北京中考西城一模数学含答案电子版

北京中考西城一模数学含答案电子版

北京市西城区2013年初三一模试卷 ‎ 数 学 2013. 5‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．的相反数是 A． B． C．3 D．‎ ‎2．上海原世博园区最大单体建筑“世博轴”被改造成一个综合性商业中心，该项目营业面积约130 000平方米，130 000用科学记数法表示应为 ‎ A．1.3×105 B．1.3×104 C．13×104 D．0.13×106‎ ‎3．如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E．‎ 若∠1=25°，则的度数为 ‎ A．15° B．50°‎ ‎ C．25° D．12.5°‎ ‎4．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ‎ A． B． C． D．1‎ ‎5．若菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的边长为 ‎ A．5 B．6 C．8 D．10‎ ‎6．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：‎ 年龄（单位：岁）‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 人数 ‎1‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎ 则该队队员年龄的众数和中位数分别是 A．16，15 　 B．15，15.5 C．15，17 D．15，16‎ ‎7．由一些大小相同的小正方体搭成的一个几何体的三视图如图所示，则构成这个几何体 的小正方体共有 A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 ‎8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向 旋转90°后，得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别为点F、G、E）．动点P从点B开始沿BC-CE运动到点E后停止，动点Q从点E开始沿EF-FG运动到点G后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P和点Q同时开始运动，运动时间为x（秒），△APQ的面积为y，则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是 ‎ A B C D 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9．函数中，自变量x的取值范围是 ．‎ ‎10．分解因式：= ．‎ ‎11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=45°.‎ 若AD=2，BC=8，则AB的长为 ．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1,0)处．‎ 第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；‎ 第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；‎ 第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；‎ 第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；‎ ‎……‎ 依此规律进行，点A6的坐标为 ；若点An的坐标为（2013，2012），‎ 则n= ．‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解不等式组 并求它的所有整数解． ‎ ‎15．如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形．‎ ‎ (1) 求证：△DAB≌△DCE；‎ ‎(2) 求证：DA∥EC． ‎ ‎16．已知，求的值．‎ ‎-2‎ ‎17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数与反比例函数的图象在 第二象限交于点A，且点A的横坐标为 ．‎ ‎(1) 求反比例函数的解析式；‎ ‎(2) 点B的坐标为(-3,0)，若点P在y轴上，‎ 且△AOB的面积与△AOP的面积相等，‎ 直接写出点P的坐标．‎ ‎18．列方程（组）解应用题：‎ 某工厂原计划生产2400台空气净化器，由于天气的影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务的数量增加了1200台．工厂在实际生产中，提高了生产效率，每天比原计划多生产10台，实际完成生产任务的天数是原计划天数的1.2倍．求原计划每天生产多少台空气净化器．‎ ‎19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，‎ ‎ AC⊥AB，AB=2，且AC︰BD=2︰3．‎ ‎ (1) 求AC的长； ‎ ‎ (2) 求△AOD的面积．‎ ‎20．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于 点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．‎ ‎ (1) 求证：EF与⊙O相切；‎ ‎ (2) 若AE=6，sin∠CFD=，求EB的长．‎ ‎21．近年来，北京郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，京郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分．‎ 北京市2009-2012年农业观光园 经营年收入增长率统计表 北京市2008-2012年农业观光园 经营年收入统计图 年份 年增长率（精确到1%）‎ ‎2009年 ‎12%‎ ‎2010年 ‎2011年 ‎22%‎ ‎2012年 ‎24%‎ ‎ ‎ ‎ 请根据以上信息解答下列问题： ‎ ‎ (1) 北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是 ；（结果精确到1%）‎ ‎ (2) 请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）‎ ‎ (3) 如果从2012年以后，北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请 ‎ 你估算，若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到 年．