宁夏石嘴山市2020届高三模拟数学（文）试题

宁夏石嘴山市2020届高三模拟数学（文）试题

‎2020年高考（文科）数学二模试卷 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（　　）‎ A．（2，3） B．（0，3） C．（1，2） D．（0，1）‎ ‎2．设复数z满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（　　）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎3．Sn为等差数列{an}的前n项和，若S15＝0，则a8＝（　　）‎ A．﹣1 B．‎0 ‎C．1 D．2‎ ‎4．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（　　）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” ‎ B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” ‎ C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” ‎ D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎5．已知向量，满足||＝1，||＝，且，夹角为，则（+）•（2﹣）＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若α⊥β，则m∥β B．若α⊥β，则m⊥β ‎ C．若m∥β，则α∥β D．若m⊥β，则α⊥β ‎8．函数y＝xcosx+sinx的图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．要得到函数的图象，可将y＝2sin2x的图象向左平移（　　）‎ A．个单位 B．个单位 C．个单位 D．个单位 ‎10．数学老师给出一个定义在R上的函数f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：‎ 甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增；‎ 丙：函数f（x）的图象关于直线x＝1对称；丁：f（0）不是函数的最小值．‎ 老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎11．若双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被曲线x2+y2﹣4x+2＝0所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数f（x）＝，函数F（x）＝f（x）﹣b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足：x1＜x2＜x3＜x4，则的值是（　　）‎ A．﹣4 B．﹣‎3 ‎C．﹣2 D．﹣1‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知等比数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a5＝　 　．‎ ‎14．若实数x，y满足不等式组则目标函数z＝3x﹣y的最大值为　 　．‎ ‎15．曲线f（x）＝x+lnx在x＝1处的切线方程是　 　．‎ ‎16．已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，若PC＝BC＝，AB＝2，PA与平面ABC所成线面角的正弦值为，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为　 　．‎ 三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.‎ ‎17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且＝2csinA ‎（1）确定角C的大小；‎ ‎（2）若c＝，且△ABC的面积为，求a+b的值．‎ ‎18．南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如表：‎ 分组 ‎[0，30）‎ ‎[30，60）‎ ‎[60，90）‎ ‎[90，120）‎ ‎[120，150）‎ ‎[150，180]‎ 男生人数 ‎2‎ ‎16‎ ‎19‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎3‎ 女生人数 ‎3‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”．‎ ‎（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少？‎ ‎（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动．‎ ‎①求男生和女生各抽取了多少人；‎ ‎②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率．‎ ‎19．如图，三棱柱A1B‎1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；‎ ‎（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且CF＝2FC1，求A1到平面ABF的距离．‎ ‎20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距是2，长轴长为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）A，B是椭圆C的左右顶点，过点F（﹣，0）作直线l交椭圆C于M，N两点，若△MAB的面积是△NAB面积的2倍，求直线l的方程．‎ ‎21．已知函数f（x）＝lnx﹣mx2，g（x）＝mx2+x（m∈R），令F（x）＝f（x）+g（x）．‎ ‎（1）当m＝时，求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t≠0，a∈[0，π）），曲线C2的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝4cosθ．‎ ‎（1）求C2的普通方程及C3的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线C1与曲线C‎2C3分别交于点A，B，求|AB|的最大值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．‎ ‎（1）若a＝﹣1，求不等式f（x）+1＞0的解集；‎ ‎（2）已知a＞0，若f（x）+‎3a＞2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．‎ ‎1．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}，则A∩B＝（　　）‎ A．（2，3） B．（0，3） C．（1，2） D．（0，1）‎ ‎【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ 解：集合A＝{x|0＜x＜3}＝（0，3），B＝{x|log2x＞1}＝（2，+∞），则A∩B＝（2，3），‎ 故选：A．‎ ‎2．