上海市浦东新区高考数学三模试卷理科Word版含解析

上海市浦东新区高考数学三模试卷理科Word版含解析

‎2016年上海市浦东新区高考数学三模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1．抛物线的准线方程为______．‎ ‎2．计算： =______．‎ ‎3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=______．‎ ‎4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=______．‎ ‎5．关于x方程=0的解为______．‎ ‎6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为______．‎ ‎7．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=______．‎ ‎8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为______．（结果用数值表示）‎ ‎9．圆心是C（a，0）、半径是a的圆的极坐标方程为______．‎ ‎10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为______．‎ ‎11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围______．‎ ‎12．已知函数f（x）=，若对于正数kn（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣knx的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+kn2）=______．‎ ‎13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，an…，满足an+1=f（an），n∈N*，若要使a1，a2，…an，…成等差数列．则a1的取值范围______．‎ ‎14．设整数n≥3，集合P={1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：______．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15．若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎16．设P为双曲线﹣y2=1（a＞0）的上一点，∠F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则△F1PF2的面积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（　　）‎ A． B．2 C．4 D．‎ ‎18．设{an}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{an}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{an}为“封闭等比数列”．给出以下命题：‎ ‎（1）a1=3，q=2，则{an}是“封闭等比数列”；‎ ‎（2）a1=，q=2，则{an}是“封闭等比数列”；‎ ‎（3）若{an}，{bn}都是“封闭等比数列”，则{an•bn}，{an+bn}也都是“封闭等比数列”；‎ ‎（4）不存在{an}，使{an}和{an2}都是“封闭等比数列”；‎ 以上正确的命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．‎ ‎（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；‎ ‎（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．‎ ‎20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．‎ ‎（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；‎ ‎（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．‎ ‎（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．‎ ‎22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．‎ ‎（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；‎ ‎（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当λ为何值时|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；‎ ‎（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y0），求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．‎ ‎23．已知无穷数列{an}满足an+1=p•an+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．‎ ‎（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；‎ ‎（2）若a1=5，p•q=0，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎（3）若a1=2，q=1，且{an}是单调递减数列，求实数p的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年上海市浦东新区高考数学三模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1．抛物线的准线方程为　y=1　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．‎ ‎【解答】解：由，得x2=﹣4y，‎ ‎∴2p=4，即p=2，‎ 则抛物线的准线方程为y==1．‎ 故答案为：y=1．‎ ‎　‎ ‎2．计算： =　1　．‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【分析】先由组合数计算公式，把转化为，进而简化为，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=　6　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据向量数量积的公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵||=2， |=3，且、的夹角为，‎ ‎∴•=||||cos=2×=3，‎ 则|3﹣2|2=9||2﹣12•+4||2=9×4﹣12×3+4×9=36﹣36+36=36，‎ 则|3﹣2|=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】求出复数z+1，然后求解复数的模．‎ ‎【解答】解：在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=|﹣2+i+1|=|﹣1+i|==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．关于x方程=0的解为　x=或x=，k∈Z　．