2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期期末考试数学文试题(Word版)

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2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期期末考试数学文试题(Word版)

‎2017-2018学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期期末考试数学文试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列集合中,是集合的真子集的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数(为虚数单位)的虚部是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.在正项等比数列中,若,是方程的两根,则的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.若,且为第三象限角,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知,,,则,,的大小关系为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设,是两个不同的平面,是直线且,则“”是“”的( )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.已知,若将它的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函 数的图象的一条对称轴的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.函数的最大值与最小值分别为( )‎ A., B., C., D.,‎ ‎11.某市国庆节天假期的楼房认购量(单位:套)与成交量(单位:套)的折线图如图所示,小明同学根据折线图对这天的认购量与成交量作出如下判断:①日成交量的中位数是;②日成交量超过日平均成交量的有天;③认购量与日期正相关;④月日认购量的增量大于月日成交量的增量.上述判断中错误的个数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知,为双曲线的左,右焦点,点为双曲线右支上一点,直线与圆相切,且,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.向量,,若,则 .‎ ‎14.在集合中随机取一个元素,在集合中随机取一个元素,得到点,则事件“点在直线上”的概率为 .‎ ‎15.若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率之积为,则 .‎ ‎16.已知,函数若对任意,恒成立,则的取值范围是 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 已知等差数列满足,前项和.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设等比数列满足,,求的前项和.‎ ‎18. 在中,角,,所对的边分别是,,,已知且.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,延长至,使,且,求的面积.‎ ‎19. 市积极倡导学生参与绿色环保活动,其中代号为“环保卫士-”的绿色环保活动小组对年月-年月(一月)内空气质量指数进行监测,如表是在这一年随机抽取的天的统计结果:‎ 指数 空气质量 优 良 轻微污染 轻微污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎(Ⅰ)若市某企业每天由空气污染造成的经济损失(单位:元)与空气质量指数(记为)的关系为:,在这一年内随机抽取一天,估计该天经济损失元的概率;‎ ‎(Ⅱ)若本次抽取的样本数据有天是在供暖季节,其中有天为重度污染,完成列联表,并判断是否有的把握认为市本年度空气重度污染与供暖有关?‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 非供暖季 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎100‎ 下面临界值表供参考.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式:.‎ ‎20. 如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,和均为等边三角形,且平面平面,点为中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)若的面积为,求三棱锥的体积.‎ ‎21. 如图所示,在直角坐标系中,点到抛物线 的准线的距离为.点是上的定点,,是上的两动点,且线段的中点在直线上.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程及的值;‎ ‎(Ⅱ)记,求的最大值.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若曲线上点处的切线过点,求函数的单调减区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数在上无零点,求的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DACAD 6-10:BABCD 11、12:CC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 【解析】(Ⅰ)设的公差为,则由已知条件得,,‎ 化简得,,解得,,‎ 故的通项公式,即.‎ ‎(Ⅱ)由(1)得,.设的公比为,则,从而,‎ 故的前项和.‎ ‎18.【解析】(Ⅰ)由正弦定理得,,‎ ‎∵,∴,又,∴.‎ ‎(Ⅱ)设,则,在中,由余弦定理得 ‎,‎ 求得,即,‎ 在中,的面积.‎ ‎19.【解析】(Ⅰ)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失元”为事件 ‎.‎ 由,得,频数为,‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ)根据以上数据得到如表:‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 合计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 的观测值 所以有的把握认为市本年度空气重度污染与供暖有关.‎ ‎20.【解析】(1)取的中点,连接,;取的中点,连接,‎ 因为是正三角形,所以.‎ 因为,所以四边形为矩形,‎ 从而,.‎ 因为为的中位线,‎ 所以,,即,,‎ 所以四边形是平行四边形,从而,‎ 又面,所以面.‎ ‎(2)取的中点,连接,则.‎ 过点作交于.‎ 因为,面面,面面 所以面.又因为面,所以.‎ 又因为,,面,.‎ 所以面,又因为面,所以.‎ 由于为中点,易知.‎ 设,则的面积为,‎ 解得,从而,.‎ ‎.‎ ‎21.【解析】(1)的准线为,∴,∴,‎ ‎∴抛物线的方程为.又点在曲线上,∴.‎ ‎(2)由(1)知,点,从而,即点,‎ 依题意,直线的斜率存在,且不为,‎ 设直线的斜率为.且,,‎ 由得,故,‎ 所以直线的方程为,即. 由消去,整理得,‎ 所以,,.‎ 从而.‎ ‎∴,‎ 当且仅当,即时,上式等号成立,‎ 又满足.∴的最大值为.‎ ‎22.【解析】(Ⅰ)∵,‎ ‎∴,∴,‎ 又,∴,解得:,‎ 由,解得:,∴函数在递减;‎ ‎(Ⅱ)∵在恒成立不可能,‎ 故要使在无零点,只需任意,恒成立,‎ 即对,恒成立,‎ 令,,则,‎ 再令,,则,‎ 故在递减,于是,‎ 从而,于是在递增,∴,‎ 故要使恒成立,只要,‎ 综上,若函数在上无零点,则的最小值是.‎
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