重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）14

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14.1 整式的乘法 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 14.1.2 幂的乘方 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1. 理解并掌握 幂的乘方法则 . （重点） 2. 会运用幂的乘方法则进行幂的乘方的运算 . （难点） 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体 . 木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和 10 2 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？ V 球 = — πr 3 ， 其中 V 是体积、 r 是球的半径 3 4 导入新课 问题引入 10 10 3 ＝ 边长 2 ＝边长 × 边长 S 正 问题 1 请分别求出下列两个正方形的面积？ 讲授新课 幂的乘方 一 互动探究 S 小 ＝ 10×10 ＝ 10 2 ＝ 10 3 ×10 3 S 正 = （ 10 3 ） 2 = 10 6 = 10 6 问题 2 请 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空， 观察计算的结果，你能发现什么规律？证明你的猜想 . (3 2 ) 3 = ___ × ___ × ___ =3 （ ） + （ ） + （ ） =3 （ ）×（ ） =3 （ ） 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 6 猜想： ( a m ) n =_____. a mn 证一证： ( a m ) n n 个 a m n 个 m 幂的乘方法则 ( a m ) n = a mn 　 ( m ， n 都是正整数 ） 即幂的乘方，底数 ______ ，指数＿ __ ＿ . 不变 相乘 例 1 计算： （ 1 ）（ 10 3 ） 5 ； 解 : (1) (10 3 ) 5 = 10 3×5 = 10 15 ； (2) ( a 2 ) 4 = a 2× 4 = a 8 ； (3) ( a m ) 2 = a m · 2 = a 2 m ； （ 3 ）（ a m ） 2 ； （ 2 ） （ a 2 ） 4 ； 典例精析 （ 4 ） - （ x 4 ） 3 ； ( 4 ) - ( x 4 ) 3 = - x 4 × 3 = - x 12 . ( 6 ) [(﹣ x ) 4 ] 3 . ( 5 ) [ ( x + y ) 2 ] 3 ； (5) [ ( x + y ) 2 ] 3 = ( x + y ) 2×3 =( x + y ) 6 ； (6) [(﹣ x ) 4 ] 3 = (﹣ x ) 4×3 = (﹣ x ) 12 = x 12 . 方法总结： 运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式． (- a 5 ) 2 表示 2 个 - a 5 相乘，结果没有负号 . 比一比 (- a 2 ) 5 和 (- a 5 ) 2 的结果相同吗 ? 为什么 ? 不相同 . (- a 2 ) 5 表示 5 个 - a 2 相乘，其结果带有负号 . n 为偶数 n 为奇偶数 想一想： 下面这道题该怎么进行计算呢？ 幂的乘方 : ＝ ( a 6 ) 4 = a 24 [( y 5 ) 2 ] 2 =______=________ [( x 5 ) m ] n =______=________ 练一练： ( y 10 ) 2 y 20 ( x 5 m ) n x 5 mn 例 2 计算： 典例精析 ( 1 ) ( x 4 ) 3 · x 6 ; ( 2 ) a 2 (－ a ) 2 (－ a 2 ) 3 ＋ a 10 . 解 : (1) ( x 4 ) 3 · x 6 = x 12 · x 6 = x 18 ； ( 2 ) a 2 (－ a ) 2 (－ a 2 ) 3 ＋ a 10 = - a 2 · a 2 · a 6 ＋ a 10 = - a 10 ＋ a 10 = 0. 先乘方，再乘除 先乘方，再乘除，最后算加减 方法总结： 与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项． 例 3 已知 10 m ＝ 3 ， 10 n ＝ 2 ，求下列各式的值 . (1)10 3 m ； (2)10 2 n ； (3)10 3 m ＋ 2 n ． 解： (1)10 3 m ＝ (10 m ) 3 ＝ 3 3 ＝ 27 ； (2)10 2 n ＝ (10 n ) 2 ＝ 2 2 ＝ 4 ； (3)10 3 m ＋ 2 n ＝ 10 3 m × 10 2 n ＝ 27 × 4 ＝ 108 . 