 $ % , D $ & % % & 3 $ )$ 3 & , '!& 3, & )" , $ D $ & % , $ ! $$ !* 分 由$ ! %知!函数 1 $%在区间 ! ! $ % & 上存在唯一的零点 $ # !而3 , " ! ! $ ) % # !所以 1 3 $ % , 1 #! 又因为 3 ! , 为正 整数!所以 & 3 $ )$ 3 & , '!& 3, & )" , $ 为正整数 ! 从而 3 , '$ # ' ! D $ & % , $ % ! D $ & % , $ !所以存在正常数 "% D $ & %!满足题设 ! $$ !" 分 第 % 卷!附加题"共 *# 分# '!!-. 解'由题意! ( ! %& ! !即 ! ) ( ! ' ! * * )* & ! %& )* & ! ! 所以 &)'%* ! &()*%& " ! 即 '%& ! (%'! " ! 所以 (% ! & ) * '! * ! $$ * 分 令 1 $% % $ '! '& ! $ '* % $ '! %$ '* % )&%# ! 得 $! %& ! $& %$ ! 所以矩阵 ( 的另一个特征值为 $! $$ 5 分 又 9>3 $ ( % % ! & '! * %" !所以 ( '! % & $ ' ! $ ! " 5 6 7 8 ! " ! $$ !# 分 /. 解'以极点 7 为原点!极轴为 $ 轴的非负半轴建立相应的平面直角坐标系 $7 * ! $ ! %将曲线 4 ' + & 槡'*$ + 1(2 * )-%# 化为普通方程 $ & ) $ * 槡'&$ % & %* ! 则线段 "# 的最大值为直径 *! $$ * 分 $ & % * "4# 的面积 )% ! & ,*,1(2 < "4# 槡% $ ! < "4#% " $ 或&" $ ! 在锐角三角形 "4# 中! < "4#% " $ ! $$ " 分 则直线 C 的斜率存在!所以设直线 C ' * %%$ ! ( +& ( 所以 槡'&$ !)%槡 & 槡% $ !所以 % 槡%. $ ! $$ - 分 直线 C 的极坐标方程为 * % " $ 或 * % & " $ ! $$ !# 分 1. 因为 ')*()69%&& !所以$ ')! % )* $ ()! % )6 $ 9)! % %$"! $$ $ 分 因为 ' ! ( ! 9 为正数! 由柯西不等式得)$ ')! % )* $ ()! % )6 $ 9)! %*& ! ')! ) ! ()! ) ! 9 $ % )! ' $ !)&)$ % & ! $$ 6 分 所以 ! ')! ) ! ()! ) ! 9)! ' !! $$ !# 分 ''! 解'$ ! %记.抽取的三个数组成等差数列0为事件 D !从集合 I 中抽取三个数组成数列共有 " $ !# 种抽取方法! 其中三个数成等差数列共有 &, $ !)&)$)*)*)$)&)! % %*# 种 ! 故 / $ " % % *# " $ !# % ! !- ! $$ * 分 答'抽取的三个数组成等差数列的概率! !- ! $ & % M 的可能取值为 # !! & ! / $ M%# % % 4 $ - 4 $ !# % 5 !+ ! / $ M%! % % " & - 4 $ !# % 5 !+ ! / $ M%& % % 4 ! - 4 $ !# % ! !+ ! $$ - 分 所以 M 的概率分布为' M # ! & / 5 !+ 5 !+ ! !+ 所以 > $ M % %#, 5 !+ )!, 5 !+ )&, ! !+ % $ + ! 答'随机变量 M 的数学期望为$ + ! --- !# 分 ')! 解'$ ! % ' ! %# !则 ' & %.! ! ' $ '' & %.& ! ' $ 的可能取值为 $ !! '! ! '$ , -- & 分 $ & %因为 ' +)! '' + %.+ !所以 ' - %.!.& - . $ -'! %! 所以 ' -) !)&) - ) $ -'! % % - $ -'! % & ! ' -' ' $ !)&) - ) $ -'! %% %' - $ -'! % & 因为 ' - %.!.& - . $ -'! %!所以 ' - 的奇偶性不变!所以 ' - 的取值只可能为 ' - $ -'! % & ! ' - $ -'! % & )& ! ' - $ -'! % & )* !-! - $ -'! % & --- " 分 数学归纳法证明 ' - 的取值为 ' - $ -'! % & ! ' - $ -'! % & )& ! ' - $ -'! % & )* !-! - $ -'! % & 当 -%$ 时!成立, 假设 -%% 时!成立! ' % 的取值为 ' % $ %'! % & ! ' % $ %'! % & )& ! ' % $ %'! % & )* !-! % $ %'! % & ! 当 -%%)! 时! ' %)! %' % .% ! 所以 ' %)! 可以取到' ' % $ %'! % & )% ! ' % $ %'! % & )&)% ! ' % $ %'! % & )*)% !-! % $ %'! % & )% ! 同时 ' %)! 可以取到' ' % $ %'! % & '% ! ' % $ %'! % & )&'% ! ' % $ %'! % & )*'% !-! % $ %'! % & '% ! 且% $ %'! % & '%' $ ' % $ %'! % & )% % %% & '$% ' # 所以 ' %)! 可以取到 ' % $ %)! % & ! ' % $ %)! % & )& ! ' % $ %)! % & )* !-! % $ %)! % & !成立! 因此任意的 + " & ) !成立!则一共可以取值个数为- & '-)& & ! $$ !# 分 ( "& ( 江苏高考学科基地密卷!五" 第 ! 卷 ! !必做题"共 !"# 分# 一#填空题$本大题共 !" 小题%每小题 # 分%共计 $% 分 ! !! &答案' '! &解析'由$ ')(( %$ !'&( % %')&() $ ('&' % (%+ !所以 ')&(%+ ! ('&' " %# ! 解得 '%! ! ( " %& !所以 ''(%'!! '! &答案' ! ! & ! " # $ &解析'因为 " $ 4% ! ! " # & !所以$ " $ 4 % 0 #% ! ! " # & 0 & ! " # $ % ! ! & ! " # $ ! )! &答案' !# &解析'五个数的平均数为 !! !则方差为! + * & )$ $ )$ & )* $ % & %!#! "! &答案' 5 &解析' )%! 时! %%$ , )%$ 时! %%+ , )%!+ 时! %%5 !故输出的 % 的值为 5! #! &答案' & + &解析'任取两数相加!共有 !# 种情形!和为 $ 的倍数的共有 * 种!所以和为 $ 的倍数的概率为& + ! *! &答案' 槡&$ &解析'将 I $ & ! 6 %代入抛物线 * & % ! & $ !得 6%.!! 再将 I $ & ! .! %代入双曲线$ & ' & ' * & %! 得 ' & %& !所以双曲线的焦距为 槡&$! $! &答案' ! ! ) < $ % &解析'由 * $ '& $)! & # 得 & $ $ & $ '& % & # !所以 & $ '& & # !故 $ & !! 所以函数的定义域为 ! ! ) < $ % ! +! &答案' $& &解析'设等比数列公比为 , !由 6) $ %) " 得 6) $ %) $ $ !) , $ %!因为 ' +& # !所以 , %&! 由 ' & ' $ )' + %&* 得 ' & & ' & , )' & , $ %&* !则 ' & %& 或 ' & %'" $舍去%!所以 ' " %' & , * ! 故 ' " %$&! ,! &答案' # &解析'因为函数 1 $% %&1(2 $ &$) ' %对 @ $ " ( !均有 1 $% )( 1 $ # % ( 恒成立!所以函数 1 $% %&1(2 $ &$) ' %的图象关于直线 $%$ # 对称!所以 1 $ # % %.&! 又 1 $% %&1(2 $ &$) ' %的最小正周期为 " ! 1 $ # ) " % * % 1 $ # ) H % * %#! !%! &答案' & &解析'在长方体 "#48'" ! # ! 4 ! 8 ! 中! "#%#4 !且 A 为 8# 的中点!所以 4A - #8 !在长方体中! ## !- 平面 "#48 !可得 4A - ## ! !不难得到 4A - 平面 #88 ! # ! !所以 . # ! '4>A %. 4'# ! >A % ! $ ) * # ! >A & 4A% ! $ & 槡$& &槡&%&! !!! &答案' - &解析'由 1 $% % '$ & )&槡 $ !知当 # ) $ ) & 时!函数 1 $%的图象是半圆$ '! % & ) * & %! $ * ' # % ! 在同一 坐标系下作出 1 $%是定义在 ( 上的图象和 D $% %:0 ;- $ 的图象!由图可知!两函数图象共有 - 个交点! 所以方程 1 $% % D $%解的个数为 -! ( 5& ( !'! &答案' 槡&$ $ &解析'设 / $ # ! * # %!圆心 I $ ( ! # %!所以圆 I 的方程为$ '( % & ) * & %&( & ! 联立方程组 $ '( % & ) * & %&( & $ & ' & ) * & ( & 2 3 4 %! !得9 & ' & $ & '&($%# !解得 $ # % &' & ( 9 & ! 所以 % /# ! '% /# & % &( $ # % 9 & ' & % - 6 !所以离心率 G% 槡&$ $ ! !)! &答案' $ & &解析'令:; "4 & :; #8%6 即:; "4 & :; "8' :; $ % "# %6 ! $ ! %!因为:; "# & :; 84% :; "# & :; "4' :; $ % "8 % + & ! $ & %!$ ! % ) $ & %得:; "8 & :; #4%6) + & ! 在四边形 "#48 中!因为 I ! 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( *$ ( 所以 ')(%$ !且 ' & # ! ( & #! ! ( ) * ' % ')( $ % $ & ! ( ) * $ % ' % ! $ ' ( )*)!) *( $ % ' ' ! $ +)& ' ( & *( 槡$ % ' %$! 当且仅当' ( % *( ' 取等号!所以 '( ')*( 的最大值为! $ ! !)! &答案' '! ) $ ) 5 + &解析'因为直线 C ! ' $' * '&%# 与直线 C & ' $)' * '&%# 相互垂直且分别过定点 " # ! $ % '& ! # & ! $ % # ! 所以两直线的交点 / 在以 "# 为直径的圆上!又因为点 / 在圆 4 上!故两圆有公共点即相交或相切!则两 圆心距 < 满足 # ) < ) 槡&& !解之得 '! ) $ ) 5 + ! !"! &答案' 槡*'&5 $ ! ) % # &解析'函数 1 $% %$ $ '$)' $ ' " ( %的两个零点!且 # % $ !% $ & ! 所以 1 $ ! % %$ $ ! '$ ! )'%# !# ! 1 $ & % %$ $ & '$ & )'%# !$ 由 #$ 得 $ $ ! '$ ! )'%$ $ & '$ & )' !得到 $ $ ! '$ $ & %$ ! '$ & ! 又因为 # % $ !% $ & !所以 $ & ! )$ ! $ & )$ & & %!! 所以 $ ! $ ! '&$ & % % $ ! $ ! '&$ & % $ & ! )$ ! $ & )$ & & % $ ! $ $ % & & '& $ ! $ & $ ! $ $ % & & ) $ ! $ & )! !令$! $ & %6 ! 6 " # ! $ % ! 则原式等于6 & '&6 6 & )6)! !令 * % 6 & '&6 6 & )6)! %!' $6)! 6 & )6)! ! 再令 -%$6)! ! * %!' 6 -) 5 - )! ! - " ! ! $ % * ! 因为 -) 5 - )! " 槡&5)! ! $ * 6 !所以 6 -) 5 - )! " ! ! 槡&5'! $ * $ ! 所以 $ ! $ ! 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I 点坐标为$! # %! J 点坐标为$ * ! # %! 7I 1 &IJ! 当 $ #1 $ 时!直线 /A 的方程为 * % * # $ # '$ $ '$ %! 