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；二阶矩阵．‎ ‎【分析】由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．‎ ‎【解答】解：由=0，得4sinxcosx﹣1=0，‎ 即sin2x=．‎ ‎∴2x=或x=，‎ 则x=或x=，k∈Z．‎ 故答案为：x=或x=，k∈Z．‎ ‎　‎ ‎6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为　{﹣1，0， }　．‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】先化简集合A，利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论．‎ ‎【解答】解：∵A={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}，‎ ‎∴若B⊆A，‎ 则若a=0，即B=∅时，满足条件B⊆A．‎ 若a≠0，则B={x|ax﹣1=0}={}，‎ 要使B⊆A，则=﹣1或=3，‎ 解得a=﹣1，或a=．‎ 综上a=0或a=﹣1或a=，‎ ‎∴由a的值构成的集合为{﹣1，0， }．‎ 故答案为：{﹣1，0， }．‎ ‎　‎ ‎7．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=　　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】设出等差数列的首项，由=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，则，‎ 由=3，得，即d=4a1，‎ ‎∴=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为　　．（结果用数值表示）‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，‎ 其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，‎ 则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15﹣1=14种，‎ 则其概率为；‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎9．圆心是C（a，0）、半径是a的圆的极坐标方程为　ρ=2acosθ　．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】由已知可得直角坐标方程，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入即可得出极坐标方程．‎ ‎【解答】解：圆心是C（a，0）、半径是a的圆的直角坐标方程为：（x﹣a）2+y2=a2，化为x2+y2﹣2ax=0，‎ 把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得极坐标方程：ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ．‎ 故答案为：ρ=2acosθ．‎ ‎　‎ ‎10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由题意画出图形，连接BD，BD1，可得∠，在底面正方形中，由AB=1，求得BD=，在Rt△D1DB中，解直角三角形求得DD1，求出直角梯形ADD1A1的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 连接BD，BD1，则∠，‎ 在底面正方形中，由AB=1，得BD=，‎ 在Rt△D1DB中，由BD=，∠，‎ 求得，‎ ‎∴A1A=C1C=D=，‎ 则，‎ ‎∴多面体的体积为V=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围　{0}∪[，+∞）　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】联立方程组消元，令方程无解或只有一解得出k的范围．‎ ‎【解答】解：把y=kx+1代入y2=2x得k2x2+（2k﹣2）x+1=0，‎ ‎（1）若k=0，则﹣2x+1=0，方程只有一解，故直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点，符合题意．‎ ‎（2）若k≠0，△=（2k﹣2）2﹣4k2=4﹣8k．‎ ‎∵直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，‎ ‎∴△=4﹣8k≤0，解得k．‎ ‎∴k或k=0．‎ 故答案为：{0}∪[，+∞）．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=，若对于正数kn（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣knx的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+kn2）=　　．‎ ‎【考点】函数的图象；函数零点的判定定理；极限及其运算．‎ ‎【分析】画出函数f（x）=的图象，若g（x）=0，则f（x﹣2）=knx，数形结合可得圆心（2n+1，0）到直线y=knx的距离为1，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：当0≤x＜2时，（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）‎ 其图形是以（1，0）点为圆心以1为半径的上半圆，‎ 当x≥2时，函数f（x）=f（x﹣2）表示函数的周期为2，‎ 故函数f（x）=的图象如下：‎ 若g（x）=0，则f（x﹣2）=knx，‎ 由于g（x）的零点个数为2n+1‎ 则直线y=knx与第n+1个半圆相切，‎ 圆心（2n+1，0）到直线y=knx的距离为1，‎ 即 有k12+k22+k32+…+kn2=．‎ ‎∴（k12+k22+k32+…+kn2）=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，an…，满足an+1=f（an），n∈N*，若要使a1，a2，…an，…成等差数列．则a1的取值范围　{﹣9}∪[﹣3，+∞）　．‎ ‎【考点】数列与函数的综合．‎ ‎【分析】由绝对值的意义可得f（x）的分段函数式，求得对任意n∈N*，an+1﹣an≥1．{an}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥﹣3，再对a1讨论，①当a1＜﹣5时，②若﹣5≤a1＜﹣3，③若a1≥﹣3，结合函数式和等差数列的通项，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当x≥﹣3时，f（x）=3x+15﹣2x﹣6=x+9；‎ 当﹣5≤x＜﹣3时，f（x）=3x+15+2x+6=5x+21；‎ 当x＜﹣5时，f（x）=﹣3x﹣15+2x+6=﹣x﹣9．‎ 当an≥﹣3时，an+1﹣an=9；‎ 当﹣5≤an＜﹣3时，an+1﹣an=4an+21≥4×（﹣5）+21=1；‎ 当an＜﹣5时，an+1﹣an=﹣2an﹣9＞﹣2×（﹣5）﹣9=1．‎ ‎∴对任意n∈N*，an+1﹣an≥1．‎ 即an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．