2020届高考数学一轮复习（课时训练·文）第3章 导数及其应用14
【课时训练】导数与函数的综合问题
一、选择题
1．(2018江苏丹阳高中模拟)某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝ 则总利润最大时，年产量是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
【答案】D
【解析】由题意，得设总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100 x，总利润P(x)＝
又P′(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．
2．(2018海南中学期末)设f(x)是定义在R内的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,0)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
【答案】D
【解析】当x>0时，′<0，∴φ(x)＝在(0，＋∞)内为减函数．又φ(2)＝0，
∴当且仅当0
0，此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．
故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．
3．(2018河北故城模拟)若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(－∞，－20]
C．(－∞，0] D．[－12,7]
【答案】B
【解析】令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f ′(x)＝3x2－6x－9，令f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝3(舍去)．
∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20，
∴f(x)的最小值为f(2)＝－20.故m≤－20.
4．(2018贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：
x
－1
0
2
3
4
f(x)
1
2
0
2
0
f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示．当1ex－2的解集为( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
【答案】D
【解析】设函数g(x)＝，则g′(x)＝<0，∴g(x)在R上单调递减，不等式f(x)>ex－2可转化为>.
∵g(2)＝＝，∴>，
∴x＜2，∴x∈(－∞，2)．故选D.
二、填空题
6．(2018襄阳四校联考)某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．
【答案】40
【解析】由y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，由于当040时，y′>0.
所以当x＝40时，y有最小值．
7．(2018长沙调研)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f ′(x)，满足f(x)>f ′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为________．
【答案】(0，＋∞)
【解析】构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝.
由题意，得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R内单调递减．
又g(0)＝＝1，所以<1，即g(x)0.所以不等式的解集为(0，＋∞)．
三、解答题
8．(2018昆明一中月考)已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)证明：当x>1时，f(x)0，得
解得01时，F(x)1时，f(x)1时，f(x)0时，解不等式f(x)≤0；
(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解．
【解】(1)因为ex>0，(ax2＋x)ex≤0，所以ax2＋x≤0.又因为a>0，所以不等式化为x≤0.所以不等式f(x)≤0的解集为.
(2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，
由于ex>0，所以x＝0不是方程的解．
所以原方程等价于ex－－1＝0.令h(x)＝ex－－1，
因为h′(x)＝ex＋>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，
所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数．
又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，
h(－3)＝e－3－<0，h(－2)＝e－2>0，
所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上．所以整数t的所有值为{－3,1}．