代入椭圆 4 的方程!消去 * 整理得 )$ # '$ % & )* * & # %* $ & '&* * & # $)$" * & # '!& $ # '$ % & %# ! 所以 /0 中点 I 的横坐标 $ I % !& * & # $ # '$ % & )* * & # ! 纵坐标 * I % * # $ # '$ $ I '$ % %' $ $ # '$ % * # $ # '$ % & )* * & # ! $$ - 分 因为 7I%&IJ ! 所以 7I% & $ 7J !所以 !& * & # $ # '$ % & )* * & # % - $ ! 又 $ & # )* * & # %!& !得 $$ & # '!"$ # )&#%# ! 解得 $ # %& 或 $ # % !# $ ! 故点 / 的坐标为$ & ! 槡. & %或 !# $ ! . 槡& $ % $ ! $$ !# 分 $%直线 /J 与椭圆 4 有且仅有一个公共点!以下给出证明' 因为直线 7I 的方程为 * % $'$ # * * # & $ ! 所以 J 点坐标为 * ! $'$ # * $ % # ! 所以直线 /J 的斜率 % /J % * # ) $ # '$ * # $ # '* % * & # '$)$ # * # $ # '* % %' $ # * * # ! 直线 /J 的方程为 * ' * # %' $ # * * # $ '$ # %!即 * % ! * * # $ !&'$ # $ %! 代入椭圆方程 $ & )* * & %!& !得$ !) $ & # * * & # % $ & ' "$ # * & # & $) !& $ ' * & # % * & # %# ! 即 $ & '&$ # $)$ & # %# !解得 $%$ # ! 故直线 /J 与椭圆 4 有且仅有一个公共点 ! $$ !" 分 !,! 解'$ ! %当 (%'! 时! 1 $% $ %'$) ! $ ):2$ ! 1 2 $% %'' ! $ & ) ! $ % '$ & )$'! $ & ! $$ & 分 若函数 1 $%有两个极值!则 ' % # ! ' ! &' & # ! !)*' & # 2 3 4 ! 解得 ' ! * % ' % #! 故实数 ' 的取值范围为 ' ! * ! $ % # ! $$ * 分 $ & %当 ')(%! 时! 1 $% $ %'$) ! $ ' $ !'' % :2$ ! 所以 1 2 $% %'' ! $ & ) ''! $ % '$ & ) $ ''! % $'! $ & % $ )! %$ '$'! % $ & ! # 当 ' ) # 时! 1 2 $% % # ! 1 $%是$ # ! ) < %上的减函数! 1 $%无最小值!舍去, $$ " 分 $ 当 ' & # 时!由 1 2 $% & # 得! $ & ! ' ! 1 $%在 # ! ! $ % ' 上单调递减!在 ! ' ! ) <$ % 上单调递增!所以 1 $% 的最小值为 1 ! $ % ' %!)') $ !'' % :2'! $$ - 分 由 !)') $ !'' % :2'%& !得$ ''! %$ !':2' % %# !解得 '%! 或 '%>! $$ !# 分 $%对任意给定的正实数 ' ! ( !有 1 $% $ %'$) ! $ '(:2$ & '$'(:2$ ! $$ !! 分 ( 5$ ( 方法 ! '设 D $% %'$'(:2$ !则 D 2 $% % '$'( $ ! 所以 D $%在 # ! ( $ % ' 上单调递减!在 ( ' ! ) <$ % 上单调递增! D $% 7(2 % D ( $ % ' %(!':2 ( $ % ' ! $$ !& 分 # 当( ' ) > 时! D $% ' # 恒成立!所以存在 $ # % ( ' !当 $ & $ # 时! D $% & # ! 即当 $ & $ # 时! 1 $% & #! $$ !$ 分 $ 当( ' & > 时! D ( $ % ' % # !以下证明( ' % > ( ' !且 D $ > ( ' % & #! $$ !* 分 令( ' %$ & > ! ; $% %G $ '$ & !则 ;2 $% %> $ '&$ ! 因为$ > $ '&$ % 2%> $ '& & # !所以 ;2 $% %> $ '&$ 是$ > ! ) < %上的增函数! 由 ;2 $% & ;2 $ > % & # !得 ; $% %> $ '$ &是$ > ! ) < %上的增函数! 所以 ; $% & ; $ > % & # !故当 $ & > 时! > $ & $ & & $! 故( ' % > ( ' ! D $ > ( ' % %' & > ( ' '(:2> ( ' %' ) > ( ' ' ( $ % ' & * & # ! 由零点存在性定理知!存在 $ #" ( ' ! > ( $ % ' !使 D $ # % %# ! 故当 $ & $ # 时! D $% & # !即当 $ & $ # 时! 1 $% & #! $$ !" 分 方法 & '设 D $% %'$'(:2$%'$' 槡( $)( $槡$':2$ %! $$ !& 分 设 * %槡$':2$ ! $ & # !则 * 2% ! &槡$ ' ! $ % 槡$'& &$ ! 易知当 $%* 时! * 7(2 %&'&:2& & # !故 * %槡$':2$ & #! $$ !$ 分 又由 '$' 槡( $ ' # !得 $ ' ( $ % ' & ! $$ !* 分 对于任意给定的正实数 ' ! ( !取 $ # 为 ( $ % ' & 与 * 中的较大者! 则当 $ & $ # 时!恒有 D $% & # !即当 $ & $ # 时! 1 $% & #! $$ !" 分 '%! 解'$ ! %由 ) + %+ & )+ 得 ' + %&+! 对任意的 - ! + " & #且 - 1 + ! 有 ' - )' + %& $ -)+ % %' -)+ ! 因此!数列" ' + #是. 4 数列0, $$ & 分 $ & %因为 + $ ' ! )' + % %&) +# !所以$ +'! %$ ' ! )' +'! % %&) +'! $ + ' & % $ ! 由 # ' $ 得! ' ! )+' + ' $ +'! % ' +'! %&' + !即 ' ! ) $ +'& % ' + ' $ +'! % ' +'! %# $ + ' & % ) ! 则 ' ! ) $ +'$ % ' +'! ' $ +'& % ' +'& %# $ + ' $ % * !由 ) ' * 得! $ +'& % ' + '& $ +'& % ' +'! ) $ +'& % ' +'& %# $ + ' $ %! 整理得! ' + '&' +'! )' +'& %# $ + ' $ %!即 ' + '' +'! %' +'! '' +'& $ + ' $ %! 故数列" ' + #为等差数列 ! $$ + 分 又 ' ! %" !则 ' + %") $ +'! %$ ' & '" % ! 因为" ' + #是. 4 数列0! 所以对任意 - ! + " & #且 - 1 + !存在 % " & #使得 ' - )' + %' % ! 即 ") $ -'! %$ ' & '" % )") $ +'! %$ ' & '" % %") $ %'! %$ ' & '" % ! 又因为 ' && " !所以 %% " ' & '" )-)+'!! $$ 5 分 因为 % " & # !所以 " ' & '" 为整数!而 ' &" & #且 ' && " !则 ' & '"%! ! & ! $ ! " ! 故 ' & %5 ! - ! 6 ! &! $$ - 分 $%根据条件!对任意 + " & # !存在 % " & # !使得 ) + %' % ! 即 +' ! ) + $ +'! % & <%' ! ) $ %'! % % ' +)* +'! ! $$ - 分 同理可得' 5F% *+'* +)* ! 所以 5F & 5>% ' +)* +'! & *+'* +)* %*! $$ !# 分 江苏高考学科基地密卷!七" 第 ! 卷 ! !必做题"共 !"# 分# 一#填空题$本大题共 !" 小题%每小题 # 分%共计 $% 分 ! !! &答案'" $ ( $ % & # '! &答案'$ # ! '&# % &解析' &% $ ')" % ) $ ''& % ( !由 & 是纯虚数!知 ')"%# !即 '%'" !所以 &%'&#( !所以 & 在复平面上对应 点的坐标为$ # ! '&# % ! )! &答案' !## &解析'由 -# -#)!&#)+ % !& *+ !得 +%!##! "! &答案' $* &解析' '%! ! (%& ! (%& ? '%!)&%$ ! (%$)&%+ ! (%&)&%* ? '%$)+%- ! (%-)+%!$ ! (%*)&%" ? '%-)!$%&! ! (%&!)!$%$* ! (%")&%- ? 输出 (%$*! #! &答案' * &解析'左准线方程为 $%' - -槡 )* !渐近线方程为 * %. & 槡- $ ! 由 ' - -槡 $ % )* ' & 槡 $ % - 槡% & !解得 -%*! *! &答案' + 6 &解析'由题知 * /#4 的面积不超过 * "#4 面积的! $ !则取 "# 上靠近 # 三等分点 > !取 "4 上靠近 4 的 三等分点 A !点 / 落在梯形 >A4# 内即可!即 /% ) >A4# ) # "#4 % + 6 ! $! &答案'槡& &解析'由 * % 1 $%的最小正周期为 " !得 , %& ! 1 $% %"1(2&$ !所以 D $% %"1(2& ! & $ % $ %"1(2$! 由 D " $ % * 槡% & !得 "1(2 " * 槡% & ! "%& !所以 1 $ " $ % - %&1(2 $ " * 槡% &! +! &答案' 槡6$ &解析'因为高为 $ 的正三棱柱内接于一个直径为 + 的球内!所以正三棱柱底面正三角形的外接圆的直径 为 * !所以正三角形的边长为 槡&$ !所以棱柱的体积为槡$ * , $槡&$ % & 槡,$%6$! ,! &答案'$ '! ! # % 0 $ ! ! ) < % &解析'不等式 1 $% )&$ & # 即为 1 $% & '&$ !在同一坐标系下分别画出 * % 1 $%与 * %'&$ 的图象!观 察图象可得不等式 1 $% )&$ & # 的解集为$ '! ! # % 0 $ ! ! ) < % ! !%! &答案' !! &解析'设 ' " # + 的公差为 $ * ) ' % # , 当 ' & # 时!由 ;2 $% %# 得 $%' & # ! 于是 ; $%在$ # ! ' %上单调递减!在$ ' ! ) < %上单调递增! 只要 ; $% 7(2 %; $ ' % ' # !即 '' & :2' ' # !解得 # % ' ) ! , 综上所述!实数 ' 的取值范围是 '&> $ * ! ) * ! 二#解答题$本大题共 * 小题%共计 ,% 分 ! 请在答题卡指定区域 !!!!!!! 内作答 ! !#! 解'$ ! %因为槡$'1(24%9/01" ! ( &* ( 由正弦定理 ' 1(2" % 9 1(24 !得 '1(24%91(2" ! 所以槡$91(2"%9/01" !即槡$1(2"%/01"! $$ $ 分 因为 " " # ! " $ % & !所以 1(2" & # !所以 342"% 1(2" /01" % 槡$ $ ! 所以 "% " " ! $$ " 分 $ & %由 "% " " 及 1(2 $ * '" % % $ + !得 1(2 * ' " $ % " % $ + ! 由 # %*% " & !得 ' " " %* ' " " % " $ ! 所以 /01 * ' " $ % " % !'1(2 & * ' " $ %槡 " % !' $ % $ +槡 & % * + ! $$ !# 分 所以 /01 $ & * )" % %/01& * ) " $ % " %/01 " & ) & * ' " $ %) * $ %'1(2& * ' " $ % $ %'1(2& * ' " $ % " %'&1(2 * ' " $ % " /01 * ' " $ % " %'&, $ + , * + %' &* &+ ! $$ !* 分 !*! 证明'$ ! %连结 #8 !交 "4 于点 7 !连结 7I! 因为底面 "#48 是矩形! 7 是矩形 "#48 的对角线的交点! 所以 7 为 #8 的中点 ! $$ & 分 又因为 I 是 /# 的中点! 所以在 * #8/ 中! 7I > /8 ! $$ * 分 因为 7I , 平面 I"4 ! /8 + 平面 I"4 ! 