（填写年份）‎ ‎22．先阅读材料，再解答问题：‎ ‎ 小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，‎ 同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点A、B、C、D均 为⊙O上的点，则有∠C=∠D．‎ 小明还发现，若点E在⊙O外，且与点D在直线AB同侧，‎ 则有∠D>∠E．‎ ‎ 请你参考小明得出的结论，解答下列问题：‎ ‎(1) 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,7)，点B的坐标为(0,3)，‎ ‎ 点C的坐标为(3,0) ．‎ ‎ ①在图1中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；‎ ‎②若在轴的正半轴上有一点D，且∠ACB =∠ADB，则点D的坐标为 ；‎ ‎ (2) 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,m)，点B的坐标为(0,n)，‎ 其中m>n>0．点P为轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标．‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．已知关于的一元二次方程．‎ ‎ (1) 求证：无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎(2) 抛物线与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线．求抛物 线的解析式；‎ ‎(3) 点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式 的值．‎ ‎24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=，点P在△ABC的内部．‎ ‎(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cos=_______，‎ ‎ △PMN周长的最小值为_______；‎ ‎(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=，PB=，PC=1，求△ABC的面积；‎ ‎(3) 若PA=，PB=，PC=，且，直接写出∠APB的度数．‎ ‎25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与轴、轴分别交于点A和点B(0,-1)，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C(4,n)．‎ ‎ (1) 求的值和抛物线的解析式；‎ ‎(2) 点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0< t <4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；‎ ‎(3) M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．‎ 图1 图2‎ 北京市西城区2013年初三一模试卷 ‎ 数学答案及评分参考 2013. 5‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C A C B A D C A 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ x≥3‎ ‎(－2, －3)，4023 （各2分）‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．解：原式=. ………………………………………………4分 ‎ =． ………………………………………………… 5分 ‎①‎ ‎②‎ ‎14．解：‎ ‎ 由①得． …………………………………………………………1分 ‎ 由②得． …………………………………………………………3分 ‎ ∴ 原不等式组的解集是． ………………………………… 4分 ‎ ∴ 它的整数解为4，5，6． ………………………………………… 5分 图1‎ ‎15. 证明：（1）如图1.‎ ‎ ∵△DAC和△DBE都是等边三角形，‎ ‎∴DA=DC，DB=DE， …………1分 ‎∠ADC=∠BDE=60º . ‎ ‎ ∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB，‎ ‎ 即∠ADB=∠CDE. ……………2分 ‎ 在△DAB和△DCE中,‎ ‎ ‎ ‎ ∴ △DAB≌△DCE. ………………………………………… 3 分 ‎ （2）∵△DAB≌△DCE，‎ ‎∴ ∠A=∠DCE=60° . ……………………………………… 4分 ‎∵∠ADC=60°，‎ ‎∴ ∠DCE =∠ADC. ‎ ‎∴DA∥EC. ………………………………………………… 5分 ‎16. 解：原式= ..….….….…. …..…………..……………………2分 ‎=. ………………………………………………………… 3分 ‎ ∵ ， ∴ .‎ ‎ ∴ 原式=. ……………………………………………… 5分 ‎17. 解：（1）∵正比例函数的图象经过点A，且点A的横坐标为，‎ ‎ ∴点A的纵坐标为3. …………………………………………… 1分 ‎ ∵反比例函数的图象经过点A（），∴.‎ ‎ ∴. … 2分∴. ………… 3分 ‎（2）点P的坐标为或. ……………………………… 5分 ‎18．解：设原计划每天生产空气净化器台. ……………………………………1分 ‎ 依题意得 . …………………………………… 2分 ‎ 解得. …………………………………………………………… 3分 ‎ 经检验，是原方程的解，并且符合题意． ……………………… 4分 答: 原计划每天生产空气净化器40台. ……………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．解：（1）如图2.‎ 图2‎ ‎∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，‎ ‎ ∴OA= AC，OB= BD . …………… 1分 ‎ ∵AC︰BD=2︰3，∴OA︰OB=2︰3 .