‎ 又{an}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥﹣3，‎ 从而an+1=f（an）=an+9，由于{an}为等差数列，‎ 因此公差d=9．‎ ‎①当a1＜﹣5时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣9，‎ 又a2=a1+d=a1+9，故﹣a1﹣9=a1+9，即a1=﹣9，从而a2=0，‎ 当n≥2时，由于{an}为递增数列，故an≥a2=0＞﹣3，‎ ‎∴an+1=f（an）=an+9，而a2=a1+9，故当a1=﹣9时，{an}为无穷等差数列，符合要求；‎ ‎②若﹣5≤a1＜﹣3，则a2=f（a1）=5a1+21，又a2=a1+d=a1+9，‎ ‎∴5a1+21=a1+9，得a1=﹣3，应舍去；‎ ‎③若a1≥﹣3，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+9，从而{an}为无穷等差数列，符合要求．‎ 综上可知：a1的取值范围为{﹣9}∪[﹣3，+∞）．‎ 故答案为：{﹣9}∪[﹣3，+∞）．‎ ‎　‎ ‎14．设整数n≥3，集合P={1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：　（n﹣2）•2n﹣1+1　．‎ ‎【考点】数列的求和；元素与集合关系的判断．‎ ‎【分析】设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中．由此能求出an．‎ ‎【解答】解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，‎ 则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，‎ 故A的个数为： ++…+=2k﹣1，‎ B中必不含元素1，2，…，k，‎ 另元素k+1，k+2，…，n可在B中，但不能都不在B中，‎ 故B的个数为： ++…+=2n﹣k﹣1，‎ 从而集合对（A，B）的个数为2k﹣1•（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1，‎ ‎∴an=（2n﹣1﹣2k﹣1）‎ ‎=（n﹣1）•2n﹣1﹣‎ ‎=（n﹣2）•2n﹣1+1．‎ 故答案为：（n﹣2）•2n﹣1+1．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15．若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．‎ ‎【分析】利用不等式的性质判断出“a＜b＜0”则有“a2＞b2”，通过举反例得到“a2＞b2”成立推不出“a＜b＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．‎ ‎【解答】解：若“a＜b＜0”则有“a2＞b2”‎ 反之则不成立，例如a=﹣2，b=1满足“a2＞b2”但不满足“a＜b＜0”‎ ‎∴“a＜b＜0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎16．设P为双曲线﹣y2=1（a＞0）的上一点，∠F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则△F1PF2的面积等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先利用双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，利用余弦定理求出|PF1|•|PF2|的值，结合三角形的面积公式即可求出△F1PF2的面积．‎ ‎【解答】解：∵双曲线方程﹣y2=1（a＞0），‎ ‎∴b=1，不妨设P是双曲线的右支上的一个点，‎ 则由双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，‎ ‎∵，∠F1PF2=，‎ ‎∴4c2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos=|PF1|2+|PF2|2+|PF1|•|PF2|‎ ‎=（|PF1|﹣|PF2|）2+3|PF1|•|PF2|，‎ 即4c2=4a2+3|PF1|•|PF2|，‎ 即3|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2=4，‎ 则|PF1|•|PF2|=，‎ ‎∴=|PF1|•|PF2|sin=××=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（　　）‎ A． B．2 C．4 D．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】求出圆锥的母线和底面半径，设截面在圆锥底面的轨迹AB=a，（0＜a≤2r），用a表示出截面的面积，利用基本不等式求出截面的面积最大值．‎ ‎【解答】解：圆锥的母线长l=2，设圆锥的底面半径为r，‎ 则2πr=2×=．∴r=．‎ 设截面在圆锥底面的轨迹AB=a（0＜a≤）．‎ 则截面等腰三角形的高h==．‎ ‎∴截面面积S===≤=2．‎ 当且仅当即a=2时取等号．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎18．设{an}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{an}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{an}为“封闭等比数列”．给出以下命题：‎ ‎（1）a1=3，q=2，则{an}是“封闭等比数列”；‎ ‎（2）a1=，q=2，则{an}是“封闭等比数列”；‎ ‎（3）若{an}，{bn}都是“封闭等比数列”，则{an•bn}，{an+bn}也都是“封闭等比数列”；‎ ‎（4）不存在{an}，使{an}和{an2}都是“封闭等比数列”；‎ 以上正确的命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）求出，由a1•a2∉{an}，知（1）错误；（2）由，推导出命题（2）正确；（3）不是“封闭等比数列”；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”．‎ ‎【解答】解：（1）∵{an}是a1=3，q=2的等比数列，‎ ‎∴，‎ 由题意得a1•a2=3×6=18∉{an}，故命题（1）错误；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，故命题（2）正确；‎ ‎（3）若都为“封闭等比数列”，‎ 则不是“封闭等比数列”，故命题（3）错误；‎ ‎（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”，故命题（4）错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．‎ ‎（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；‎ ‎（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）转换底面，代入体积公式计算；‎ ‎（2）利用线线垂直证明AF⊥平面PBC，即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．