设复数z满足（1+i）z＝3+i，则|z|＝（　　）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．‎ 解：由（1+i）z＝3+i，得z＝，‎ ‎∴|z|＝．‎ 故选：D．‎ ‎3．Sn为等差数列{an}的前n项和，若S15＝0，则a8＝（　　）‎ A．﹣1 B．‎0 ‎C．1 D．2‎ ‎【分析】根据等差数列的性质和求和公式即可求出．‎ 解：Sn为等差数列{an}的前n项和，S15＝＝‎15a8＝0，‎ 则a8＝0，‎ 故选：B．‎ ‎4．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（　　）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” ‎ B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” ‎ C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” ‎ D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎【分析】通过计算得到统计量值k2的观测值k，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论．‎ 解：∵计算得到统计量值k2的观测值k≈4.892＞3.841，‎ 参照题目中的数值表，得到正确的结论是：‎ 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”．‎ 故选：C．‎ ‎5．已知向量，满足||＝1，||＝，且，夹角为，则（+）•（2﹣）＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】按照多项式乘多项式展开后利用数量积的性质可得．‎ 解：（+）•（2﹣）＝22﹣2+•＝2﹣3+1×＝‎ 故选：A．‎ ‎6．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设圆锥底面圆的半径r，高h，写出底面周长L，写出圆锥体积，代入近似公式即可求出π的近似值．‎ 解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，‎ 依题意，L＝2πr，＝，‎ ‎∴π＝，即π＝．‎ 即π的近似值为．‎ 故选：C．‎ ‎7．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若α⊥β，则m∥β B．若α⊥β，则m⊥β ‎ C．若m∥β，则α∥β D．若m⊥β，则α⊥β ‎【分析】直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．‎ 解：对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．‎ 对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．‎ 对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．‎ 对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．‎ 故选：D．‎ ‎8．函数y＝xcosx+sinx的图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．‎ 解：因为函数y＝xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，‎ 由当x＝时，，‎ 当x＝π时，y＝π×cosπ+sinπ＝﹣π＜0．‎ 由此可排除选项A和选项C．‎ 故正确的选项为D．‎ 故选：D．‎ ‎9．要得到函数的图象，可将y＝2sin2x的图象向左平移（　　）‎ A．个单位 B．个单位 C．个单位 D．个单位 ‎【分析】根据两角和差的正弦公式求得 f（x）的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ 解：由于函数f（x）＝sin2x+cos2x＝2（sin2x+cos2x）＝2sin（2x+）＝2sin[2（x+）]，‎ 故将y＝2sin2x的图象向左平移个单位，可得 f（x）＝2sin（2x+）的图象，‎ 故选：A．‎ ‎10．数学老师给出一个定义在R上的函数f（x），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：‎ 甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增；‎ 丙：函数f（x）的图象关于直线x＝1对称；丁：f（0）不是函数的最小值．‎ 老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【分析】如果甲乙正确，那么丙丁都是错的，与题干矛盾；根据函数图象的性质，乙丙不会同时成立，故乙的说法错误 解：假设甲，乙两个同学回答正确，‎ ‎∵在[0，+∞）上函数单调递增；∴丙说“在定义域R上函数的图象关于直线x＝1对称”错误．‎ 此时f（0）是函数的最小值，∴丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾．‎ ‎∴只有乙回答错误．‎ 故选：B．‎ ‎11．若双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被曲线x2+y2﹣4x+2＝0所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．‎ 解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，‎ 圆x2+y2﹣4x+2＝0即为（x﹣2）2+y2＝2的圆心（2，0），半径为，‎ 双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣4x+2＝0所截得的弦长为2，‎ 可得圆心到直线的距离为：＝1＝，，‎ 解得：e＝＝，‎ 故选：B．‎ ‎12．已知函数f（x）＝，函数F（x）＝f（x）﹣b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足：x1＜x2＜x3＜x4，则的值是（　　）‎ A．﹣4 B．﹣‎3 ‎C．﹣2 D．﹣1‎ ‎【分析】根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而求得结论．‎ 解：作出f（x）的函数图象如图所示：‎ 由图象知 x1+x2＝﹣4，x3x4＝1，‎ ‎∴＝＝﹣4．‎ 故的值是﹣4．‎ 故选：A．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知等比数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a5＝　　．‎ ‎【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比q及首项，进而可求．‎ 解：因为a1+a3＝10，a2+a4＝（a1+a3）q＝10q＝5，‎ 所以q＝，‎ ‎∴，‎ 所以a1＝8‎ 则a5＝8×＝．‎ 故答案为：‎ ‎14．若实数x，y满足不等式组则目标函数z＝3x﹣y的最大值为　12　．‎ ‎【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．‎ 解：作出实数x，y满足不等式组可行域如图，由，解得A（4，0）‎ 目标函数y＝3x﹣z，‎ 当y＝3x﹣z过点（4，0）时，z有最大值，且最大值为12．