2018-2019学年山西省晋中市平遥县第二中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版
山西省晋中市平遥县第二中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试题（理科）
一、选择题
1.物体运动的速度关于时间的方程为v=t4-3,则t=5时的瞬时加速度为( ).
A.5 B.125 C.25 D.625
2.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.曲线y=-在点处的切线方程为( ).
A.y=4x B. y=4x+4 C.y=4x-4 D.y=2x-4
4.函数y=3x-x3的单调递增区间是( ).
A.(0,+∞) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,1)
5.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能是( ).
6.设曲线f(x)=在点处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于( ).
A.-2 B.-1 C. D.2
7.若直线l1:x+ay-1=0与l2:4x-2y+3=0垂直,则积分(x3+sin x-5)dx的值为( ).
A.6+2sin 2 B.-6-2cos 2 C.20 D.-20
8.函数y=xcos x-sin x在下面哪个区间内是增函数( ).
A. B. . C (π,2π) D.(2π,3π)
9.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( ).
A. [-3,+∞) B. [3,+∞) C.(-3,+∞) D.(-∞,-3)
10.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<1,则不等式f(x)
0;
③奇函数f(x)=mx3+(m-1)x2+48(m-2)x+n在区间(-4,4)上单调递减.
其中假命题的序号是 .
三、解答题
17.已知f'(x)是一次函数,x2f'(x)-(2x-1)f(x)=1.求f(x)的解析式.
18.已知直线l:y=4x+a和曲线C:f(x)=x3-2x2+3相切.求实数a的值和切点的坐标.
19.已知函数f(x)=x2-2(a+1) x+2aln x(a>0).
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)≤0在区间[1,e]上恒成立,求实数a的取值范围.
20.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.记余下工程的费用为y万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.
(1)试写出y关于x的函数关系式.
(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
21.已知函数f(x)=ln x+,a为常数.
(1)若a=,求函数f(x)在[1,e]上的值域.(e为自然对数的底数,e≈2.72)
(2)若函数g(x)=f(x)+x在[1,2]上为单调递减函数,求实数a的取值范围.
22.已知函数f(x)=+ln x.
(1)若f(x)的一条切线是y=-x+3,求f(x)的单调区间.
(2)设函数g(x)=f(x)-1在上有两个零点,求实数a的取值范围.
班级 姓名 考号
----------- -------密-----------------------------封---------------------------------线--------------------------------
平遥二中高二年级三月考试数学（理科）
答 题 卡
一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分
13．_________________ 14．_________________
15． 16．_________________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
18. （本题满分12分）
19. （本题满分12分）
20. （本题满分12分）
21.（本题满分12分）
.
22（本题满分12分）
平遥二中高二年级三月考试数学（理科）答案
一、选择题
1.【解析】v'=t3,当t=5时,v'=125.【答案】B
2.【解析】f'(x)=x2+a,当a≥0时,f'(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.【答案】B
3.【解析】∵y'=,∴y'=4,即k=4,∴切线方程为y+2=4,即y=4x-4.
【答案】C
4.【解析】y'=3-3x2=-3(x+1)(x-1),令y'>0,解得-10,在(0,+∞)上,f'(x)的符号变化规律是负→正→负,故选A.【答案】A
6.【解析】f'(x)=
=,所以f'=-1.由题意知-1=,解得a=-1.【答案】B
7.【解析】由l1⊥l2,得4-2a=0,即a=2,∴原式=(x3+sin x-5)dx=(x3+sin x)dx+(-5)dx=0-20=-20.【答案】D
8.【解析】y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若y=f(x)在某区间内是增函数,则在此区间内y'≥0.
当x∈(π,2π)时,y'≥0恒成立.【答案】C
9.【解析】∵f(x)=x3+ax-2在[1,+∞)上是增函数,∴f'(x)=3x2+a≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,
即a≥-3x2在x∈[1,+∞)上恒成立.又g(x)=-3x2在[1,+∞]上的最大值为g(1)=-3,
∴a≥-3,故选B.【答案】A
10【解析】不等式f(x)1.【答案】D
11.【解析】记g(x)=,则g'(x)=≤-≤0,故函数g(x)没有单调递增区间.
由01时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-10,f(x)为增函数;
当x∈[0,2]时,f'(x)<0,f(x)为减函数,∴f(x)在[-2,2]上取得最大值f(0)=3.又f(x)≤a恒成立,∴a≥3.
【答案】[3,+∞)
15. 【解析】由y'=-2x+4,得在点A,B处切线的斜率分别为2和-2.
