甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

合作一中2019-2020学年第一学期期中考试高二（理科）‎ 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.若，且那么（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】对于A，当a＝1，b＝0，c＝1，d＝﹣1时，则不成立，故A不正确；‎ 对于B，当a＝1，b＝0，c＝﹣1，d＝﹣2时，则不成立，故B不正确；‎ 对于C，当a＝1，b＝0，c＝﹣1，d＝﹣2时，则不成立，故C不正确；‎ 对于D，根据不等式的性质可得，∵a＞b，c＞d，∴﹣d＞﹣c，∴a﹣d＞b﹣c，‎ 故选D．‎ ‎2.在△ABC中，已知，，A＝30°，则c等于（ ）‎ A. B. C. 或 D. 无解 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA，代入解出即可得出．‎ ‎【详解】由余弦定理可得：，，，A＝30°，‎ ‎∴，‎ 化为：，‎ 解得或.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于简单题.‎ ‎3.设数列是等差数列, 若则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎4.不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分式不等式和高次不等式的解法解不等式得解.‎ ‎【详解】由题得所以 所以 所以，‎ 所以.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查分式不等式和高次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.中，若，，，则的面积为　　‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角形的面积公式S计算求解.‎ ‎【详解】由题得的面积． 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎6.等比数列中，，，，则（ ）‎ A 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的通项公式代入首项和公比求得n．‎ ‎【详解】等比数列中，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，n−1=3，n=4；‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式及解指数方程，考查基本求解能力，属于基础题.‎ ‎7.不等式（－2）2+2(－2)-4＜0,对一切∈R恒成立，则a的取值范围是（ ）‎ A. （-∞,2] B. （-2,2] C. （-2,2） D. （-∞,2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为不等式（－2）2+2(－2)-4＜0,对一切∈R恒成立 所以或，即，选B ‎8.设等比数列的前项和记为,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列前项和的性质求解可得所求结果．‎ ‎【详解】∵数列为等比数列，且其前项和记为，‎ ‎∴成等比数列．‎ ‎∵，即，‎ ‎∴等比数列的公比为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】在等比数列中，其前项和记为，若公比，则成等比数列，即等比数列中依次取项和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．‎ ‎9. 已知△ABC中,acosB=bcosA,则△ABC为( )‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 钝角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 本题考查正、余弦定理与和差角公式．先统一边角，再进行恒等变形．‎ ‎10.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中m，n均大于0，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 8 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．‎ 解：∵x=﹣2时，y=loga1﹣1=﹣1，‎ ‎∴函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），‎ ‎∵点A在直线mx+ny+1=0上，‎ ‎∴﹣‎2m﹣n+1=0，即‎2m+n=1，‎ ‎∵mn＞0，‎ ‎∴m＞0，n＞0，=（）（‎2m+n）=4+++2≥4+2•=8，‎ 当且仅当m=，n=时取等号．‎ 故选C．‎ 考点：基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎11.数列的前项和等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因,故,故应选A.‎ 考点：等差数列和等比数列的前项和.‎ ‎12.如图，海中有一小岛，一小船从地出发由西向东航行，望见小岛在北偏东 ‎，航行8海里到达处，望见小岛在北偏东，若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛的距离为（ ）‎ A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】 ‎ 所以离小岛的距离为 ‎ ‎，选C ‎【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.在中，已知，则最大角等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由正弦定理得：，所以最大角为C，由余弦定理得：‎ 考点：正余弦定理 ‎14.在中, 若,则的外接圆的半径为 _____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求出sinA，利用正弦定理直接求出△ABC的外接圆的半径．