‎ 故答案为：12．‎ ‎15．曲线f（x）＝x+lnx在x＝1处的切线方程是　y＝2x﹣1　．‎ ‎【分析】求出曲线的导函数，把x＝1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，1）和斜率写出切线的方程即可．‎ 解：由函数y＝x+lnx知y′＝1+，‎ 把x＝1代入y′得到切线的斜率k＝1+1＝2‎ 则切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1．‎ 故答案为：y＝2x﹣1‎ ‎16．已知三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，若PC＝BC＝，AB＝2，PA与平面ABC所成线面角的正弦值为，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为　16π　．‎ ‎【分析】根据已知可得AB⊥BC，可得三棱锥P﹣ABC的外接球，即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC、AC、AB的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．‎ 解：∵PC⊥平面ABC，PA与平面ABC所成线面角的正弦值为，∴，⇒PA＝4，‎ 根据勾股定理可得AC＝，‎ 在△ABC中，BC＝，AC＝，AB＝2，则△ABC为直角三角形．‎ 三棱锥P﹣ABC外接球即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，‎ 故2R＝，三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝16π．‎ 故答案为：16π．‎ 三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.‎ ‎17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且＝2csinA ‎（1）确定角C的大小；‎ ‎（2）若c＝，且△ABC的面积为，求a+b的值．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．‎ ‎（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．‎ 解：（1）∵＝2csinA ‎∴正弦定理得，‎ ‎∵A锐角，‎ ‎∴sinA＞0，‎ ‎∴，‎ 又∵C锐角，‎ ‎∴‎ ‎（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC 即7＝a2+b2﹣ab，‎ 又由△ABC的面积得．‎ 即ab＝6，‎ ‎∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25‎ 由于a+b为正，所以a+b＝5．‎ ‎18．南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如表：‎ 分组 ‎[0，30）‎ ‎[30，60）‎ ‎[60，90）‎ ‎[90，120）‎ ‎[120，150）‎ ‎[150，180]‎ 男生人数 ‎2‎ ‎16‎ ‎19‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎3‎ 女生人数 ‎3‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”．‎ ‎（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少？‎ ‎（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动．‎ ‎①求男生和女生各抽取了多少人；‎ ‎②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率．‎ ‎【分析】（1）100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出我校7000名学生中“锻炼达人”的人数．‎ ‎（2）①100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．‎ ‎②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率．‎ 解：（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，‎ 将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为（人）‎ ‎（2）①由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．‎ 从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．‎ ‎②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，‎ 则5人中随机抽取2人的所有结果有：‎ 男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果，‎ 且每种结果发生的可能性相等．‎ 记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，‎ 则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，‎ 故抽取的2人中男生和女生各1人的概率．‎ ‎19．如图，三棱柱A1B‎1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；‎ ‎（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且CF＝2FC1，求A1到平面ABF的距离．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AA1的中点G，连接EG，DG，利用D是棱CC1的中点，G是棱AA1的中点，可得线线平行，从而可得线面平行，进而可得面面平行，即可证明DE∥平面C1BA1；‎ ‎（Ⅱ）连接AF，BF，A‎1F，由已知可得BC⊥平面AA1B，则F到底面AA1B的距离为BC＝1．再求出三角形AA1B与三角形ABF的面积，设A1到平面ABF的距离为h，则由列式求解A1到平面ABF的距离．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：取AA1的中点G，连接EG，DG，‎ ‎∵D是棱CC1的中点，G是棱AA1的中点，‎ ‎∴DG∥A‎1C1，EG∥BA1，‎ ‎∵DG⊄平面C1BA1，C‎1A1⊂平面C1BA1，EG⊄平面C1BA1，BA1⊂平面C1BA1，‎ ‎∴DG∥平面AB‎1C1，BA1∥平面AB‎1C1，‎ 又∵EG∩DG＝G，‎ ‎∴平面DEG∥平面BA‎1C1，‎ ‎∵DE⊂平面DEF ‎∴DE∥平面BA‎1C1；‎ ‎（Ⅱ）解：连接AF，BF，A‎1F，‎ 由已知BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，可得BC⊥平面AA1B，则F到底面AA1B的距离为BC＝1．‎ 又AB＝2，AA1＝BB1＝3，∴．‎ 由CF＝2FC1，得CF＝2，则BF＝，．‎ 设A1到平面ABF的距离为h，则由，‎ 得，则h＝．