数学理·四川省内江市市中区翔龙中学2017届高三上学期9月月考数学试卷（理科） Word版含解析

数学理·四川省内江市市中区翔龙中学2017届高三上学期9月月考数学试卷（理科） Word版含解析

‎2016-2017学年四川省内江市市中区翔龙中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知全集U=R，N={x|x（x+3）＜0}，M={x|x＜﹣1}则图中阴影部分表示的集合是（　　）‎ A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x|x＜﹣3}‎ ‎2．已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k（x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．[3，5] B．[﹣1，1] C．[﹣1，3] D．‎ ‎3．（+x）（1﹣）4的展开式中x的系数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．12‎ ‎4．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（　　）‎ A．4 B．﹣4 C． D．﹣‎ ‎5．若||=1，||=2， =，且，则与的夹角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎6．“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．要得到函数y=sin（x+）的图象，只需要将函数y=cosx的图象（　　）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位24‎ C．向右平移个单位 D．向右平移个单位G ‎8．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（　　）M A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1D ‎9．已知函数f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，则lg2m+lg2n的最小值为（　　）m A． B． C． D．f ‎10．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（　　）（注：e为自然对数的底数）h A．（0，） B．[，] C．（0，） D．[，e]Q ‎11．已知函数f（x）在实数集R上具有下列性质：C ‎①f（x+2）=﹣f（x）；V ‎②f（x+1）是偶函数；X ‎③当x1≠x2∈[1，3]时，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．2‎ 则f，f A．f＞f＞ft C．f＞f＞fu ‎12．已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（　　）M A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）+‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）0‎ ‎13．若zl=a+2i，z2=3﹣4i，且为纯虚数，则实数a的值为　　．7‎ ‎14．已知α∈（0，π），cosα=，则sin（π﹣α）=　　．Y ‎15．已知点A（1，2），B（0，0），C（1，0），设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，如果=λ，那么λ等于　　．T ‎16．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足an+1=a1=m（m＞0），有以下结论：l ‎①若m=，则a3=3；a ‎②若a3=2，则m可以取3个不同的值；Q ‎③若m=，则{an}是周期为3的数列；=‎ ‎④存在m∈Q且m≥2，数列{an}是周期数列．=‎ 其中正确结论的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6道小题，第10题0分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）‎ ‎17．设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞3，或x＜1}，C={x|t+1＜x＜2t}，t∈R．‎ ‎（Ⅰ）求A∪∁UB；‎ ‎（Ⅱ）若A∩C=C，求t的取值范围．‎ ‎18．已知△ABC顶点的直角坐标分别是A（3，5）、B（0，1）、C（8，﹣7）．‎ ‎（1）求cosB的值；‎ ‎（2）若=（﹣2，﹣5），证明：B、C、D三点共线．‎ ‎19．设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=2﹣2an（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求证数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设bn=（1﹣an）（1﹣an+1），求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎20．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），‎ ‎（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；‎ ‎（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）‎ ‎21．已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．‎ ‎22．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，‎ 其中a，b为常数．‎ ‎（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；‎ ‎（2）已知0＜a＜1，求证：；‎ ‎（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省内江市市中区翔龙中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知全集U=R，N={x|x（x+3）＜0}，M={x|x＜﹣1}则图中阴影部分表示的集合是（　　）‎ A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣3＜x＜0} C．{x|﹣1≤x＜0} D．{x|x＜﹣3}‎ ‎【考点】Venn图表达集合的关系及运算．‎ ‎【分析】首先化简集合N，然后由Venn图可知阴影部分表示N∩（CUM），即可得出答案．