方法总结： 此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可 . (1) 已知 x 2 n ＝ 3 ，求 ( x 3 n ) 4 的值； (2) 已知 2 x ＋ 5 y － 3 ＝ 0 ，求 4 x · 32 y 的值． 解： (1) (x 3 n ) 4 ＝ x 12 n ＝ ( x 2 n ) 6 ＝ 3 6 ＝ 729. (2) ∵ 2 x ＋ 5 y － 3 ＝ 0 ， ∴ 2 x ＋ 5 y ＝ 3, ∴4 x ·32 y ＝ (2 2 ) x ·(2 5 ) y ＝ 2 2 x ·2 5 y ＝ 2 2 x ＋ 5 y ＝ 2 3 ＝ 8. 变式训练 例 4 比较 3 500 ,4 400 ,5 300 的大小 . 解析： 这三个幂的底数不同 , 指数也不相同 , 不能直接比较大小 , 通过观察 , 发现指数都是 100 的倍数 , 故可以考虑逆用幂的乘方法则 . 解 : 3 500 =(3 5 ) 100 =243 100 , 4 400 =(4 4 ) 100 =256 100 , 5 300 =(5 3 ) 100 =125 100 . ∵ 256 100 >243 100 >125 100 , ∴ 4 400 >3 500 >5 300 . 方法总结： 比较底数大于 1 的幂的大小的方法有两种 :(1) 底数相同 , 指数越大 , 幂就越大 ;(2) 指数相同 , 底数越大 , 幂就越大 . 故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较 . 当堂练习 1 ． ( x 4 ) 2 等于 ( ) A ． x 6 B ． x 8 C ． x 16 D ． 2 x 4 B 2. 下列各式的括号内，应填入 b 4 的是 ( ) A ． b 12 ＝ ( 　　 ) 8 B ． b 12 ＝ ( 　　 ) 6 C ． b 12 ＝ ( 　　 ) 3 D ． b 12 ＝ ( 　　 ) 2 C 3 ．下列计算中，错误的是 ( ) A ． [( a ＋ b ) 2 ] 3 ＝ ( a ＋ b ) 6 B ． [( a ＋ b ) 2 ] 5 ＝ ( a ＋ b ) 7 C ． [( a － b ) 3 ] n ＝ ( a － b ) 3n D ． [( a － b ) 3 ] 2 ＝ ( a － b ) 6 B 4 ．如果 (9 n ) 2 ＝ 3 12 ，那么 n 的值是 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 B 4 ．计算： (1)(10 2 ) 8 ； (2)( x m ) 2 ； (3)[( － a ) 3 ] 5 (4) － ( x 2 ) m . 解： (1) (10 2 ) 8 ＝ 10 16 . (2) ( x m ) 2 ＝ x 2 m . (3) [( － a ) 3 ] 5 ＝ ( － a ) 15 ＝ － a 15 . (4) － ( x 2 ) m ＝ － x 2 m . 5 ．计算： (1)5( a 3 ) 4 － 13( a 6 ) 2 ； (2)7 x 4 · x 5 ·( － x ) 7 ＋ 5( x 4 ) 4 － ( x 8 ) 2 ； (3)[( x ＋ y ) 3 ] 6 ＋ [ － ( x ＋ y ) 2 ] 9 . 解： (1) 原式＝ 5 a 12 － 13 a 12 ＝ － 8 a 12 . (2) 原式＝ － 7 x 9 · x 7 ＋ 5 x 16 － x 16 ＝－ 3 x 16 . (3) 原式＝ ( x ＋ y ) 18 － ( x ＋ y ) 18 ＝ 0 . 6. 已知 3 x +4 y -5=0, 求 27 x ·81 y 的值 . 解 : ∵ 3 x +4 y -5=0, ∴ 3 x +4 y =5, ∴ 27 x ·81 y =(3 3 ) x ·(3 4 ) y =3 3 x ·3 4 y =3 3 x +4 y =3 5 =243. 　 7. 已知 a =3 55 , b =4 44 , c =5 33 , 试比较 a ， b ， c 的大小 . 解 : a =3 55 =(3 5 ) 11 =243 11 , b =4 44 =(4 4 ) 11 =256 11 , c =5 33 =(5 3 ) 11 =125 11 . ∵ 256>243>125, ∴ b>a>c . 拓展提升 课堂小结 幂的乘方 法则 （ a m ） n =a mn ( m,n 都是正整数） 注意 幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 幂的乘方与同底数幂的乘法的区别： ( a m ) n = a mn ; a m ﹒ a n = a m+n 幂的乘方法则的逆用： a mn =( a m ) n =( a n ) m