南京市中考数学试题及解析

南京市中考数学试题及解析

‎2012年南京市中考数学试卷 ‎（本试卷满分120分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）‎ ‎1、（2012江苏南京2分）下列四个数中，负数是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】实数的运算，正数和负数，绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根。‎ ‎【分析】根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解：‎ A、|-2|=2，是正数，故本选项错误；B、=4，是正数，故本选项错误；‎ C、 ＜0，是负数，故本选项正确；D、=2，是正数，故本选项错误。‎ 故选C。‎ ‎2、（2012江苏南京2分）PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025 m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】科学记数法。‎ ‎【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。0.0000025第一个有效数字前有6个0，从而0.0000025=。故选C。‎ ‎3、（2012江苏南京2分）计算的结果是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】整式的除法，幂的乘方，同底幂的除法。‎ ‎【分析】根据幂的乘方首先进行化简，再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答案：‎ ‎ ，故选B。‎ ‎4、（2012江苏南京2分）12的负的平方根介于【 】‎ A. -5和-4之间 B. -4与-3之间 C. -3与-2之间 D. -2与-1之间 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】估算无理数的大小，不等式的性质。‎ ‎【分析】∵9 ＜ 12 ＜ 16，∴。∴，即。故选B。‎ ‎5、（2012江苏南京2分）若反比例函数与一次函数的图像没有交点，则的值可以是【 】‎ A. -2 B. -1 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式。‎ ‎【分析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可：‎ ‎∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点，‎ ‎∴无解，即无解，整理得x2+2x-k=0，‎ ‎∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。‎ 四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件。故选A。‎ ‎6、（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）‎ ‎7、（2012江苏南京2分）使有意义的的取值范围是 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件。‎ ‎【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须,即。‎ ‎8、（2012江苏南京2分）计算的结果是 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分母有理化。‎ ‎【分析】分子分母同时乘以 即可进行分母有理化：。‎ ‎9、（2012江苏南京2分）方程的解是 ▲ ‎ ‎【答案】x=6。‎ ‎【考点】解分式方程。‎ ‎【分析】方程最简公分母为：。故方程两边乘以，化为整式方程后求解，并代入检验即可得出方程的根：‎ ‎ 去分母得：3（x－2）－2x=0，‎ 去括号得：3x-6-2x=0，‎ 整理得：x=6，‎ 经检验得x=6是方程的根。‎ ‎10、（2012江苏南京2分）如图，、、、是五边形ABCDE的4个外角，若，则 ▲ ‎ ‎【答案】300。‎ ‎【考点】多边形外角性质，补角定义。‎ ‎【分析】由题意得，∠A的外角=180°－∠A=60°，‎ 又∵多边形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠A的外角=300°。‎ ‎11、（2012江苏南京2分）已知一次函数的图像经过点（2，3），则的值为 ▲ ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（2，3）代入，得 ‎ ，解得，k=2。‎ ‎12、（2012江苏南京2分）已知下列函数 ① ② ③，其中，图象通过平移可以得到函数的图像的有 ▲ （填写所有正确选项的序号）‎ ‎【答案】①③。‎ ‎【考点】二次函数图象与平移变换。‎ ‎【分析】把原式化为顶点式的形式，根据函数图象平移的法则进行解答：‎ ‎ ∵‎ ‎∴由函数图象平移的法则可知，进行如下平移变换 ‎①，故①正确。‎ ‎②的图象开口向上， ‎ 的图象开口向下，不能通过平移得到，故②错误。‎ ‎③，，故③正确。‎ ‎∴图象通过平移可以得到函数的图像的有①，③。‎ ‎13、（2012江苏南京2分）某公司全体员工年薪的具体情况如下表：‎ 年薪/万元 ‎30‎ ‎14‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3.5‎ ‎3‎ 员工数/人 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎2‎ 则所有员工的年薪的平均数比中位数多 ▲ 万元。‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】中位数，加权平均数。‎ ‎【分析】根据加权平均数的定义求出员工的工资平均数：‎ ‎（30+14+9+6×2+4×7+3.5×6+3×2）÷20 =120÷20 =6。‎ 中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。因此这20个员工的年薪的中位数是第10和11人的工资的平均数，工资均为4，∴中位数为：4。‎ ‎∴该公司全体员工年薪的平均数比中位数多6－4=2万元。‎ ‎14、（2012江苏南京2分）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 ▲ cm ‎（结果精确到0.1 cm，参考数据：，，）‎ ‎【答案】2.7。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E。‎ 在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm。‎ ‎∴CE=BD=2cm。‎ 在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，‎ ‎∵，∴OE≈2.7cm。‎ ‎∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm。‎ ‎15、（2012江苏南京2分）如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=6cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE= ▲ cm ‎【答案】2.5。‎ ‎【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，CD=5cm，‎ ‎∴BC=AD=10cm，AD∥BC，∴∠2=∠3。‎ ‎∵BE=BC，CE=CD，‎ ‎∴BE=BC=10cm，CE=CD=5cm，∠1=∠2，∠3=∠D。‎ ‎∴∠1=∠2=∠3=∠D。∴△BCE∽△CDE。