所以 /8 > 平面 I"4! $$ " 分 $ & %因为底面 "#48 是矩形!所以 "# - #4 ! 又因为平面 /#4 - 底面 "#48 !平面 /#4 $ 底面 "#48%#4 ! "# , 底面 "#48 ! 所以 "# - 平面 /#4 ! $$ - 分 因为 4I , 平面 /#4 !所以 "# - 4I ! $$ !# 分 在 * /#4 中!因为 /4%#4 ! I 是 /# 的中点! 所以 4I - /# ! 因为 "# , 平面 /"# ! /# , 平面 /"# ! "# $ /#%# ! 所以 4I - 面 /"# ! $$ !& 分 又 4I , 平面 I"4 !所以平面 I"4 - 平面 /"#! $$ !* 分 !$! 解'$ ! %因为 * % " $ ! 7I%7J%$ ! 7"%7#%74%& ! 所以 "I%#J%+ ! 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'%& ( 槡% $ 9 2 3 4 2 3 4 %! !所以椭圆的标准方程为$ & * ) * & $ %!! $$ * 分 $ & % # 因为圆心 4 在第一象限!且圆 4 也与 $ 轴相切!所以圆心坐标为 4 $ & ! & %!当直线 C 的斜率不存在时! 直线 C 的方程为 $%& !符合题意!当直线 C 的斜率存在时!设直线 C 的方程为 * %% $ '& % )& ! 则由 $ & * ) * & $ %! * %% $ '& % 2 3 4 )& ? $ )*% & % $ & )!"% $ !'% % $)!" $ !'% % & '!&%# 所以 # % ) !"% $ !'% %* & '* $ )*% & %) !" $ !'% % & '!& * %# ! 整理得 !& $ &%'* % %# !即 %% ! - ! 此时!直线 C 的方程为 * '&% ! - $ '& %!即 $'- * )!*%# ! 综上可得直线 C 的方程为' $%& 或 $'- * )!*%#! $$ !# 分 $ 解法一'因为圆 4 和椭圆 - 有两个公共点 I / J $线段 IJ 不与 $ 轴垂直%! 因为 /4 - IJ !所以 % /4 %' ! % ! 设直线 IJ 的方程为 * %%$)- ! % 1 # ! I $ ! ! * ! %/ J $ & ! * & %/$ # ! * # %! 则由 * %%$)- ! $ & * ) * & $ %! 2 3 4 ! !消去 * 得'$ )*% & % $ & )-%-$)*- & '!&%# ! 所以 $ # % $ ! )$ & & %' *%- $)*% & ! * # %%$ # )-% $- $)*% & ! ( ** ( 所以 % 7/ % * # $ # %' $ *% !所以%/4 % 7/ % ' ! % ' $ *% !即%! % & 为定值* $ ! $$ !" 分 解法二'因为圆 4 和椭圆 - 有两个公共点 I / J $线段 IJ 不与 $ 轴垂直%! 设 I $ ! ! * ! %/ J $ & ! * & %/$ # ! * # %! 因为 /4 - IJ !所以 % IJ ,% /4 %'! ! # 由 $ & ! * ) * & ! $ %! ! $ & & * ) * & & $ 2 3 4 %! 两式相减得' $ ! '$ & %$ ! )$ & % * ) $ * ! ' * & %$ * ! ) * & % $ %# ! 因为 $ ! '$ &1 # ! $ ! )$ && # !所以*! ' * & $ ! '$ & , * ! ) * & $ ! )$ & %' $ * ! 即*! ' * & $ ! '$ & , * ! ) * & & $ ! )$ & & %' $ * !即*! ' * & $ ! '$ & , * # $ # %' $ * !即 % IJ & % 7/ %' $ * ! $ 由 #$ 两式相除得' % /4 % 7/ % * $ !即%! % & 为定值* $ ! $$ !" 分 !,! 解'$ ! %由 1 $% %> $ $ '> $ '$'' %!得 1 2 $% %> $ $ &'> $ '$'''! %! 因为 1 $%的图象与 $ 轴切于原点!所以 1 2 $ # % %''!%# !故 '%!! $$ & 分 $ & %因为 '%! !所以 1 $% %> $ $ > $ '$'! %! 1 2 $% %> $ $ &> $ '$'& %! 令 ; $% %&> $ '$'& !则由 ;2 $% %&> $ '!%# !得 $%':2& ! 因为 ;2 $% %&> $ '! 在 ( 上单调递增! 所以当 $ " $ ' < ! ':2& %时! ;2 $% % # ! ; $%在$ ' < ! ':2& %上为减函数! 当 $ " $ ':2& ! ) < %时! ;2 $% & # ! ; $%在$ ':2& ! ) < %上为增函数! 又 ; $ '& % % & > & & # ! ; $ '! % % & > '! % # !且 ; $%的图象连续不断! 所以在$ '& ! '! %上存在唯一的 $%$ # 满足 ; $ # % %# !即 1 2 $ # % %# ! 又注意到 ; $ # % %# ! 1 2 $ # % %# !从而 当 $ " $ ' < ! $ # %时! ; $% & # ! 1 2 $% & # !即 1 $%在$ ' < ! $ # %上为增函数! 当 $ " $ # ! ':2& %时! ; $% % # ! 1 2 $% % # !即 1 $%在$ # ! ':2& %上为减函数! 当 $ " $ ':2& ! # %时! ; $% % # ! 1 2 $% % # !即 1 $%在$ ':2& ! # %上为减函数! 当 $ " $ # ! ) < %时! ; $% & # ! 1 2 $% & # !即 1 $%在$ # ! ) < %上为增函数! 所以! 1 $%在 $%$ # 处取得极大值!在 $%# 处取得极小值! 综上可知! 1 $%存在唯一的极大值点 $ # !满足 $ #" $ % ! %)! %!且 %%'&! $$ !# 分 $%由$ & %知! $ #" $ '& ! '! %! 1 $ # % & 1 $ '& % % ! > * ) ! > & ! 1 $ # % & 1 $ '! % % ! > & ! 又由 ; $ # % %&> $ # '$ # '&%# !得 > $ # % $ # )& & ! 所以 1 $ # % %> $ # $ > $ # '$ # '! % % $ # )& & $ # )& & '$ # $ % '! %' ! * $ # )! % & ) ! * ! 又因为 $ #" $ '& ! '! %!所以 1 $ # % % ! * ! 综上可得! # % ! > * ) ! > & % 1 $ # % % ! * ! 所以!使 1 $ # % % - 成立的最小整数 - 的值为 !! $$ !" 分 '%! 解'$ ! %当 +%! 时!由 *) + % $ ' + )! % & !得 *' ! % $ ' ! )! % & !得 ' ! %! !所以 ( ! %&' ! %& ! 当 + ' ! 时!由 *) +)! '*) + % $ ' +)! )! % & ' $ ' + )! % & ! 得 *' +)! %' & +)! '' & + )&' +)! '&' + !即$ ' +)! )' + %$ ' +)! '' + % %& $ ' +)! )' + %! ( +* ( 又 ' +)! )' +& # !所以 ' +)! '' + %& ! 所以 ( +)! '( + % ! & $ ' +)! '' + % %! !即数列" ( + #是首项为 & !公差为 ! 的等差数列! 所以 H + %&+) + $ +'! % & ,! !即 H + % + & )$+ & ! -- * 分 $ & %因为 ' + %H + !所以 H +)! 'H + %' +)! '' + %& $ ( +)! '( + %!即 ( +)! %& $ ( +)! '( + %! 即(+)! ( + %& !所以数列" ( + #是首项 ( ! %& !公比为 & 的等比数列! 所以 ( + %& + ! ' + %H + %& +)! '& ! ) + %& +)& '&+'* ! # 要使 ' + )& ! ( - ! +'- 成等比数列!则必须$ ' + )& %$ +'- % %( & - ! 即 & +)! &$ +'- % %& &- !即 & +)! % & &- +'- !其中! - ! + " & # !且 - % + ! 当 -%! 时!得 & +)! %! !不成立!当 -%& 时!得 & +)! % !" $ !不成立! 当 -%$ 时!得 & +)! %& + !则 +%* !当 -%* 时!得 & +)! %& - !则 +%5 ! 所以满足条件的所有正整数对$ - ! + %为$! * %或$ * ! 5 % ! $$ !# 分 $ 9 + %+ & &' ) + H $ % + %+ & &' & +)& '&+'* & +)! $ % '& % + & & + '! ! 假设存在奇数 : 与偶数 6 $ ! % : % 6 %!使 &9 ! ! 9 : ! 9 6 成等差数列! 即 & ! : & & : '! ! 6 & & 6 '! 成等差数列!即 &: & & : '! %&) 6 & & 6 '! ! 因为 &) 6 & & 6 '! & & !所以 &: & & : '! & & !即 & : ': & '! % # !其中奇数 : & ! ! 当 :%$ 时! & : ': & '!%'& % # !当 :%+ 时! & : ': & '!%" & # ! 当 : ' + 时!令 1 $ : % %& : ': & '! !则 1 2 $ : % %& : :2&'&: ! 因为 1 O $ : % %& : $ :2& % & '& & & + $ 槡:2> % & '&%" & # ! 所以 : ' + 时! 1 2 $ : % %& : :2&'&: 为增函数! 所以 1 2 $ : % ' 1 2 $ + % %& + :2&'!# & & + 槡:2>'!#%" & # ! 所以 : ' + 时! 1 $ : % %& : ': & '! 为增函数! 1 $ : % ' 1 $ + % & # ! 即 : ' + 时! & : ': & '! & # ! 所以满足条件的奇数 : 的值只能为 :%$ ! 将 :%$ 代入 & & & : '! %&) 6 & & 6 '! !整理得 & 6 ' 5 * 6 & '!%# !其中偶数 6 ' * ! 当 6%* 时! & 6 ' 5 * 6 & '!%'!$ 1 # !当 6%" 时! & 6 ' 5 * 6 & '!%# 成立! 当 6 ' - 时!令 D $ 6 % %& 6 ' 5 * 6 & '! !则同理可证得 D $ 6 %为增函数! 所以当 6 ' - 时! D $ 6 % ' D $ - % & D $ " % %# !即 & 6 ' 5 * 6 & '! & # ! 所以满足条件的偶数 6 的值只能为 6%" ! 综上所述!当 :%$ 且 6%" 时! &9 ! ! 9 : ! 9 6 成等差数列 ! $$ !" 分 第 % 卷!附加题"共 *# 分# '!!-. 解'设 ( '! % ' ! 9 ( ! ) * < !因为 (( '! % &'! & ! ) * ! ' 9 ) * ( < % ! # ) * # ! ! 所以 &''(%! ! &9'<%# ! &')(%# ! &9)<%! 2 3 4 ! $$ * 分 ( "* ( 解之得 '% ! * (%' ! & 9% ! * <% 2 3 4 ! & !所以 ( '! % ! * ! * ' ! & 5 6 7 8 ! & ! 所以$ ( '! % & % ! * ! * ' ! & 5 6 7 8 ! & ! * ! * ' ! & 5 6 7 8 ! & % ' ! !" ! $ !" ' $ - ! 5 6 7 8 ! - ! -- !# 分 /. 解'椭圆 4 的普通方程为$ & * ) * & %!! 将 $% 槡& & 6 ! * %&) 槡& & 2 3 4 6 代入$ & * ) * & %! !得+ & 6 & 槡)-&6)!&%#! 设 " ! # 两点所对应的参数分别为 6 ! ! 6 & ! 则 6 ! )6 & %' 槡!"& + ! 6 ! 6 & % &* + ! 所以 "#% 6 ! '6 & % $ 6 ! )6 & % & '*6 ! 6槡 & % $ ' 槡!"