则两直线方程分别为y=2x-2和y=-2x+6.由得记两条直线的交点为点C(2,2).
所以S=S△ABC-(-x2+4x-3)dx=×2×2-=2-=.【答案】
16.【解析】①中,函数f(x)=x3在R上单调递增,没有极值点,①错;
②中,f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),函数f(x)有极值点的充要条件是f'(x)=0有两个不相等的实根,所以Δ=4b2-12ac>0,也即b2-3ac>0,②正确;
③中,f(x)是奇函数,则f(0)=0⇒n=0.又由f(-x)=-f(x),得(m-1)x2=0,因此m=1,所以f(x)=x3-48x.当x∈(-4,4)时,f'(x)=3x2-48=3(x+4)(x-4)<0,故f(x)在x∈(-4,4)上单调递减,③正确.【答案】①
三、解答题
17【解析】由f'(x)为一次函数,知f(x)为二次函数.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b.
把f(x),f'(x)代入方程x2f'(x)-(2x-1)f(x)=1,得x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,
即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.
要使方程对任意x恒成立,则需有a=b,b=2c,c-1=0,解得a=2,b=2,c=1,
故f(x)=2x2+2x+1.
18【解析】设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0).因为f'(x)=3x2-4x,k=4,所以3-4x0=4,
解得x0=-或x0=2.所以切点坐标为或(2,3).
当切点坐标为时,由=4×+a,解得a=.
当切点坐标为(2,3)时,由3=4×2+a,解得a=-5.
综上所述,当a=时,切点坐标为;当a=-5时,切点坐标为(2,3).
19.【解析】(1)∵a=1,∴f(x)=x2-4x+2ln x,∴f'(x)=(x>0),f(1)=-3,f'(1)=0,
∴切线方程为y=-3.
(2)f'(x)==(x>0),令f'(x)=0得x1=a,x2=1,
若00,当x∈(a,1)时,f'(x)<0,∴f(x)的单调递增区间为(0,a)和(1,+∞),单调递减区间为(a,1);若a=1,则f'(x)=≥0,∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞);若a>1,则当x∈(0,1)或(a,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(1,a)时,f'(x)<0,∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(a,+∞),单调递减区间为(1,a).
(3)由(2)可知,f(x)在区间[1,e]上只可能有极小值点,
∴f(x)在区间[1,e]上的最大值必在区间端点取到,
∴f(1)=1-2(a+1)≤0且f(e)=e2-2(a+1)e+2a≤0,解得a≥.
20.【解析】(1)设需要新建n个桥墩,则(n+1)x=m,即n=-1,
所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256+(2+)m=+m+2m-256.
(2)由(1)知,f'(x)=- +m=(-512).令f'(x)=0,得=512,所以x=64,
当00,故f(x)在区间(64,640)上为增函数.
所以f(x)在x=64时取得最小值,此时,n=-1=-1=9,
故需新建9个桥墩才能使y最小.
21【解析】(1)由题意f'(x)=-,
当a=时,f'(x)=-=.∵x∈[1,e],∴f(x)在[1,2)上为减函数,在[2,e]上为增函数,
又f(2)=ln 2+,f(1)=,f(e)=1+,比较可得f(1)>f(e),∴f(x)的值域为.
(2)由题意得g'(x)=-+1≤0在[1,2]上恒成立,∴a≥+(x+1)2=x2+3x++3恒成立,
设h(x)=x2+3x++3(1≤x≤2),∵当1≤x≤2时,h'(x)=2x+3->0恒成立,
∴h(x)max=h(2)=,∴a≥,即实数a的取值范围是.
22.【解析】(1)显然x>0,f'(x)=-+.
设切点为(x0,y0),则f'(x0)=-1,即-+=-1⇒a=+x0.
∴y0=f(x0)=+ln x0=x0+1+ln x0,又y0=-x0+3.
∴ln x0=-2x0+2,解得x0=1,故a=2.
由f'(x)=-+==0,得x=2.
因此当02时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递减区间是(0,2),单调递增区间是(2,+∞).
(2)由题意得g'(x)=f'(x)=-+=(x>0),
当a≤0时,g'(x)>0,g(x)在上单调递增,因此不可能有两个零点;当a>0时,易得g(x)的单调递减区间是(0,a),单调递增区间是(a,+∞).
g(x)=f(x)-1=0在上有两解⇔
解得实数a的取值范围是2e-1≤a<1.