‎ 设OA=2x (x >0)，则OB=3x. ∵AC⊥AB，‎ ‎∴∠BAC =90°.‎ 在Rt△OAB中，OA2+AB2=OB2. ……………… 2分 ‎∵AB=2，‎ ‎∴(2x)2+22=(3x)2 .‎ 解得x=±(舍负).‎ ‎∴AC=2OA= . …………………………………………………… 3分 ‎（2）∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，‎ ‎∴OB=OD.‎ ‎∴S△AOD= S△AOB= AO·AB = ××2= . ……………………… 5分 图3‎ ‎20．（1）证明：连接OD . （如图3）‎ ‎ ∵OC=OD，‎ ‎∴∠OCD=∠ODC. ‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ACB=∠B.‎ ‎∴∠ODC=∠B.‎ ‎∴OD∥AB. …………………………………………………………… 1分 ‎∴∠ODF=∠AEF.‎ ‎ ∵EF⊥AB，‎ ‎ ∴∠ODF =∠AEF =90°.‎ ‎∴OD⊥EF .‎ ‎ ∵OD为⊙O的半径，‎ ‎ ∴EF与⊙O相切. ………………………………………………2分 ‎ （2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF .‎ 在Rt△AEF中，sin∠CFD = = ，AE=6.‎ ‎∴AF=10. ………………………………………………………………3分 ‎∵OD∥AB，∴△ODF∽△AEF.∴.‎ 设⊙O的半径为r，∴ = .‎ 解得r= . …………………… 4分 图4‎ ‎∴AB= AC=2r = . ∴EB=AB-AE= -6= . ………… 5 分 ‎ 21．解：（1）17%； ……………………………2分 ‎ （2）所补数据为21.7； ……………………3分 ‎ 补全统计图如图4； ………………… 4分 图5‎ ‎（3）2015． ………………………… 5分 ‎22．解：（1）①如图5； ………………………… 1分 ‎ ②点D的坐标为； ………………… 3分 ‎（2）点P的坐标为． ……………… 5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．（1）证明：∵， …………………………………1分 ‎ 而， ∴，即. ‎ ‎ ∴无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分 ‎（2）解：∵当时，，‎ ‎ ∴. ∴，即.‎ ‎∵，∴. ………………… 3分 ‎∴抛物线的解析式为.‎ ‎∴抛物线的顶点为.∴抛物线的顶点为.‎ ‎∴抛物线的解析式为. …………………………4分 ‎（3）解：∵点A（，）和B（，）都在抛物线上，‎ ‎∴，且. ∴.‎ ‎ ∴ ∴.‎ ‎ ∵A、B两点不重合，即，∴.‎ ‎ ∴. ……………………………………………………… 5分 ‎∵，，∴‎ ‎ ‎ ‎ ……6分 . ………7分 ‎24．解：（1）=，△PMN周长的最小值为 3 ； ………………………2分 图6‎ ‎ （2）分别将△PAB、△PBC、△PAC沿直线AB、BC、AC翻折，点P的对称点分别是点D、E、F，连接DE、DF，（如图6）‎ ‎ 则△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC.‎ ‎ ∴AD=AP=AF， BD=BP=BE，CE=CP=CF.‎ ‎ ∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，‎ ‎ ∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，‎ ‎ ∠FCE=2∠ACB=180°.‎ ‎ ∴△DBE是等边三角形，点F、C、E共线.‎ ‎ ∴DE=BD=BP=，EF=CE+CF=2CP=2.‎ ‎ ∵△ADF中，AD=AF=，∠DAF=120°，‎ ‎ ∴∠ADF=∠AFD=30°.‎ ‎∴DF=AD =.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴∠DFE=90°. ………………………………………………………4分 ‎ ∵，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. ……………………………………………5分 ‎ （3）∠APB=150°. ………………………………………………………… 7分 ‎ 说明：作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N.（如图7）‎ ‎ 由（2）知∠DBE=，∠DAF=.‎ 图7‎ ‎ ∵BD=BE=，AD=AF=，‎ ‎ ∴∠DBM=，∠DAN=.‎ ‎ ∴∠1=，∠3=.‎ ‎ ∴DM =，DN=.‎ ‎ ∴DE=DF=EF.‎ ‎ ∴∠2=60°.‎ ‎ ∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°.‎ ‎25．解：（1）∵直线l：经过点B（0，），‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴直线l的解析式为. ‎ ‎ ∵直线l：经过点C（4，n），‎ ‎∴. ………………………………………………1分 ‎ ∵抛物线经过点C（4，2）和点B（0，），‎ ‎ ∴ 解得 ‎ ‎ ∴抛物线的解析式为. …………………………2分 图8‎ ‎ （2）∵直线l：与x轴交于点A，‎ ‎ ∴点A的坐标为（，0）. ∴OA=.‎ 在Rt△OAB中，OB=1，‎ ‎ ∴AB==. ‎ ‎ ∵DE∥轴，∴∠OBA=∠FED ∵矩形DFEG中，∠DFE=90°，‎ ‎ ∴∠DFE=∠AOB=90°.∴△OAB∽△FDE.‎ ‎ ∴∴，‎ ‎ . …………………………………………4分 ‎ ∴=2(FD+ FE)=. ‎ ‎ ∵D（，），E（，），且，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴. …………………………… 5分 ‎ ∵，且，‎ ‎ ∴当时，有最大值. …………………………………… 6分 ‎ （3）点A1的横坐标为或. ……………………………………………8分 ‎ 说明：两种情况参看图9和图10，其中O1B1与轴平行，O1A1与轴平行.‎ 图9‎ 图10‎ B ‎1‎ O ‎1‎ A ‎1‎ l C A B O x y y x O B A C l A ‎1‎ O ‎1‎ B ‎1‎ ‎ ‎