& + % & '*, &* 槡 + % 槡*& + ! 故线段 "# 的长为 槡*& + ! $$ !# 分 1. 证明'因为)$ '! % & ) $ * )& % & ) $ &'$ % & *$ ! & )& & )$ & % ' )$ '! % )& $ * )& % )$ $ &'$ %* & % $ )& * )$&'" % & %!* & ! 当且仅当$'! ! % * )& & % &'$ $ !即 $%&%# ! * %'* !时取等号! 所以$ '! % & ) $ * )& % & ) $ &'$ % & ' !*! -- !# 分 ''! 解'$ ! %由二项式定理$ !)&$ % +的通项公式 H :)! %4 : + $ &$ % : !所以 ' % %4 % + & % ! $ !)&$ % + %' # )' ! $)' & $ & ) - )' + $ + $ + " & # % ! 当 +%" 时! 令 $%! 得 $ " %' # )' ! )' & )' $ )' * )' + )' " ! 令 $%'! 得 !%' # '' ! )' & '' $ )' * '' + )' " ! 两式相加得 ' # )' & )' * )' " % $ " )! & %$"+! $$ * 分 $ & %$ ! @ &$ % &+ = ' #@ ' ! $ @ ' & $ & @ - @ ' &+ E ! $ &+ E ! @ ' &+ $ &+ ! 9 + % = # 4 &% &+ & &% = 9 + % = # ' &% = H & ! 9 + % = ! 4 &% E ! &+ & &% E ! = 9 + % = # ' &% E ! = H ! ! $$ " 分 取 $ = ! !则 9 &+ % = # ' % = H !@ H & = $ &+ ! ! 取 $ =E ! !则 9 &+ % = # $ E ! % % ' % =E H !@ H & = ! ! $$ - 分 所以 9 + % = # 4 &% &+ & &% = H & = $ &+ @ ! & ! '!# 分 ')! 解'$ ! %由题 ) ! %& ! ) & %" ! ) $ %!-! $$ $ 分 $ & %当 + ' & 时! ' ! %! 或 '! , 若 ' ! %! !考虑下面 +'! 个数组$ ' & ! ' $ %!$ ' * ! ' + %!-!$ ' &+'& ! ' &+'! % ! ( 5* ( 每一个数组的元素的和可能取值为 '& ! # ! & ! 当取值为 '& 或 & 时!该数组的个数为 ! ,当取值为 # 时!该数组的个数为 &! $$ + 分 则有序数组$ ' ! ! ' & !-! ' &+'! %的个数为' 4 # +'! )&4 ! +'! )& & 4 & +'! ) - )& +'! 4 +'! +'! % $ !)& % +'! %$ +'! ! $$ 5 分 又 ' ! %'! 时!有序数组$ ' ! ! ' & !-! ' &+'! %的个数也为' 4 # +'! )&4 ! +'! )& & 4 & +'! ) - )& +'! 4 +'! +'! % $ !)& % +'! %$ +'! ! 所以 ) + %& & $ +'! ! $$ 6 分 当 +%! 时!上式也成立 ! 所以 ) + %& & $ +'! ! $$ !# 分 江苏高考学科基地密卷!八" 第 ! 卷 ! !必做题"共 !"# 分# 一#填空题$本大题共 !" 小题%每小题 # 分%共计 $% 分 ! !! &答案' ' 5 &+ &解析' & & ! & % $'*( $)*( % $ '*( % & $ )*( %$ '*( % % '5'&*( &+ %' 5 &+ ' &* &+ ( !所以复数 & & ! & 的实部是 ' 5 &+ ! '! &答案' ' $ & &解析'因为 " B # !则 & ( % ! * !所以 (%'&! 因为 :0 ;' & 1 # !所以 :0 ;' &%'! !则 '% ! & !则 ')(%' $ & ! )! &答案' - $ &解析' " ! # 两组同学成绩的均值都为 $%6& !而方差越小成绩越稳定!所以方差较小为 # 组同学!方差为 P & % $ '& % & )& & $ % - $ ! "! &答案' &6 &解析'这个伪代码的含义是 3 %!)!)+)6)!$ !其结果为 &6! #! &答案' ! & &解析'从袋中 * 个球中有放回的依次摸出 & 个球!基本事件为 *,*%!" 种!其中两个球编号之和为奇数的 有$ ! ! & %!$ ! ! * %!$ & ! $ %!$! * %!$ & !%!$! & %!$ * !%!$ * ! $ %!共 - 种情形!所以其概率为- !" % ! & ! *! &答案' & &解析'由条件得 9 ' % 槡$+ + ! 9%$ 2 3 4 ! 解得 ' 槡% + !所以 ( & %9 & '' & %* !双曲线 4 的渐近线方程为 &$ 槡. + * %# !所以 A $! # %到它的一条渐近线的距离为 " & & ) $槡+%槡 & %&! $! &答案' +* &解析'因为数列 ' " # + 是等比数列!所以 ' $ ' - %' ! ' !# !又 ' $ ' - %&' !# !所以 ' ! ' !# %&' !# !因为等比数列 ' !#1 # !所以 ' ! %&! 因为 ) * %-# !设公比为 , !所以 & $ !) , ) , & ) , $ % %-# !即$ , '$ %$ , & )* , )!$ % %# !所以 , %$ ! 所以 ' * %& & $ $ %+*! +! &答案' 槡" $ &解析'设球 7 的半径为 B !圆锥 )7 ! 的底面半径为 : !则其母线长为 &: !因为球 7 的表面积与圆锥 )7 ! 的 ( -* ( 侧面积相等!所以 * " B & % " : & &: !即 : 槡% &B !所以.! . & % * $ " B $ ! $ " : & &槡$: % 槡" $ ! ,! &答案'槡& &解析'由图可得$H * %!!'& ! H%!& ! , % & " H % & " !& % " " ! 1 $% %"1(2 " " $) $ % ' ! 又" " & &) ' % " & ! ' % " " !由槡&%"1(2 " " & #) " $ % " !所以 " 槡%&& ! 所以 1 $ &#&# % 槡%&&1(2 " " & &#&#) " $ % " 槡% &! !%! &答案' ' $ & ! ) * &解析'由 1 $ '$ % %&1(2 $ '$ % '> '$ )> $ %' $ &1(2$'> $ )> '$ % %' 1 $%!所以 1 $%是奇函数 ! 又 1 2 $% %&/01$' $ > $ )> '$ % ) # !所以 1 $%在 ( 上是减函数! 所以不等式 1 $ &$ & '! % ) 1 $ '& % ' # 即为 1 $ &$ & '! % ' 1 $ &'$ %!即 &$ & '! ) &'$ ! 解得 ' $ & ) $ ) !! !!! &答案'$ '& % & ) * & %! &解析'设 4 $ ' ! &'' %$ ' ' ! %!则圆 4 的方程为$ '' % & ) $ ' $ &'' %% & %! ! 设点 0 $! * %!由 0" & )0# & %" !得$ '& % & ) $ * '& % & %! !由条件得两圆外切!所以$ ''& % & )' & %* ! 解得 '%& !所以所求的圆 4 的方程为$ '& % & ) * & %!! !'! &答案' 槡&$ &解析'以:; "# 和:; "4 为基底! :; 4>% :; ">' :; "4% ! $ :; "#' :; "4 ! 设:; "7% $ :; "8 !则:; 7>% :; ">' :; "7% ! $ :; "#' $ & $ :; "#) :; "4 % % $ ! $ ' $ & % :; "#' $ & :; "4 ! 而:; 7> 与:; 4> 共线!所以 ! $ ! $ ' $ & % '! ' $ & !解得 $ % ! & !由:; "# & :; "4%" :; "7 & :; >4 ! 利用数量积的定义得! :; "# & %$ :; "4 & !从而"# "4 槡% $ !因为 "4%& !所以 "# 槡%&$! !)! &答案'" > # 0 $ # !% &解析'由函数 1 $% %' $ '$ ' $ & # %存在唯一零点!得方程 ' $ %$ '有唯一的正数解! 即:2' ' % :2$ $ !令 D $% % :2$ $ !则 D 2 $% % !':2$ $ & !易得函数 D $%在$ # ! > *上单调递增! 在) > ! ) < %上单调递减!且函数 D $%在$ ' < ! > *上的函数值从 ' < 增加到! > !在) > ! ) < %上的 函数值从! > 减小到 # !但不能取得 #! 所以当:2' ' % ! > 或者:2' ' % # 时满足题意!即 '%> 或 # % ' % !! !"! &答案' " $ &解析'因为 ! 342" ) ! 342# ) & 3424 % 槡-$ $ /014 ! 所以 1(24 1(2"1(2# ) &/014 1(24 % 1(2 & 4)&1(2"1(2#/014 1(2"1(2#1(24 % 槡-$ $ /014 !由正弦定理得 9 & )&'(/014 '(1(24 % 槡-$ $ /014 !由余弦定理得9 & )&'(/014 '( % ' & )( & '( % 槡-$ $ 1(24/014 ! 因为 & ) ' & )( & '( % 槡-$ $ 1(24/014% 槡*$ $ 1(2&4 !所以 1(2&4 ' 槡$ & ! ( 6* ( 当且仅当 '%( 取等号!因为 # % &4 % & " !所以" $ ) &4 ) & " $ !因此角 4 的最大值为" $ ! 二#解答题$本大题共 * 小题%共计 ,% 分 ! !#! 证明'$ ! %因为 I 为棱 " ! 4 ! 的中点!且 " ! # ! %# ! 4 ! ! 所以 # ! I - " ! 4 ! ! 因为 "#4'" ! # ! 4 ! 是直三棱柱! 所以 "" !- 平面 " ! # ! 4 ! ! 因为 # ! I , 平面 " ! # ! 4 ! ! 所以 "" !- # ! I ! 又因为 " ! 4 ! ! "" !, 平面 "44 ! " ! !且 " ! 4 !$ "" ! %" ! 所以 # ! I - 平面 "44 ! " ! ! 因为 # ! I , 平面 "# ! I ! 所以平面 "# ! I - 平面 "44 ! " ! ! $$ " 分 $ & %连结 #" ! !设 # ! " 与 #" ! 交于点 J !连结 IJ ! 因为 "#4'" ! # ! 4 ! 是三棱柱! 所以四边形 "## ! " ! 是平行四边形! 所以 J 是 " ! # 的中点! 又因为 4 为棱 " ! 4 ! 的中点! 所以 #4 ! ++ JI ! 又因为 JI , 平面 "# ! I ! #4 !+ 平面 "# ! I ! 所以 #4 ! ++平面 "# ! I! $$ !* 分 !*! 解'$ ! % 1 $% %&/01$ & /01 " " ' $ % $ ' 槡$ & /01$ & 槡$/01$)1(2 $ % $ ' 槡$ & 槡% $/01 & $)1(2$/01$' 槡$ & % ! & 1(2&$) 槡$ & /01&$ %1(2&$) " $ % $ ! 由 $ " ' " $ ! " $ % " 得! ' " $ % &$) " $ % & " $ !故 ' 槡$ & % 1(2&$) " $ % $ ) ! ! 所以函数 1 $%的值域为 ' 槡$ & ! $ * ! -- " 分 $ & %因为 1 ! $ % & %1(2 ! ) " $ % $ % $ + ! 由 !" " & ! $ %" !知 ! ) " $ " + " " ! * " $ % $ !所以 /01 ! ) " $ % $ %' * + ! 所以 1(2& ! ) & " $ % $ %&1(2 ! ) " $ % $ /01 ! ) " $ % $ %' &* &+ ! 所以 1! ) " $ % " %1(2& ! ) & " $ % $ %' &* &+ ! $$ !* 分 !$! 解'$ ! %因为椭圆 4 的短轴长为 槡&$ !左焦点 A 在圆 7 ' $ & ) * & %! 上! 所以 &( 槡%&$ ! A $ '! ! # %! !!!!!!!!!!!!!!!! 故 '%& ! ( 槡% $ ! 9%!! 