2020年高中数学 第一章 数列

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2020年高中数学 第一章 数列

‎1.2.2‎‎ 第2课时 等差数列习题课 ‎ [A 基础达标]‎ ‎1.在数列{an}中,a1=15,3an+1=3an-2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是(  )‎ A.a21和a22        B.a22和a23‎ C.a23和a24 D.a24和a25‎ 解析:选C.因为an+1=an-,所以数列{an}是等差数列,且公差为-,‎ 所以an=15+(n-1)·.因为a23=,a24=-,所以a‎23a24<0.‎ ‎2.已知等差数列{an}中,|a5|=|a9|,公差d>0,则使Sn取得最小值的正整数n的值是(  )‎ A.4或5 B.5或6‎ C.6或7 D.7或8‎ 解析:选C.依题意得a5<0,a9>0,且a5+a9=0⇒‎2a1+12d=0⇒a1+6d=0,即a7=0,故前6项与前7项的和相等,且最小.‎ ‎3.已知数列{an}的通项公式an=26-2n,则使其前n项和Sn最大的n的值为(  )‎ A.11或12 B.12‎ C.13 D.12或13‎ 解析:选D.因为an=26-2n,所以an-an-1=-2,所以数列{an}为等差数列.又a1=24,d=-2,所以Sn=24n+×(-2)=-n2+25n=-+.又n∈N+,所以当n=12或13时,Sn最大.‎ ‎4.数列{an}满足:a1=0,an+1=(n∈N+),则a2 018=(  )‎ A.0 B.- C. D. 解析:选B.由a1=0,an+1=,令n=1,得a2==-;令n=2,得a3==;令n=3,得a4==0=a1,所以数列{an}是周期为3的数列,所以a2 018=a3×672+2=a2=-,故选B.‎ ‎5.已知数列{an}:1,1,2,3,5,8,13,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn},则b2 018=(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 4‎ 解析:选B.将数列1,1,2,3,5,8,13,…的每一项除以4所得的余数分别为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,即新数列{bn}是周期为6的周期数列,所以b2 018=b336×6+2=b2=1.故选B.‎ ‎6.已知数列{an}满足an+1=an-,且a1=5,设{an}的前n项和为Sn,则使得Sn取得最大值的序号n的值为________.‎ 解析:由题意可知数列{an}的首项为5,公差为-的等差数列,所以an=5-(n-1)=,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以Sn取最大值时,n=7或8.‎ 答案:7或8‎ ‎7.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=________.‎ 解析:法一:S9=S4,即=,‎ 所以‎9a5=2(a1+a4),‎ 即9(1+4d)=2(2+3d),‎ 所以d=-,‎ 由1-(k-1)+1+3·=0,得k=10.‎ 法二:S9=S4,所以a5+a6+a7+a8+a9=0,所以a7=0,从而a4+a10=‎2a7=0,所以k=10.‎ 答案:10‎ ‎8.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n=________.‎ 解析:由a1+a3+a5=105,得‎3a3=105,即a3=35.‎ 由a2+a4+a6=99,得‎3a4=99,即a4=33.‎ 所以d=-2,an=a4+(n-4)×(-2)=41-2n,则a1=39.‎ 所以Sn===-n2+40n=-(n-20)2+400.‎ 所以当n=20时,Sn取最大值.‎ 答案:20‎ ‎9.在等差数列{an}中,a3=2,‎3a2+‎2a7=0,其前n项和为Sn.求:‎ ‎(1)等差数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)Sn,n为何值时,Sn最大.‎ 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 4‎ 根据题意,得a1+2d=2,‎5a1+15d=0,‎ 解得a1=6,d=-2.‎ 所以数列{an}的通项公式为an=-2n+8.‎ ‎(2)由第一问可知Sn=6n+·(-2)=-n2+7n=-+.‎ 因为S3=-9+21=12,S4=-16+28=12,‎ 所以当n=3或n=4时,Sn最大.‎ ‎10.已知数列{an}的通项公式an=31-3n,求数列{|an|}的前n项和Hn.‎ 解:设{an}的前n项和为Sn.‎ 由an=31-3n可得Sn=-n2+n.‎ 由an≥0,解出n≤≈10.3.‎ 当n≤10时,Hn=Sn=-n2+n;‎ 当n≥11时,Hn=2S10-Sn=n2-n+290.‎ 所以Hn= ‎[B 能力提升]‎ ‎11.设等差数列{an}满足‎3a8=‎5a13,且a1>0,则前n项和Sn中最大的是(  )‎ A.S10 B.S11‎ C.S20 D.S21‎ 解析:选C.设等差数列{an}的公差为d,由‎3a8=‎5a13,即3(a1+7d)=5(a1+12d),得a1=-d>0,所以d<0,则an=a1+(n-1)d=-d+(n-1)d.由an<0,得n>=20.5,即从第21项开始为负数,故S20最大.‎ ‎12.“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18的值为________.‎ 解析:由题意可得an+an+1=5,所以an+1+an+2=5.所以an+2-an=0.因为a1=2,所以a2=5-a1=3.所以当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2.所以a18=3.‎ 答案:3‎ ‎13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0.‎ ‎(1)求公差d的取值范围;‎ 4‎ ‎(2)问前几项的和最大,并说明理由.‎ 解:(1)因为a3=12,所以a1=12-2d,‎ 因为S12>0,S13<0,‎ 所以即 所以-0,S13<0,‎ 所以所以所以a6>0,‎ 又由第一问知d<0.‎ 所以数列前6项为正,从第7项起为负.‎ 所以数列前6项和最大.‎ ‎14.(选做题)在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn,‎ ‎(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;‎ ‎(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.‎ 解:(1)因为a16+a17+a18=a9=-18,‎ 所以a17=-6.又a9=-18,所以d==.‎ 首项a1=a9-8d=-30.所以an=n-.‎ 若前n项和Sn最小,则 即所以n=20或21.‎ 这表明:当n=20或21时,Sn取最小值.最小值为S20=S21=-315.‎ ‎(2)由an=n-≤0⇒n≤21.‎ 所以当n≤21时,Tn=-Sn=(41n-n2),‎ 当n>21时,Tn=-a1-a2-…-a21+a22+…+an ‎=Sn-2S21=(n2-41n)+630.‎ 故Tn= 4‎
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