∴，即，解得DE=2.5cm。‎ ‎16、（2012江苏南京2分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’，则点A的对应点A’的坐标是 ▲ ‎ ‎【答案】（16，）。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】先由△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），求得点A的坐标；再寻找规律，求出点A的对应点A′的坐标：‎ ‎ 如图，作BC的中垂线交BC于点D，则 ‎ ∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），‎ ‎ ∴BD=1，。∴A（—2，）。‎ ‎ 根据题意，可得规律：第n次变换后的点A的对应点的坐标：当n为奇数时为（2n－2，），当n为偶数时为（2n－2， ）。‎ ‎ ∴把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是：（16，）。‎ 三、解答题（本大题共11题，共88分）‎ ‎17、（2012江苏南京6分）解方程组 ‎【答案】解： ，‎ ‎ 由①得x=－3y－1③，‎ 将③代入②，得3（－3y－1）－2y=8，解得：y=－1。‎ 将y=－1代入③，得x=2。‎ ‎∴原方程组的解是 。‎ ‎【考点】解二元一次方程组。‎ ‎【分析】解二元一次方程组的解题思想是用代入法或加减法消元，化为一元一次方程求解。本题易用代入法求解。先由①表示出x，然后将x的值代入②，可得出y的值，再代入①可得出x的值，继而得出了方程组的解。‎ ‎18、（2012江苏南京9分）化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号。‎ ‎19、（2012江苏南京8分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BEAC，与BD的垂线DE交于点E，‎ ‎（1）求证：△ABC≌△BDE ‎（2）三角形BDE可由三角形ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎20、（2012江苏南京8分）某中学七年级学生共450人，其中男生250人，女生200人。该校对七年级所有学生进行了一次体育测试，并随即抽取了50名男生和40名女生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：‎ 成绩 划记 频数 百分比 不及格 ‎9‎ ‎10%‎ 及格 ‎18‎ ‎20%‎ 良好 ‎36‎ ‎40%‎ 优秀 ‎27‎ ‎30%‎ 合计 ‎90‎ ‎90‎ ‎100%‎ ‎（1）请解释“随即抽取了50名男生和40名女生”的合理性；‎ ‎（2）从上表的“频数”、“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；‎ ‎（3）估计该校七年级学生体育测试成绩不合格的人数。‎ ‎【答案】解：（1）∵（人），（人），‎ ‎ ∴该校从七年级学生中随机抽取90名学生，应当抽取50名男生和40名女生。‎ ‎（2）选择扇形统计图，表示各种情况的百分比，图形如下：‎ ‎（3）450×10%=45（人）。‎ 答：估计该校七年级学生体育测试成绩不及格45人．‎ ‎【考点】频数（率）分布表，抽样调查的可靠性，频数、频率和总量的关系，用样本估计总体，扇形统计图或条形统计图。‎ ‎【分析】（1）所抽取男生和女生的数量应该按照比例进行，根据这一点进行说明即可。‎ ‎（2）可选择扇形统计图，表示出各种情况的百分比，也可选择条形统计图，答案不唯一。‎ ‎（3）根据用样本估计总体的方法即可得出答案。‎ ‎21、（2012江苏南京7分）甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛，求下列事件的概率。‎ ‎（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学；‎ ‎（2）随机选取2名同学，其中有乙同学.‎ ‎【答案】解：（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是。‎ ‎（2）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学，所有等可能出现的结果有：（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、丙）、（乙、丁）、（丙、丁），共有6种，‎ 所有的结果中，满足“随机选取2名同学，其中有乙同学”（记为事件A）的结果有3种：（甲、乙）、（乙、丙）、（乙、丁）。‎ ‎∴P（A）=。‎ ‎【考点】列举法，概率。‎ ‎【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案。‎ ‎（2）先用列举法求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率。‎ ‎22、（2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 ‎（1）求证：四边形EFGH为正方形；‎ ‎（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。‎ ‎【答案】（1）证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。‎ 同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。‎ ‎∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。‎ ‎∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。‎ 设AC与EH交于点M，‎ 在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。‎ 又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。‎ ‎∴四边形EFGH是正方形。‎ ‎（2）解：连接EG。‎ 在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，‎ ‎∴。‎ 在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，‎ ‎∴，即四边形EFGH的面积为。‎ ‎【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断。‎ ‎（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出 ，也即得出了正方形EHGF的面积。‎ ‎23、（2012江苏南京7分）看图说故事。‎ 请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系式，要求：①指出x和y的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需设计“速度”这个量 ‎【答案】解： ①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y（单位：km）与他所用的时间x（单位：min）的关系。‎ ‎②小明以400m/min的速度匀速骑了5min，在原地休息了6min，然后以500m/min的速度匀速骑车回出发地。（本题答案不唯一） ‎ ‎【考点】开放型问题，函数的图象。‎ ‎【分析】①结合实际意义得到变量x和y的含义；②由于函数须涉及“速度”这个量，只要叙述清楚时间及相应的路程，体现出函数的变化即可。‎ ‎24、（2012江苏南京8分）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在和扇形中，与、分别相切于A、B，，E、F事直线与、扇形的两个交点，EF=24cm，设的半径为x cm，‎ ‎① 用含x的代数式表示扇形的半径；‎ ‎② 若和扇形两个区域的制作成本分别为0.45元和0.06元，当的半径为多少时，该玩具成本最小？