所以椭圆 4 的标准方程为$ & * ) * & $ %!! $$ * 分 $ & % # 设直线 C 的方程为 * %% $ )! %$ % 存在%! / $ ! ! * ! %! 0 $ & ! * & % ! 由 * %% $ )! %! $ & * ) * & $ %! 2 3 4 ! 得$ )*% & % $ & )-% & $)*% & '!&%# ! ( #+ ( 所以 # % $ -% & % & '* $ )*% & %$ *% & '!& % %!** $ % & )! %! 所以 $ ! ! & % '-% & .槡 # & $ )*% & % % '*% & ." % &槡 )! $)*% & ! 所以 /0% $ ! '$ & % & ) $ * ! ' * & %槡 & % !)%槡 & ( $ ! '$ &( % % &槡 )! & !& % &槡 )! $)*% & % !& $ % & )! % $)*% & ! 因为 /0% !" + !所以!& $ % & )! % $)*% & % !" + ! 解得 % 槡%. $ ! 所以直线 C 的方程为槡$$) * 槡) $%# 或槡$$' * 槡) $%#! $$ 6 分 $ 当直线 C 的方程为槡$$) * 槡) $%# 时!点 7 到直线 C 的距离为 <% 槡$ & ! 所以 IA%& !'<槡 & %! ! J 点到直线 C 的距离的最大值为 !) 槡$ & ! 此时 * IJA 面积的最大值为 槡&) $ * ! 同理!当直线 C 的方程为槡$$' * 槡) $%# 时! * IJA 面积的最大值也为 槡&) $ * ! 所以 * IJA 面积的最大值为 槡&) $ * ! $$ !* 分 !+! 解'$ ! %过点 # 作 #> - "8 !过点 4 ! 作 4 ! A - "8 ! ! 垂足分别为 > ! A !设扩建后渠底宽 # ! 4 ! %$ 米 ! 因为扩建后水渠仍为等腰梯形!渠深 4 ! A%; 米! < "% < 8 ! ! 所以 * #"> 与 * 4 ! 8 ! A 相似! 8 ! A 4 ! A % 8> 4> !即8 ! A ; % * $ !所以 8 ! A% * $ ; 米 ! $$ $ 分 则 "8 ! %# ! 4 ! )&8 ! A%$) - $ ; ! 所以扩建后梯形 "# ! 4 ! 8 ! 面积' ) ! % ! & $ ) - $ ; % ) ) * $;% $ ) * $ ; % ;! 又梯形 "#48 的面积' )% ! & , $ !)$ % , $ * % $ & ! 因为 ) ! %&) !所以$ ) * $ ; % ;%$ !即 $% $ ; ' *; $ ! $$ " 分 由 ; & $ * ! $ ; ' *; $ & ! 2 3 4 ! 解得$ * % ; % $ & ! 答'渠底 # ! 4 ! 的宽为$ ; ' *; $ !且 ; 的取值范围是$ * % ; % $ & ! $$ - 分 $ & %建设费用为 S%'; & & !+##)$###' $ # ! 4 ! )&4 ! 8 ! % %'; & & !+##)$###' $) !# $ % ; %'; & & !+##)$###' $ ; )& $ % ; %!+##' $ ; & )*;) " ; %! ; " $ * ! $ % $ & ! $$ !& 分 设 1 $ ; % %; & )*;) " ; ! ; " $ * ! $ % $ & ! ( !+ ( 则 1 2 $ ; % %&;)*' " ; & % & $ ; $ )&;'$ % ; & % & $ ;'! %$ ; & )$;)$ % ; & ! 令 1 2 $ ; % %# !得 ;%! " $ * ! $ % $ & ! 列表' ; $ * ! $ % ! ! ! $ % $ & 1 2 $ ; % ' # ) 1 $ ; % / 极小值 . 所以!当 ;%! 时! 1 $ ; %取得极小值为 !! !此时总建设费用 S 最小 ! 答'当渠深 ; 为 !7 时!总建设费用 S 最小 ! -- !" 分 !,! 解'$ ! % * % 1 2 $% %&$)- ! D 2 $% %> $ ! 设切点为$ ! ! > $ ! %!则曲线 * % D $%在点$ ! ! > $ ! %处的切线方程为 * '> $ ! %> $ ! $ '$ ! %!即 * %> $ ! $)> $ ! & $ !'$ ! %! 结合题设得 > $ ! %& ! > $ ! $ !'$ ! % %- " ! 所以 $ ! %:2& ! -%&'&:2&! 所以实数 - 的值为 &'&:2&! $$ * 分 $ & % # 5 $% % 1 $% D $% % $ & )-$ > $ ! $ " ( ! 所以 52 $% % &$)-' $ & )-$ % > $ % '$ & ) $ &'- % $)- > $ ! $ " ( ! - " $ # !%! 因为 # % $ &'- % & )*-%- & )* & # ! 所以由 5 2 $% %# !得 '$ & ) $ &'- % $)-%# ! 即 $ & ' $ &'- % $'-%# 两根为 $ ! % $ &'- % ' - &槡 )* & ! $ & % $ &'- % ) - &槡 )* & ! 所以 52 $% % ' $ '$ ! %$ '$ & % > $ !因此! $ $ ' < ! $ ! % $ ! $ ! ! $ & % $ & $ & ! ) < % 5 2 $% ' # ) # ' 5 $% / 极小值 . 极大值 / 结合题设!有 $ # %$ & % $ &'- % ) - &槡 )* & %!) - &槡 )*'- & %!) & - &槡 )*)- ! 易知函数 ; $ - % %!) & - &槡 )*)- 在区间$ # !%是减函数! 因此! - " $ # !%时! ; $ ! % % $ #% ; $ # %!即槡+)! & % $ #% & 因为 $ #" $ % ! %)! %! % " & # !所以 %%!! $$ !# 分 $ 证明'由 # ! $ & # ' $ &'- % $ # '-%# !所以 $ & # )-$ # %&$ # )- ! 所以 5 $ # % % $ & # )-$ # > $ # % &$ # )- > $ # ! $ #" $ ! ! & %! - " $ # !%! 令 ' $% % &$)- > $ ! $ " $ ! ! & %! - " $ # !%! 所以 ' 2 $% % &'&$'- > $ % & $ !'$ % '- > $ % # ! 所以 ' $%在$ ! ! & %是减函数! ( &+ ( 所以 $ " $ ! ! & %时! ' $% % ' $ ! % % &)- > % $ > ! 所以 5 $ # % % $ > ! 由 # ! $ " $ ! ! & %时!) 5 $%* 74= %5 $ # %! 所以 $ " $ ! ! & %时! 5 $% ) 5 $ # % % $ > ! 即对于 @ $ " $ % ! %)! %! 5 $% % $ > 成立 ! -- !" 分 '%! 解'$ ! %设等差数列" ' + #的公差为 < ! 因为 ' & )' * %' + ! ) !# '+' " %&# ! 所以 &' ! )*<%' ! )*< ! !#' ! )*+<'+ $ ' ! )+< % %&# " ! 解之得 ' ! %# ! <%! " ! 所以数列" ' + #的通项公式 ' + %+'!! -- * 分 $ & % # 由$ ! %得 ( + % , +'! ! 所以存在 6 " & # !使得 $( 6)& '*( 6)! 是数列 ( " # + 中的项 = 存在 6 ! 3 " & # !使得 $( 6)& '*( 6)! %( 3 ! = 存在 6 ! 3 " & # !使得 $ , 6)! '* , 6 % , 3 '! ! 即 $ , & '* , % , 3 '6 $ # % ! 因为 , " & # !且 , %! 时!$ # %显然不成立! 所以 , ' & ! , " & # ! 所以 $ , & '* , ' * !即 , 3 '6 ' * ! 结合 6 ! 3 " & # !得 3 '6 " & # ! 当 3 '6 ' $ 时! , 3 '6 ' $ , & '* , % ' , $ ' $ , & '* , % % , $ , & '$ , )* % & # !$ # %不成立, 当 3 '6%! 时!$ # %得 $ , & '* , % , !解得 , %# 或 , % + $ $舍%, 当 3 '6%& 时!$ # %得 $ , & '* , % , & !解得 , %# $舍%或 , %& , 综上! , %&! $$ !# 分 $ 由 # 得 ( + %& +'! !令 < + % :0 ; , ( +)! ( +)! !则 < + % :0 ;& + & + % + & + ! 由:0;, ( -)! ( -)! ! :0 ; , ( %)! ( %)! ! :0 ; , ( :)! ( :)! 成等差数列! 得 < - )< : %&< % !即<- < % ) < : < % %& $ ## % ! 又 + ' & 时! < +)! < + % +)! &+ % ! !所以数列 < " # + 从第 & 项开始依次递减 ! $ ! # %当 - ' & 时!若 %'- ' & !则<- < % ' < - < -)& % - & - -)& & -)& % *- -)& ' & !$ ## %式不成立! 所以 %'-%! !即 %%-)! !所以 % ' $! $ & # %当 -%! 时! $ ' %若 %%& !则! & ) : & : % &,& & & !即: & : % ! & !但因为 : & & ! 所以: & : %< :% < & % ! & !矛盾!所以 : 不存在, ( $+ ( $ ( %若 %%$ !则! & ) : & : % &,$ & $ !即: & : % * & * !结合数列 < " # + 的单调性得' :%* , $ 9 %若 % ' * 时! < ! < % ' < ! < * %& !$ ## %式不成立 ! 综上! % 的最小值为 $! $$ !" 分 第 % 卷!附加题"共 *# 分# '!!-. 解'由 JI% & # ) * # & ! & ' 槡$ & 槡$ & 5 6 7 8 ! & % 槡! ' $ 槡 ) * $ ! ! $$ $ 分 所以 槡! ' $ 槡 ) * $ ! ' )* ( % ' 槡' $( 槡$') ) * ( ! $$ " 分 由条件!知 ' 槡' $(%* !槡$')( 槡%*$ ! 解得 '%* ! (%#! $$ !# 分 /. 解'曲线 4 的直角坐标方程为 $ & ) $ * '! % & %! !圆心为$ # !%!半径为 ! , 直线 C 的普通方程为 &$' * '!%# ! $$ + 分 所以圆心到直线 C 的距离为 <% & 槡+ ! 所以弦长 "#%& !' & 槡 $ % +槡 & % & 槡+ ! $$ 5 分 点 7 到直线 C 的距离为 <2% ! 槡+ ! 所以 * 7"# 的面积 )% ! & & "# & <2% ! + ! $$ !# 分 1. 解' ! $)& * ) ! * )&& ) ! &)&$ % ! $ ! $)& * ) ! * )&& ) ! &)& $ % $ &)$ )& * % ) $ * )&& % ) $ &)&$ %* $$ + 分 % ! $ !)!)!) * )&& $)& * ) &)&$ $)& * ) $)& * * )&& ) &)&$ * )&& ) $)& * &)&$ ) * )&& &)& $ % $ ' ! $ $)& * )&& $)& * & $)& * * )&槡 & )& &)&$ $)& * & $)& * &)&槡 $ )& * )&& &)&$ & &)&$ * )&槡 % & %$ ! $$ !# 分 ''! 解'$ ! %以直线 4" / 4# / 48 为 $ 轴/ * 轴/ & 轴!建立空间直角坐标系 4'$ * & !设 48%&' !则 4 $ # ! # ! # %! " $ & ! # ! # %! # $ # !槡&& ! # %! 8 $ # ! # ! &' %! 所以 > $ ! ! # ! ' %! :; #>% $ ! ! 槡'&& ! 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E 3 % +! $$ !# 分 江苏高考学科基地密卷!九" 第 ! 卷 ! !必做题"共 !"# 分# 一#填空题$本大题共 !" 