‎ 故A1到平面ABF的距离．‎ ‎20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距是2，长轴长为4．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）A，B是椭圆C的左右顶点，过点F（﹣，0）作直线l交椭圆C于M，N两点，若△MAB的面积是△NAB面积的2倍，求直线l的方程．‎ ‎【分析】（1）由题意求得a与c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知可得，直线MN与x轴不重合，设直线MN：x＝my﹣，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由面积关系可得M，N的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解m，则直线方程可求．‎ 解：（1）由题意，‎2c＝2，‎2a＝4，则a＝2，c＝．‎ ‎∴b2＝a2﹣c2＝2．‎ ‎∴椭圆C的方程为；‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由已知可得，直线MN与x轴不重合，设直线MN：x＝my﹣．‎ 联立，整理得．‎ ‎△＝‎8m2‎+8（m2+2）＝‎16m2‎+16＞0．‎ ‎，＜0．‎ 由S△MAB＝2S△NAB，得|y1|＝|y2|，即y1＝﹣2y2，‎ 从而．‎ 解得，即m＝．‎ ‎∴直线MN的方程为：x﹣或x+．‎ ‎21．已知函数f（x）＝lnx﹣mx2，g（x）＝mx2+x（m∈R），令F（x）＝f（x）+g（x）．‎ ‎（1）当m＝时，求函数f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值．‎ ‎【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；‎ ‎（2）关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即为lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1≤0恒成立，令h（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1，求得导数，求得单调区间，讨论m的符号，由最大值小于等于0，通过分析即可得到m的最小值．‎ 解：（1）当m＝时，f（x）＝lnx﹣x2，（x＞0），‎ 由f′（x）＝﹣x＝＞0，得 x＜1，又∵x＞0，‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）．‎ ‎（2）关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即为 lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1≤0恒成立，‎ 令h（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1，h′（x）＝﹣mx+1﹣m＝，‎ 当m≤0可得h′（x）＞0恒成立，h（x）递增，无最大值，不成立；‎ 当m＞0时，h′（x）＝，‎ 当x＞，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜，h′（x）＞0，h（x）递增，‎ 则有x＝取得极大值，且为最大值．‎ 由恒成立思想可得ln﹣+≤0，‎ 即为2mlnm≥1，‎ 显然m＝1不成立，m＝2时，4ln2≥1即有24≥e成立．‎ 整数m的最小值为2．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t≠0，a∈[0，π）），曲线C2的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝4cosθ．‎ ‎（1）求C2的普通方程及C3的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线C1与曲线C‎2C3分别交于点A，B，求|AB|的最大值．‎ ‎【分析】（1）由消去参数θ得C2的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ得C3的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．‎ ‎（2）C1的极坐标方程为：θ＝α，C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ，将θ＝α分别代入C2，C3的极坐标方程后利用极径的几何意义可得．‎ 解：（1）由消去参数θ得C2的普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1；‎ 由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ得C3的直角坐标方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．‎ ‎（2）C1的极坐标方程为：θ＝α，C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ 将θ＝α分别代入C2，C3的极坐标方程得：ρA＝2sinα，ρB＝4cosα，‎ ‎∴|AB|＝|ρA﹣ρB|＝|2sinα﹣4cosα|＝|2sin（α+φ）|．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣3|（a∈R）．‎ ‎（1）若a＝﹣1，求不等式f（x）+1＞0的解集；‎ ‎（2）已知a＞0，若f（x）+‎3a＞2对于任意x∈R恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1 ）当a＝﹣1吋，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应不等式的解集；‎ ‎（2）当a＞0吋，利用分段讨论法去掉绝对值，求出对应f（x）的最小值f（x）min，‎ 再解关于a的不等式，从而求出a的取值范围．‎ 解：（1 ）当a＝﹣1吋，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|，‎ 当x≤时，f（x）＝1﹣2x+（x﹣3）＝﹣x﹣2，‎ 不等式f（x）+1＞0化为﹣x﹣2+1＞0，解得x＜﹣1；‎ 当＜x＜3时，f（x）＝2x﹣1+（x﹣3）＝3x﹣4，‎ 不等式f（x）+1＞0化为3x﹣4+1＞0，解得x＞1，取1＜x＜3；‎ ‎ 当x≥3时，f（x）＝2x﹣1﹣（x﹣3）＝x+2，‎ 不等式f（x）+1＞0化为x+2+1＞0，解得x＞﹣3，取x≥3；‎ ‎ 综上所述，不等式f（x）+1＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}；‎ ‎（2）当a＞0吋，若x≤﹣，则f（x）＝﹣2x﹣a+（x﹣3）＝﹣x﹣a﹣3，‎ 此时f（x）min＝f（﹣）＝﹣﹣3，则f（x）+‎3a≥a﹣3＞2，解得a＞2；‎ 若﹣＜x＜3，则f（x）＝2x+a+（x﹣3）＝3x+a﹣3，‎ 此时f（x）＞f（﹣）＝﹣a﹣3，则f（x）+‎3a＞a﹣3＞2，解得a＞2；‎ ‎ 若x≥3，则f（x）＝2x+a﹣（x﹣3）＝x+a+3，‎ 此时f（x）min＝f（3）＝6+a，则f（x）+‎3a≥‎4a+6＞2恒成立；‎ 综上所述，不等式f（x）+‎3a＞2对任意x∈一、选择题恒成立时，a的取值范围是a＞2．‎