‎ ‎【详解】因为在△ABC中，若a＝3，cosA＝﹣，所以sinA＝，‎ 由正弦定理，可得：＝＝．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力．‎ ‎15.，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ______．‎ ‎【答案】2020‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证得，利用倒序相加法求得表达式的值.‎ ‎【详解】解：由题意可知，‎ 令S=‎ 则S=‎ 两式相加得，‎ ‎．‎ 故填：‎ ‎【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到的规律．‎ ‎16.已知二次不等式的解集为且a>b,则的取值范围为___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次不等式ax2+2x+b≤0的解集，可得，利用a＞b，可知a＞1，从而，利用换元法，再利用基本不等式，即可求得结论．‎ ‎【详解】由题意，二次不等式ax2+2x+b≤0的解集为，‎ ‎∴a＞0，且a＝0‎ ‎∴∵a＞b，∴a＞1‎ ‎∴,令t＝，则t＞0‎ ‎∴‎ ‎∵t＞0，∴（当且仅当t＝时，取等号）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴的取值范围为 故答案为 ‎【点睛】本题考查二次不等式的运用，考查基本不等式的运用，利用基本不等式求最值是解题的关键．‎ 三、解答题（17题满分10分，其余满分12分）‎ ‎17.已知等差数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．‎ ‎【答案】(I)；(Ⅱ)，或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由，并结合（1）可计算出首项和公比，代入等比数列的求和公式可求得.‎ ‎【详解】(I)设等差数列的公差为，∵．∴，‎ ‎，‎ 解得，， ∴．‎ ‎(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，‎ ‎∴，或．‎ ‎【点睛】本题考查数列基本公式．等差数列的通项公式 , 等比数列的前n项和公式 .‎ ‎18.已知中，，. ‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)利用正弦定理得到.又，得到锐角的值； (2)利用面积公式解得. 由余弦定理知.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）解：由正弦定理，可得.所以.‎ 在三角形中，由已知，所以. ‎ ‎（Ⅱ）由面积公式可得，解得.‎ 由余弦定理知，所以 ‎19.数列对任意，满足.‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）若，求的通项公式及前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：解：（1）由已知得，‎ 故数列是等差数列，且公差.　‎ 又，得，所以.‎ ‎（2）由（１）得，，‎ 所以 ‎. ‎ ‎. ‎ 考点：等差数列和等比数列的求和 点评：主要是考查了等差数列和等比数列的求和的运用，属于基础题．‎ ‎20.已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）9.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意，分析可得方程的两个根是1和4，由根与系数的关系分析可得，，解可得、的值；（2）由（1）知的解析式，将其表示为由基本不等式分析可得答案.‎ 试题解析：（1）根据题意，不等式的解集为或， 则方程的两个根是和，则有，，即，.‎ ‎（2）由（1）知，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9． ‎ 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．‎ ‎21.已知数列的前项和.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列，并求的通项公式.‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由可得，利用可得是首项为，公比为的等比数列，故而可得的通项公式；（2）由（1）可求出，利用错位相减法可得最后结果.‎ 试题解析：（1），，两式相减，得，即，，又，即，，是首项为，公比为的等比数列，从而的通项公式是.‎ ‎（2）由（1）知，设数列的前项和为，则，两式相减得 ，.‎ 点睛：本题主要考查了以及等比数列的概念，数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎22.在锐角中，， ‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）当BC=2时，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（I）（II）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由正弦定理化简已知等式，可得，结合△ABC是锐角三角形，可得；‎ ‎（II）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子，代入题中数据化简得到b2+c2=bc+4‎ ‎，再根据基本不等式加以计算得到bc≤4，利用三角形的面积公式即可得到当b=c=2时，△ABC面积S有最大值为．‎ ‎【详解】(Ⅰ)∵，‎ ‎∴由正弦定理,得，‎ 又∵B为三角形的内角，得sinB>0，‎ ‎∴,可得,‎ ‎∵△ABC是锐角三角形，‎ ‎∴；‎ ‎(Ⅱ)设角A、B、C所对的边分别为a、b、c.‎ 由题意a=2,根据余弦定理，‎ 可得，‎ 化简得，‎ ‎∵，‎ ‎∴bc+4≥2bc，解得bc≤4，‎ ‎∵△ABC面积，‎ ‎∴当且仅当b=c=2时,△ABC面积S达到最大值,‎ 面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理,正弦定理应用，在解三角形中，通常利用正余弦定理进行边角转化，最值问题通常借助基本不等式或函数思想求解，本题难度不大，属于基础题.‎