小题%每小题 # 分%共计 $% 分 ! !! &答案'" ! ! & ! $ ! + # '! &答案' 槡+& &解析' &% $ !'( %$ )*( % %5)( !所以 ( & ( 槡%+&! )! &答案' ' ! $ &解析'由向量 $% $ '$ !%! % $ ! ! % %!且 $ > ! !得 '$%'!%# !则 %%' ! $ ! "! &答案' !*## &解析'频率为$ #!#$)#!#* % ,!#%#!5 !所以时速在) +# ! 5# %的汽车大约有 &###,#!5%!*## 辆 ! #! &答案' * &解析'故输出的 + 的值是 *! + ! & $ * 3 ! " !$ && ( ++ ( *! &答案' $ * &解析'甲/乙两位同学各自随机参加一个兴趣小组!共有 *,*%!" 种结果!两位同学参加相同的兴趣小组 共有 * 种结果!所以两位同学参加不同兴趣小组的概率为 !' * !" % $ * ! $! &答案' 5 6 &解析'由 1(2 ! & % ! $ !则 1(2 ! ) " $ % & %/01 ! %!'&1(2 & ! & % 5 6 ! +! &答案' " &解析'由 ) 6 %!- !所以 6' + %!- !则 ' + %& !由 ' $ )' + )' 5 %$' + !所以 ' $ )' + )' 5 %"! ,! &答案' " $ ) 槡$ & &解析' 1 2 $% % ! & )/01$ !则 1 $%的最大值为" $ ) 槡$ & ! $ # ! & $ ) %" & $ " & $ " ! $ *" 1 2 $% ) # ' 1 $% . 极大值" $ ) 槡$ & / !%! &答案' ! * &解析'因为 J 为线段 /# 的中点!所以 . /'"J4 %. #'"J4 %. J'"#4 % ! & . /'"#4 % ! * . /'"#48 !所以所求比 值为! * ! !!! &答案'槡 槡"' & &解析'设椭圆的焦点 A $ 9 ! # %!双曲线的离心率为 G ! 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'& ! & % ' ! & + $ % '! % ! & +'& & # ! 所以只有当数列 ' " # + 与数列 ( " # + 的前 + 项完全相同时!才有 ) + %H + ! $$ !* 分 所以 ) + % ! & # . ! & ! . ! & & . - . ! & +'! 共有 & +'!种情形!其值各不相同 ! 所以 ) + 可能值必恰为$,! & +'! ! $,$ & +'! ! $,+ & +'! !-! $, $ & + '! % & +'! !共 & +'!个! 它们构成等差数列 ! $$ !" 分 第 % 卷!附加题"共 *# 分# '!!-. 解'$ ! %因为 $% '! ) * & 是矩阵 (% ' ! '! ) * ( 的属于特征值 '! 的一个特征向量! 所以 '! ) * & %' '! ) * & !即 '')& !)& ) * ( % ! ) * '& ! $$ * 分 所以 ''&%'! ! &()!%'& " ! ! 则 '%! ! (%' $ & 2 3 4 ! $$ + 分 $ & %设$! * %为 4 ! 上任一点!在矩阵 " 对应变换作用下得到另一点为$ ! ! * ! % 所以 $ ! * ) * ! % ! ! '! ' 5 6 7 8 $ & $ )* * % $) * '$' $ & 5 6 7 8 * ! ( !" ( 故 $ ! %$) * ! * ! %'$' $ & * 2 3 4 ! ! 即 $%$$ ! )& * ! ! * %'& $ ! ) * ! " %! $$ - 分 由 $'& * )$%# !得 $$ ! )& * ! )*$ ! )* * ! )$%5$ ! )" * ! )$ ! 所以曲线 4 & 的方程为 5$)" * )$%#! $$ !# 分 /. 解'将直线 C 的参数方程为 $%'&)6 ! * % 6 & 2 3 4 )$ $ 6 为参数%化为普通方程为 $'& * )-%# ! $$ $ 分 则点 I 到直线 C 的距离 <% ( &/01 * 槡'&$1(2 * )- ( 槡+ % ( */01 * ) " $ % $ )- ( 槡+ ! $$ 5 分 所以当 * ) " $ % " )&% " $ % " 0 %!即 * % & " $ )&% " $ % " 0 %时!距离 < 的最小值 槡*+ + ! $$ !# 分 1. 证明'因为 ' & # ! ( & # ! ''( & # ! 所以 &') ! ' & '&'()( & '&(%& $ ''( % ) ! $ ''( % & $$ * 分 % $ ''( % ) $ ''( % ) ! $ ''( % & ' $ $ $ ''( % & ! $ ''( %槡 & %$ ! $$ 6 分 所以 &') ! ' & '&'()( & ' &()$! $$ !# 分 ''! 解'$ ! %因为抛物线过点 0 $ ! ! '! %! 所以$ '! % & %& 3 ,! !得 3 % ! & ! 所以抛物线 4 的方程为 * & %$! $$ $ 分 $ & %由条件得直线 0I /直线 0J 的斜率一定存在!且不为 # ! 设直线 0I 的方程' $'!%- $ * )! %! 则直线 0J 的方程' $'!%' ! - $ * )! %! 由 $%- * )-)! ! * & %$ " ! 得 * & '- * '-'!%# ! 因为 # %- & '* $ '-'! % % $ -)& % & & # ! 所以 - 1 '& ! 由 * 0 & * I % $ '! %& * I %'-'! !得 * I %-)! ! 所以 I $$ -)! % & ! -)! %! 同理可得 J !' ! $ % - & ! ' ! $ % - ! 所以直线 IJ 的方程为 * ' $ -)! % % $ -)! % '!' ! - $ -)! % & ' !' ! $ % - & $ ' $ -)! % & %! 即 - & $ * '! % )- $ & * '$ % ' $ * '! % %# ! 因为 - " ( 且 - 1 '& ! 所以 * '!%# ! & * '$%# " ! 解得 $%& ! * %! " ! 所以直线 IJ 过定点$ & !% ! $$ !# 分 ')! 解'$ ! %证明' 9 ! %' ! % ( ! !,& !所以 9 !) ! & ( ! 成立 ! $$ ! 分 ( ! ( & %&' ! ,& $ % $ & & ' & ! ( &" ( 所以 9 & % $ ' ! ' & % ! & % ( ! ( & $ $ % & ! & % ( ! (槡 & $ ) ( ! )( & &,$ !所以 9 &) ! " $ ( ! )( & % ! $$ & 分 猜想' 9 +) ! + $ +)! % &$ ( ! )( & ) - )( +'! )( + % ! $$ $ 分 $ & % H + %9 ! )9 & )9 $ ) - )9 + % $ ' ! % ! ! ) $ ' ! ' & % ! & ) $ ' ! ' & ' $ % ! $ ) - ) $ ' ! ' & - ' + % ! + ) ( ! !,& ) ( ! )( & &,$ ) ( ! )( & )( $ $,* ) - ) ( ! )( & ) - )( + + $ +)! % $$ * 分 %( ! ! !,& ) ! &,$ ) - ) ! + $ +)! ) * % )( & ! &,$ ) ! $,* ) - ) ! + $ +)! ) * % ) - )( + & ! + $ +)! % %( ! !' ! + $ % )! )( & ! & ' ! + $ % )! ) - )( + ! + ' ! + $ % )! $$ + 分 % ( ! ! ) ( & & ) - ) ( + + % !) $ % ! ! ! ' ! ) !) $ % ! & & ' & ) - ) !) ! $ % + + ' + ! $$ " 分 下面比较 !) ! $ % + + 与 > 的大小' 令函数 1 $% %!)$'> $ !其定义域为$ ' < ! ) < %! 1 2 $% %!'> $ ! 当 $ % # ! 1 2 $% & # !所以 1 $%单调递增, 当 $ & # ! 1 2 $% % # !所以 1 $%单调递减 ! 故 1 $%的单调递增区间为$ ' < ! # %!单调递减区间为$ # ! ) < % ! 当 $ & # 时! 1 $% % 1 $ # % %# !即 !)$ % > $ ! 令 $% ! + !得 !) ! + % > ! + !即 !) ! $ % + + % >! $$ 6 分 所以 !) $ % ! ! ! ' ! ) !) $ % ! & & ' & ) - ) !) ! $ % + + ' +% >' ! )>' & ) - )>' + %>) + ! 即 H +% >) + ! $$ !# 分 江苏高考学科基地密卷!十" 第 ! 卷 ! !必做题"共 !"# 分# 一#填空题$本大题共 !" 小题%每小题 # 分%共计 $% 分 ! !! &答案' $)( &解析'由 & $ %$ % % !'&( !)( %$'( !故复数 & 的共轭复数 & 为 $)(! '! &答案' '! &解析'由 " $ # " # % '$ 可得 - & '*%'$ !即 -%.!! 由于 " $ # 只有一个元素 '$ !所以 -%'!! )! &答案' - &解析'按照执行顺序' ?%$ ! )%* , ?%+ ! )%" , ?%5 ! )%- !此时 ? & + !所以输出结果为 -! "! &答案' ! & &解析'记.中国馆0.国际馆0.植物馆0.生活体验馆0四大展馆分别为 ! ! & ! $ ! * .游客甲随机参观其中的两个 馆0包含 ! ! $ % & ! ! ! $ % $ ! ! ! $ % * ! & ! $ % $ ! & ! $ % * ! $ ! % * 共 " 个等可能基本事件 ! .这位游客能参观到5中国 馆60包含其中的 $ 个基本事件!故概率为! & ! #! &答案' * &解析'结论'若 $ ! ! $ & !-! $ &#&# 方差为 ) & !则 &$ ! )! ! &$ & )! !-! &$ &#&# )! 方差为 *) & ! 根据上述结论'数据 $ ! ! $ & !-! $ &#&# 的方差为 *! *! &答案' * &解析'令 1 $ )* % % 1 $% ) 1 $ & %中 $%'& !得 1 $ & % % 1 $ '& % ) 1 $ & %!所以 1 $ '& % %# !又因为 1 $%是 定义在 ( 上的偶函数!所以 1 $ & % %# !所以 1 $ )* % % 1 $%!所以 1 $%是周期为 * 的周期函数!所以 1 $% ) ( $" ( 1 $ !# % % 1 $ '! % ) 1 $ & % % 1 $ ! % )#%*! $! &答案' " " &解析'由 ( & %'9 !即 ( 为 ' ! 9 的等比中项!所以 ( 既不是最大边!也不是最小边!从而 # 既不是最大角!也不 是最小角 ! 由 /01# 槡% $ !'1(2 $ % # !可得 1(2#) " $ % " % 槡$ & ! 因为 # " $ # ! " %! #) " " " " " ! 5 " $ % " !所以 #) " " % " $ 或&" $ !所以 #% " " $ #% " & 不符合% ! +! &答案' * $ &解析'在三棱柱 "#4'" ! # ! 4 ! 中! "" !- 面 " ! #4 !则 "" ! 为三棱锥 "'" ! #4 的高 ! 所以 . "'" ! #4 % ! $ & "" ! & ) * " ! #4 % ! $ & ! & ! & & & & &% & $ ! 所以 . " ! '"#4 %. "'" ! #4 % & $ !所以 . " ! '#44 ! # ! %&. " ! '"#4 % * $ ! ,! &答案' 槡 槡&) !# & &解析一'因为 * /7A 为等腰直角三角形!且 7/ - A/ !则 / 9 & ! . 9 $ % & !代入可得9 & ' & ' 9 & ( & %* ! 由 9 & %' & )( &及 >% 9 ' 得 > * '"> & )*%# !解得 > & 槡%$. + ! 又因为 > & ! !所以 >% 槡 槡&) !# & ! &解析二'如图!因为 * /7A 为等腰直角三角形!且 7/ - A/ !取左焦点 H !连结 H/ ! 由题 7/%/A% 槡& & 9 ! 7H%9 ! 在 * /7H 中!