‎ ‎∴，…‎ ‎∴…‎ ‎（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，‎ 又∵PA=AB=1，且点F是PB的中点，‎ ‎∴AF⊥PB…‎ 又PA⊥BC，BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，‎ 又AF⊂平面PAB，∴BC⊥AF…‎ 由AF⊥平面PBC，又∵PE⊂平面PBC ‎∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…‎ ‎　‎ ‎20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．‎ ‎（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；‎ ‎（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得，即可得解．‎ ‎（2）利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=（x﹣100）2+30000，根据二次函数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值．‎ ‎【解答】（本题满分为14分）‎ 解：（1）因为：AP=x，AQ=y且x+y=200，…2分 所以：．…4分 当且仅当x=y=100时，等号成立．‎ 所以：当x=y=100米时，平方米． …6分 ‎（2）因为：PQ2=x2+y2﹣2xycos120°‎ ‎=x2+y2+xy…8分 ‎=x2+2+x ‎=x2﹣200x+40000‎ ‎=（x﹣100）2+30000．…10分 所以：当x=100米，线段米，此时，y=100米．…12分 答：（1）当AP=AQ=100米时，游客体验活动区APQ的面积最大为平方米．‎ ‎（2）当AP=AQ=100米时，线段|PQ|最小为．…14分．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．‎ ‎（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】（1）把不等式f（x）＞0恒成立转化为ax2﹣+1＞0恒成立，分离参数a后得到a，求出不等式右边在[1，2）上的最大值得答案；‎ ‎（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，利用单调性求出f（x）的最小值，再分段求出g（x）的最小值，列关于a的不等式组求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）＞0⇔ax2﹣+1＞0⇒a在x∈[1，2）上恒成立，‎ ‎∵x∈[1，2），∴x2∈[1，4），∈[，），则∈[﹣2，），‎ ‎∴a，‎ 则a的取值范围是[）；‎ ‎（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，‎ 等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，‎ 当a＞0时，函数f（x）在[1，2]上单调递增，∴，‎ ‎，‎ 故①，或②或③．‎ 解①得，a∈∅；解②得，a∈∅；解③得1≤a≤4．‎ 综上，a的取值范围为[1，4]．‎ ‎　‎ ‎22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．‎ ‎（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；‎ ‎（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当λ为何值时|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；‎ ‎（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y0），求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）运用“相似椭圆”的定义，讨论s＞2，0＜s＜2，列出等式，解方程可得s；‎ ‎（2）求得A，D的坐标，可得直线l1与直线l2的方程，代入椭圆G的方程，运用判别式为0，求得|k1|，|k2|，再由基本不等式即可得到所求最小值；‎ ‎（3）求得椭圆H的方程，设出椭圆H上的任意一点C（x0，y0），代入椭圆H的方程；设△ABC的垂心M的坐标为（xM，yM），运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，化简整理，可得M的坐标，代入椭圆E的方程即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）显然椭圆E的方程为=1，‎ 由椭圆E与F相似易得：‎ 当s＞2时⇒s=4；‎ 当0＜s＜2时⇒s=1．‎ 则s=4或1；‎ ‎（2）易得，‎ 可得l1、l2的方程分别为、y=k2x+1，‎ 依题意联立： ⇒（1+2k12）x2+4k12x+4k12﹣2λ=0，‎ 又直线l1与椭圆G相切，则△1=0（又0＜λ＜1），即32k14﹣4（1+2k12）（4k12﹣2λ）=0，‎ 即|k1|=，‎ 依题意再联立： ⇒（1+2k22）x2+4k2x+2﹣2λ=0，‎ 又直线l2与椭圆G相切则△2=0（又0＜λ＜1），即16k22﹣4（1+2k22）（2﹣2λ）=0，‎ 即|k2|=，‎ 故|k1k2|=，‎ 即|k1|+|k2|≥2，当且仅当|k1|=|k2|时取到等号，此时λ=，‎ 所以当λ=时|k1|+|k2|取得最小值； ‎ ‎（3）证明：显然椭圆E： =1，由=，可得t=4，‎ 即有椭圆H： =1． ‎ 由椭圆H上的任意一点C（x0，y0），于是=1①‎ 设△ABC的垂心M的坐标为（xM，yM），‎ 由CM⊥AB得xM=x0，‎ 又AM⊥BC⇒=﹣1，‎ 将xM=x0代入=﹣1，得x02=2﹣y0yM②‎ 由①②得y0=2yM．‎ 又x0=xM代入（1）得2=1，‎ 即△ABC的垂心M在椭圆E上．‎ ‎　‎ ‎23．已知无穷数列{an}满足an+1=p•an+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．‎ ‎（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；‎ ‎（2）若a1=5，p•q=0，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎（3）若a1=2，q=1，且{an}是单调递减数列，求实数p的取值范围．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）a3==+，解得a2=或，进而解得a1．‎ ‎（2）对p，q分类讨论，对n分类讨论，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎（3）由题意，an＞0，由a1=2，可得，解得，若数列{an}是单调递减数列，则，可得，可得：对于任意自然数n，恒成立．由，由，解得．下面证明：当时，数列{an}是单调递减数列．通过作差即可证明．‎ ‎【解答】解：（1）∵a3==+，解得a2=或，‎ 当时，，解得a1=1或4，‎ 当时，无解．‎ ‎∴a1=1或4．‎ ‎（2）若p=0，q≠0，．∴，‎ ‎∴当n为奇数时，；‎ 当n为偶数时，．‎ 若p≠0，q=0时，an+1=p•an，‎ ‎∴．‎ ‎（3）由题意，an＞0，‎ 由a1=2，可得，解得，‎ 若数列{an}是单调递减数列，则，可得，‎ 又有①‎ ‎∵，∴，即．‎ 由①可知，，‎ ‎∴，‎ ‎∴②‎ ‎∴对于任意自然数n，恒成立．‎ ‎∵，由，解得．‎ 下面证明：当时，数列{an}是单调递减数列．‎ 当时，可得③‎ 由和，‎ 两式相减得，‎ ‎∵成立，则有an•an﹣1＞4p 当时，，即④，‎ 由③④可知，当an＜an﹣1时，恒有an+1＜an，‎ 对于任意的自然数n，an+1＜an恒成立．‎ ‎∴实数p的取值范围是：．‎ ‎　‎