‎ ‎【答案】解：（1）连接O1A。‎ ‎ ∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B，‎ ‎∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D。‎ ‎∵，∴∠AO2O1=∠CO2D=30°。‎ 在Rt△O1AO2中，，∴O1O2=A O1 sin∠AO2O1 =x sin30° =2x。‎ ‎∵EF=24cm，∴FO2=EF－EO1－O1O2=24－3x，即扇形O2CD的半径为 ‎（24－3x）cm。‎ ‎（2）设该玩具的制作成本为y元，则 ‎。‎ ‎∴当x=4时，y的值最小。‎ 答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小。 ‎ ‎【考点】切线的性质，锐角三角函数定义，扇形面积的计算，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）连接O1A．由切线的性质知∠AO2O1=∠CO2D=30°；然后在Rt△O1AO2中利用锐角三角函数的定义求得O1O2=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2。‎ ‎（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本。‎ ‎25、（2012江苏南京8分）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元。‎ ‎① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元；‎ ‎② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）‎ ‎【答案】解：（1）26.8。 （2）设需要售出x部汽车，‎ 由题意可知，每部汽车的销售利润为：28－[27－0.1（x－1）]=（0.1x＋0.9）（万元），‎ 当0≤x≤10，根据题意，得x·（0.1x＋0.9）＋0.5x=12，整理，得x2＋14x－120=0，‎ 解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=6。‎ 当x＞10时，根据题意，得x·（0.1x＋0.9）＋x=12，整理，得x2＋19x－120=0，‎ 解这个方程，得x1=－24（不合题意，舍去），x2=5。‎ ‎∵5＜10，∴x2=5舍去。‎ 答：要卖出6部汽车。‎ ‎【考点】一元二次方程的应用。‎ ‎【分析】（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27－0.1×2=26.8。，‎ ‎（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可。‎ ‎26、（（2012江苏南京9分）“？”的思考 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。‎ 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？‎ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，‎ 根据题意，得x•2x=288．‎ 解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12‎ 所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）‎ 答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．‎ ‎？‎ 我的结果也正确 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打开了一个“？”‎ 结果为何正确呢？‎ ‎（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：‎ 变化一下会怎样…… ‎ ‎（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由。‎ 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：‎ 设温室的宽为ym，则长为2ym。‎ 则矩形蔬菜种植区域的宽为（y－1－1）m，长为（2y－3－1）m。‎ ‎∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1。‎ ‎（2）a+c b+d =2。理由如下：‎ 要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，‎ 即 ，即a+c b+d =2。‎ ‎【考点】一元二次方程的应用（几何问题），相似多边形的性质，比例的性质。‎ ‎【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。‎ ‎（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得 ，然后利用比例的性质。‎ ‎27、（2012江苏南京10分）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。‎ ‎（1）已知∠APB是上关于点A、B的滑动角。‎ ‎① 若AB为⊙O的直径，则∠APB= ‎ ‎② 若⊙O半径为1，AB=，求∠APB的度数 ‎（2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，∠APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。‎ ‎【答案】解：（1）①900。‎ ‎②如图，连接AB、OA、OB．‎ 在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2。‎ ‎∴∠AOB=90°。‎ 当点P在优弧 AB 上时（如图1），∠APB=∠AOB=45°；‎ 当点P在劣弧 AB 上时（如图2），‎ ‎∠APB=（360°－∠AOB）=135°。‎ ‎（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．‎ 第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，‎ ‎∵∠MAN=∠APB+∠ANB，‎ ‎∴∠APB=∠MAN-∠ANB。‎ 第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，‎ ‎∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°－∠ANB），‎ ‎∴∠APB=∠MAN+∠ANB－180°。‎ 第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，‎ ‎∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，‎ ‎∴∠APB=180°－∠MAN－∠ANB。‎ 第四种情况：点P在⊙O2内，如图6，‎ ‎∠APB=∠MAN+∠ANB。‎ ‎【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。‎ ‎【分析】（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。‎ ‎②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论即可。‎ ‎（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。‎