由余弦定理得 H/ & %7/ & )7H & '&7/ & 7H/01 < /7H % ! & 9 & )9 & )&, 槡& & 9 & 9 & 槡& & % + & 9 & !由双曲线定义得 /H'/A%&' ! 所以槡!# & 9' 槡& & 9%&' !解得 >% 9 ' % * 槡 槡!#' & % 槡 槡!#) & & ! !%! &答案' & &解析'以:; "# ! :; "4 为基向量!则 :; "8% :; "#) :; #8% :; "#) $ )! $ :; #4% :; "#) $ )! $ :; "4' :; $ % "# % $ )! $ :; "4' ! $ :; "#! 所以:; "4 & :; "8% :; "4 & $ )! $ :; "4' ! $ :; $ % "# % $ )! $ :; "4 & ' ! $ :; "4 & :; "#! 又因为 < #"4%6#A !所以:; "4 & :; "#%#! 所以:; "4 & :; "8% $ )! $ :; "4 & %* & $ )! $ %" 即可得 $ %&! !!! &答案' 槡&$'& &解析'由题! /0 ' 4 ! 4 & '& !其中 4 ! $ # ! * %! 4 & $ &' ! ' & %! 则 4 ! 4 & % $ &' % & ) $ ' & '* %槡 & % ' * '*' &槡 )!"% $ ' & '& % &槡 )!& ' 槡&$ ! 所以 /0 ' 槡&$'& !所以 /0 的最小值为 槡&$'&! !'! &答案' '**# &解析'因为数列 ' " # + 是以 ! 为首项! & 为公差的等差数列!所以 ' + %&+'!! 所以 ) &+ %' & ! '' & & )' & $ '' & * ) - )' & &+'! '' & &+ % ' ! '' $ % & ' ! )' $ % & ) ' $ '' $ % * ' $ )' $ % * ) - ) ' &+'! '' & $ % + ' &+'! )' & $ % + ( *" ( %'&' ! )' & ) - )' & $ % + %'-+ & ! 令)&+ + %'-+ !易知数列 ) &+ " # + 是等差数列 ! 所以数列 ) &+ " # + 的前 !# 项和 $ % !# '-'-,!# & %'**#! !)! &答案' '! % - ) ! &解析'对于函数 1 $% $ ' 当 $ & # 时!令 1 $% $ %# !则 $%> & , 当 $ % # 时! 1 $% 2 $ %'$$ & )$ ! 令 1 $% 2 $ %# !则 $%'! $ %! 舍去%! 所以当 $ " ' < ! $ % '! 时! 1 $% $ 是单调减函数, 当 $ " '! ! $ % # 时! 1 $% $ 是单调增函数 ! 如图所示' 对于方程 1 & $% $ )- 1 $% $ )- & '!%# ' 令 6% 1 $% $ !则 6 & )-6)- & '!%# ! 由于方程 1 & $% $ )- 1 $% $ )- & '!%# 有 + 个不同的实数根! 则方程 6 & )-6)- & '!%# 有两个不同的实数根 6 ! ! 6 & !且 6 !" '& ! $ % # ! 6 &" # ! ) < ) % ! 当 6 !" '& ! $ % # ! 6 & %# 时! - & '!%# 即 -%.! ! 当 -%! 时! 6 & )6%# !则 6%# 或 '! $满足题意%, 当 -%'! 时! 6 & '6%# !则 6%# 或 ! $不满足题意% ! 当 6 !" '& ! $ % # ! 6 &" # ! ) < $ %时!令 D $% 6 %6 & )-6)- & '! ! 则 D $ % '& & # D $% # % " # !解得 '! % - % !! 综上所述'实数 - 的取值范围是 '! % - ) !! !"! &答案' 槡&& &解析'由 * * & )*$ * )!% * $ 可得$) * $ '* * $) % * %& !即 $) % * ! $ '* $ %* %&! 所以! $ )$'$ * % ! $ '* $ %* ) $) % * ' & ! $ '* $ %* $) %槡 * 槡%&&! 当且仅当 ! $ '* * %$) * $) % * ! $ '* $ %* 2 3 4 %& !即 $% 槡 槡+&' $* - * % 槡 槡$&) $* 2 3 4 - 时取. % 0 ! 二#解答题$本大题共 * 小题%共计 ,% 分 ! 请在答题卡指定区域 !!!!!!! 内作答 ! !#! 证明'$ ! %因为点 > 在棱 "# 上!且 ">%&># !点 A 在棱 "4 上!且 "A%&A4 ! 所以"> ># % "A A4 %& !则 >A ++ #4! $$ $ 分 又因为 >A + 平面 #44 ! # ! ! #4 , 平面 #44 ! # ! ! 所以 >A ++平面 #44 ! # ! ! $$ " 分 $ & %在正三棱柱 "#4'" ! # ! 4 ! 中! * "#4 为等边三角形! 因为 F 为 #4 的中点!所以 "F - #4! 又因为 >A ++ #4 !所以 >A - "F! $$ - 分 在正三棱柱 "#4'" ! # ! 4 ! 中! ## !- 平面 "#4 ! 因为 >A , 平面 "#4 !所以 >A - ## ! ! $$ !# 分 在正三棱柱 "#4'" ! # ! 4 ! 中! ## ! ++ 44 ! ! ## ! %44 ! ! 所以四边形 #44 ! # ! 是平行四边形 ! ( +" ( 又因为点 8 为棱 # ! 4 ! 的中点!点 F 为棱 #4 的中点!所以 8F ++ ## ! ! 所以 >A - 8F! $$ !& 分 又因为 "F , 平面 " ! "F8 ! 8F , 平面 " ! "F8 ! "F $ 8F%F 所以 >A - 平面 " ! "F8! $$ !* 分 !*! 解'$ ! %当 -%# 时! 1 $% $ 槡% &1(2$) " % * 1(2$%1(2$ 1(2$)/01 $ % $ $$ & 分 % !'/01&$ & ) 1(2&$ & % 槡& & 1(2&$' " $ % * ) ! & ! $$ * 分 因为 $ " " - ! $ " ) * * !所以 &$' " * " # ! + " ) * * ! 当 &$' " * " # ! " ) * & 即 $ " " - ! $ " ) * - 时!函数 1 $% $ 是单调增函数, $$ " 分 当 &$' " * " " & ! + " ) * * 即 $ " $ " - ! $ " ) * * 时!函数 1 $% $ 是单调减函数 ! $$ 5 分 $ & %由 $ ++ ! 得槡&-1(2$) " % * 1(2$' " % * %1(2$1(2$) " % * ! $$ !# 分 由 342$%& !得 1(2$) " % * 1 #! 所以槡&-1(2$' " % * %1(2$! $$ !& 分 两边同除 /01$ 可得 - 342$ $ % '! %342$ !因为 342$%& !所以 -%&! $$ !* 分 !$! 解'$ ! %如图!以 7 为坐标原点! 7" 所在直线为 * 轴!建立平面直角坐标 系 $7 * ! 由条件知 " $ # ! - %! / $ & ! # %!若点 0 恰好在路面中线上!则 0 $ 5 ! # %! 所以直线 /0 方程为 &$) * '!*%#! $$ & 分 设圆心 4 的坐标为$ ' ! ( %! 则 ' & ) ( $ % '- & %: & ! !# ' $ % '& & ) ( $ % '!# & %: & ! !$ # ' $ 得 ')('!#%# ! !) $$ * 分 又圆心$ ' ! ( %在直线 /0 上! 所以 &')('!*%# ! !* 由 )* 解得 '%* ! (%" !代入 # 式得 : 槡%&+! 答'当 : 为 槡&+- 时!点 0 恰好在路面中线上 ! $$ " 分 $ & %由$ ! %知 ')('!#%#! 当 '%& 时!灯罩轴线所在的直线方程为 $%& !此时 50%# , 当 ' 1 & 时!灯罩轴线所在的直线方程为 * '!#% '' ''& $ % '& ! 令 * %# !得 $%!&' &# ' !即 0 !&' &# ' ! $ % # ! $$ - 分 因为点 5 在线段 70 上! 所以 !&' &# ' ' ' !解得 & ) ' ) !#! $$ !# 分 所以 05% !&' &# $ % ' '' %!&' &# ' ) $ % ' ) !&'& &# ' ,槡 ' 槡%!&'*+ ! 当且仅当 '% &# ' !即 ' 槡%&+ 时!取等号 ! 答' 50 的最大值为 槡$ % !&'*+ 7! $$ !* 分 !+! 解'$ ! %由于椭圆 4 离心率为! & !所以9 ' % ! & ! $$ ! 分 ( "" ( 由于圆 > 是以直线 C 与 $ 轴的交点为圆心!槡&为半径的圆!且 C ' $% ' & 9 ! 所以 > ' & 9 ! $ % # ! : > 槡% &! $$ & 分 由于过点 # 作圆 > 的两条切线!切点分别为 / / 0 !且 < /#0%6#A ! 所以' & 9 ''%&! $$ $ 分 由 9 ' % ! & ! ' & 9 '' 2 3 4 %& 得 '%& 9 " %! !所以 ( 槡% $! $$ + 分 所以椭圆 4 的标准方程为$ & * ) * & $ %!! $$ " 分 $ & %由直线 IJ 的斜率不为 # !设直线 IJ ' $%- * ' & $ ! I $ ! ! * % ! ! J $ & ! * % & 由 $%- * ' & $ ! $ & * ) * & $ 2 3 4 %! 得' $- & % )* * & '*- * ' $& $ %#! 所以 * ! ! & % *-.槡 # &$- & % )* # %!"- & ) !&- $ $- & % $ % )* ! 所以 * ! ) * & % *- $- & )* * ! & * & % ' $& $ $- & 2 3 4 )* ! $$ - 分 所以*! ) * & * ! & * & %' $ - - !即 * ! & * & % * ! ) * & ' $ - - ! $$ 6 分 直线 "I ' * % * ! $ ! )& $ % )& !直线 #J ' * % * & $ & '& $ % '& 由 * % * ! $ ! )& $ % )& * % * & $ & '& $ % 2 3 4 '& 即 * % * ! - * ! ) * $ $ % )& * % * & - * & ' - $ $ % 2 3 4 '& ! 得 $% * - * ! * & ' * $ * ! ) & $ *$ %& * $ & * ! ) * $ % & % $- * ! * & '* * ! )& * & & * ! ) * & % $- * ! ) * & ' $ - - '* * ! )& * & & * ! ) * & % '- * ! ) * $ % & '* * ! )& * & & * ! ) * & % '!& * ! '" * & & * ! ) * & %'"! $$ !* 分 由$ ! %可知'直线 /0 ' $%$ !且 /0%&! $$ !+ 分 所以 ) * H/0 % ! & & & & $ % $' '" %6 $定值% ! $$ !" 分 !,! 解'$ ! % 1 $% $ % '$ :2$ 定义域为 # ! $ % 0 ! ! ) < $ % ! $$ ! 分 因为 1 $% 2 $ % '$ :2 $ % $ 2%' :2$'! :2 $ % $ & ! 所以 1 $% $ 在 $% ! > 处的切线斜率为 '&! ( 5" ( 所以 '%!! $$ $ 分 所以 1 $% $ % $ :2$ ! 1 $% 2 $ % $ :2 $ % $ 2% :2$'! :2 $ % $ & ! 令 1 $% 2 $ %# !则 $%> $ # ! $ % ! ! $ % > > > ! ) < $ % 1 I $% $ ' ' # ) 1 $% $ / / 极小值 > . 由表可知' 1 $% $ 的单调减区间为 # ! $ %和 ! ! $ % > ! $$ " 分 $ & %解法一'因为函数 * % 1 $% $ 的图象与直线 * %- - & $ % > 交于不同的两点 " $ ! ! * % ! ! # $ & ! * % & ! 所以 1 $ % ! % 1 $ % & %- & >! 由$ ! %可知'当 $ " # ! $ %时! 1 $% $ % # ,当 $ " ! ! ) < $ %时! 1 $% $ ' >! 所以不妨设 ! % $ !% > % $ & ! 要证' $ ! )$ && &> !只要证' $ && &>'$ ! ! 由于 ! % $ !% > % $ & 即 $ & ! &>'$ !" > ! ) < $ % !且 1 $% $ 在 > ! ) < $ %上是单调增函数 只要证' 1 $ % & & 1 &>'$ $ % ! ! 由于 1 $ % ! % 1 $ % & !只要证' 1 $ % ! & 1 &>'$ $ % ! !即 $ ! :2$ ! & &>'$ ! :2&>'$ $ % ! ! 由于 :2$ !& # ! :2&>'$ $ % ! & # !只要证' $ ! :2&>'$ $ % ! & &>'$ $ % ! :2$ ! ! $$ - 分 令 D $% $ %$:2&>' $ % $ ' &>' $ % $:2$ ! $ " ! ! $ % > ! 则 D $% 2 $ % :2&>' $ % $ ) '$ &>' ) * $ ' &>' $ % $ $ ':2 ) * $ %:2$ &>' $ %) * $ ' $ & ) &>' $ % $ & $ &>' $ % $ %:2$ &>' $ %) * $ ' '&$ &>' $ % $ )*> & $ &>' $ % $ ! $$ !# 分 令 6%$ &>' $ % $ ! $ " ! ! $ % > !则 D $% 26 %:26' *> & '&6 6 %:26' *> & 6 )&! 因为 6%$ &>' $ % $ %' $ % '> & )> &在 ! ! $ % > 上是单调增函数!所以 6 " &>'! ! > $ % & ! 所以 D $% 26 %:26' *> & '&6 6 %:26' *> & 6 )& % :2> & ' *> & > & )&%#! 所以 D $% 6 在 ! ! $ % > 是单调减函数 ! $$ !* 分 所以 D $% 6 & D $% > %#! 因为 $ !" ! ! $ % > !所以得证 ! $$ !" 分 解法二'因为函数 * % 1 $% $ 的图象与直线 * %- - & $ % > 交于不同的两点 " $ ! ! * % ! ! # $ & ! * % & ! 设 # % $ !% > % $ & ! 则 1 $ % ! % $ ! :2$ ! %- & > 1 $ % & % $ & :2$ & %- & 2 3 4 > ? $ ! %-:2$ ! $ & %-:2$ " & ? $ ! '$ & %-:2 $ ! $ & $$ - 分 令 6% $ ! $ & " # ! $ % !则 $ ! '$ & %-:26! 所以 $ ! %- 6:26 6'! $ & %- :26 6 2 3 4 '! ! $$ !# 分 要证' $ ! )$ && &> !只要证' - 6 $ % )!:26 6'! & &>! 由于 6 " # ! $ % !只要证' - 6 $ % )!:26 % &>6 $ % '! ! $$ !& 分 设 D $% 6 %- 6 $ % )!:26'&>6 $ % '! ! 6 " # ! $ % ! ( -" ( D $% 26 %- :26)!) ! $ % 6 '&> ! 6 " # ! $ % ! 设 $% ;6 %:26)!) ! 6 ! 6 " # ! $ % ! $% ;26 % ! 6 ' ! 6 & % 6'! 6 & % # ! 所以 $% ;6 在 # ! $ %上是单调减函数! 所以 $% ;6 & ; $% ! %&! $$ !* 分 又因为 - & > !所以 D $% 6 & &-'&> & # ! 所以 D $% 6 在 # ! $ %上是单调增函数! 所以 D $% 6 % D $% ! %# ! 即 - 6 $ % )!:26 % &>6 $ % '! ! $结论成立% $$ !" 分 '%! 解'$ ! %证明' 当 + ' & 时!设'+)! ' 3 ' + ' + ' 3 ' +'! % ' + )' + $ % '! ' 3 ' + ' + ' 3 ' +'! % !' $ % 3 ' + )' +'! ' + ' 3 ' +'! % , $常数% ! $$ ! 分 则 !' $ % 3 ' + )' +'! % , ' + ' 3 ' + $ % '! ! 所以 !' $ % 3 ' + )' +'! % , ' + ' 3, ' +'! ! 所以 !' 3 ' $ % , ' + ) !) $ % 3, ' +'! %#! 所以 !' 3 ' , %# !) 3, " %# !且 3 % #! $$ $ 分 所以 3 % 槡!' + & ! , % 槡!) + & ! $$ * 分 $ & %由$ ! %可知'数列 ' +)! ' 槡!' + & ' " #+ 是以 槡!) + & 为首项! 槡!) + & 为公比的等比数列 ! 所以 ' +)! ' 槡!' + & ' + % 槡!) + $ % & + ! $$ + 分 所以 ' +)! 槡!) + $ % & + % 槡!' + & 槡!) + & ' + 槡!) + $ % & +'! )!! 令 ( + % ' + 槡!) + $ % & +'! !则 ( +)! % 槡+'$ & ( + )!! $$ 5 分 所以 ( +)! ' 槡+)+ !# % 槡+'$ & ( + ' 槡+)+ $ % !# ! 所以 ( + ' 槡+)+ " # !# 是以 槡+' + !# 为首项! 槡+'$ & 为公比的等比数列 ! 所以 ( + % 槡+)+ !# ) 槡+' + $ % !# 槡+'$ $ % & +'! ! -- 6 分 所以 ' + % 槡+)+ !# ) 槡+' + $ % !# 槡+'$ $ % & + ) * '! 槡!) + $ % & +'! % 槡+ + 槡!) + $ % & + ' 槡!' + $ % & ) * + ! -- !# 分 $%由$ & %可知' 因为 ' &+'! ' &+)! % 槡+ + 槡!) + $ % & &+'! ' 槡!' + $ % & &+ ) * '! & 槡+ + 槡!) + $ % & &+)! ' 槡!' + $ % & &+ ) * )! % ! + 槡!) + $ % & &+'! & 槡!) + $ % & &+)! ) 槡!' + $ % & &+'! 槡!' + $ % & &+ ) * )! ' ! + 槡!) + $ % & &+'! & 槡!' + $ % & &+)! ) 槡!' + $ % & &+'! & 槡!) + $ % & &+ ) * )! ( 6" ( % ! + 槡!) + $ % & *+ ) 槡!' + $ % & *+ $ % ' '! &+'! & 槡!' + $ % & & $ % ' '! &+'! & 槡!) + $ % & ) * & % ! + 槡!) + $ % & *+ ) 槡!' + $ % & *+ $ % ' '! &+'! & 槡!' + $ % & & $ % ' '! &+'! & 槡!) + $ % & ) * & % ! + 槡!) + $ % & *+ ) 槡!' + $ % & *+ ) * )$ $$ !$ 分 ' & &+ )!% ! + 槡!) + $ % & &+ ' 槡!' + $ % & & ) * + & )! % ! + 槡!) + $ % & *+ ) 槡!' + $ % & *+ '& 槡!) + $ % & &+ 槡!' + $ % & & ) * + )! % ! + 槡!) + $ % & *+ ) 槡!' + $ % & *+ $ % '& '! & ) * + )! % ! + 槡!) + $ % & *+ ) 槡!' + $ % & *+ ) * )$ 所以 ' & &+ )!%' &+'! ' &+)! !即 ' & &+ %' &+'! ' &+)! '! $结论成立% ! $$ !" 分 第 % 卷!附加题"共 *# 分# '!!-. 解'由题意得旋转变换矩阵 %% /01*+A'1(2*+A 1(2*+A ! ) * /01*+A % 槡& & ! ' 槡& & 槡& & !! 槡& 5 6 7 8 & ! $$ & 分 设 / $ # ! * # %为曲线 4 ! ' $ & ' * & %! 上任意一点!变换后变为另一点$! * %!则 $ 5 6 7 8 * % 槡& & ! 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( #5 ( 设.顾客甲抽奖一次且中奖0为事件 " !则 " 表示.抽奖结果为一个白球一个红球0! 所以 / $ " % %!'/ $ " % %!' 4 ! & 4 ! $ 4 & + % & + ! $$ $ 分 答'顾客甲中奖的概率为& + ! $$ * 分 $ & % M 的可能取值为 # ! # ! &# ! $# ! *#! $$ + 分 抽奖一次'不中奖的概率为 $% / " % $ + , 中二等奖的概率为 / $ # % % 4 & $ 4 & + % $ !# , 中一等奖的概率为 / $ 4 % % 4 & & 4 & + % ! !# ! 所以 / $ M%# % %/ $ " % / $ " % % $ + , $ + % 6 &+ , / $ M%!# % %/ $ " % / $ # % )/ $ # % / $ " % % $ + , $ !# ,&% 6 &+ , / $ M%&# % %/ $ " % / $ 4 % )/ $ 4 % / $ " % )/ $ # % / $ # % % $ + , ! !# ,&) $ !# , $ !# % &! !## , / $ M%$# % %&/ $ # % / $ 4 % %&, $ !# , ! !# % $ +# , / $ M%*# % %/ $ 4 % / $ 4 % % ! !# , ! !# % ! !## ! 所以 M 的概率分布为' M # !# &# $# *# / $ M % 6 &+ 6 &+ &! !## $ +# ! !## $$ - 分 所以 > $ M % %#, 6 &+ )!#, 6 &+ )&#, &! !## )$#, $ +# )*#, ! !## %!#! 即 M 的数学期望 > $ M % %!#! $$ !# 分 ')! 解'$ ! %因为$ '! % &+ %' # )' ! $)' & $ & ) - )' &+ $ &+ !所以 ' % %4 % &+ $ '! % &+'% ! 因为4 % &+ %)! % ! %)! & $ &+ %3 % 3 $ &+'% %3 % ! &+)! 4 %)! &+)! ! %%# !! & !-! &+ ! 所以 ) &+ = 9 &+ % = # ' % % @ ! = 4 # &+E 4 ! &+ & @ 4 & &+ $ E - E 4 &+ E ! &+ &+ @ 4 &+ &+ &+ @ ! = ! &+ @ ! 4 ! &+ @ !E 4 & &+ @ !@ - E 4 &+ &+ @ !@ 4 &+ @ ! &+ @ $ % ! = ! &+ @ ! E 4 # &+ @ !@ 4 ! &+ @ !E 4 & &+ @ !@ - E 4 &+ &+ @ !@ 4 &+ @ ! &+ @ !@ $ % ! = ! &+ @ ! ! E E ! @ $ % ! &+ @ ) * ! = ! &+ @ ! ! $$ + 分 $ & %由 ( + % &) &+ ) &+ )! 得 ( + % ! +)! ! 所以要证 ( + )( +)! ) - )( + & ' ! & !即证 ! +)! ) ! +)& ) - ) ! + & )! ' ! & ! 下面用数学归纳法证明' # +%! 时! ( ! % ! & ' ! & , +%& 时! ( & )( $ )( * % ! $ ) ! * ) ! + % *5 "# ' ! & ! ( !5 ( $ 假设 +%% $ % ' & %时!不等式成立!即 ! %)! ) ! %)& ) - ) ! % & )! ' ! & ! 则 +%%)! 时! ! %)& ) ! %)$ ) - ) ! % & )! ) ! % & )& ) - ) ! $ %)! % & )! % ! %)! ) ! %)& ) ! %)$ ) - ) ! % & $ % )! ) ! % & )& ) - ) ! $ %)! % & )! ' ! %)! & ! & ) &%)! $ %)! % & )! ' ! %)! & ! & ) &% $ %)! % & )! ' ! %)! % ! & ) % & '& $ %)! % & ) * )! % $ % )! & ! & ! 所以 +%%)! 时!不等式也成立 ! 由 #$ 可知!不等式对一切 + " & #均成立 ! $$ !# 分 ( &5 (