‎ ‎【解答】解：N={x|x（x+3）＜0}={x|﹣3＜x＜0}‎ 由图象知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（CUM），‎ 又M={x|x＜﹣1}，‎ ‎∴CUM={x|x≥﹣1}‎ ‎∴N∩（CUM）=[﹣1，0）‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k（x+1）+1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．[3，5] B．[﹣1，1] C．[﹣1，3] D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数y=k（x+1）+1的图象是过点P（﹣1，1），斜率为k的直线l，故由图即可得出其范围．‎ ‎【解答】解：作出可行域，如图．因为函数y=k（x+1）+1的图象是过点A（﹣1，1），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点M（0，2）时，k取最大值 1，当直线l过点NB（1，0）时，k取最小值，‎ 故．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．（+x）（1﹣）4的展开式中x的系数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．12‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】利用二项式定理，含x的项的系数是（+x）的一次项乘以 （1﹣）4 中的常数项与（+x）的项乘以（1﹣）4中的二次项的和，求出即可．‎ ‎【解答】解：∵=（+x）（1﹣4+6x﹣4x+x2），‎ ‎∴展开式中x的系数为1×1+2×1=3．‎ 故答案为：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（　　）‎ A．4 B．﹣4 C． D．﹣‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．‎ ‎【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），‎ ‎∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，‎ 解得：t=﹣4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．若||=1，||=2， =，且，则与的夹角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】设与的夹角为θ，0≤θ≤π，由，可得 =0，再利用两个向量的数量积的定义求得cosθ=﹣，由此可得 θ 的值．‎ ‎【解答】解：设与的夹角为θ，则0≤θ≤π，∵，∴=0．‎ 再由 =（）•=+=1+1×2×cosθ=0，可得cosθ=﹣，‎ ‎∴θ=，即 θ=120°，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数，当常数小于等于两定点的距离时，轨迹不是椭圆，10443825‎ 若平面内一动点P的轨迹为椭圆，则平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数成立，‎ 即“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．要得到函数y=sin（x+）的图象，只需要将函数y=cosx的图象（　　）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】由条件利用诱导公式以及y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．‎ ‎【解答】解：将函数y=cosx的图象向右平移个单位，‎ 可得y=cos（x﹣）=sin（x﹣+）=sin（x+）的图象，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n≥1），则a6=（　　）‎ A．3×44 B．3×44+1 C．44 D．44+1‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1，两者相减，根据Sn﹣Sn﹣1=an，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．‎ ‎【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn﹣1（n≥2），‎ 两式相减得：an+1﹣an=3（Sn﹣Sn﹣1）=3an，‎ 则an+1=4an（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，‎ 得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，‎ 所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2（n≥2）‎ 则a6=3×44．‎ 故选A ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，则lg2m+lg2n的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】由题意可得函数的极大值或极小值等于0，求得m、n的关系，再取对数得lgn=+lgm，即可将问题转化为二次函数求最小值解得结论．‎ ‎【解答】解：f′（x）=6mx2﹣6nx=6x（mx﹣n），‎ ‎∴由f′（x）=0得x=0或x=，‎ ‎∵f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，又f（0）=10，10443825‎ ‎∴f（）=0，即2m•﹣3n•+10=0，整理得n3=10m2，‎ 两边取对数得3lgn=1+2lgm，∴lgn=+lgm，‎ ‎∴lg2m+lg2n=lg2m+（+lgm）2=（13lg2m+4lgm+1）=（lgm+）2+，‎ ‎∴当lgm=﹣时，lg2m+lg2n有最小值为．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（　　）（注：e为自然对数的底数）‎ A．（0，） B．[，] C．（0，） D．[，e]‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，‎ ‎∴y=f（x）与y=ax有2个交点，‎ 又∵a表示直线y=ax的斜率，‎ ‎∴y′=，‎ 设切点为（x0，y0），k=，‎ ‎∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），‎ 而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，‎ ‎∴直线l1的斜率为，‎ 又∵直线l2与y=x+1平行，‎ ‎∴直线l2的斜率为，‎ ‎∴实数a的取值范围是[，）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）在实数集R上具有下列性质：‎ ‎①f（x+2）=﹣f（x）；‎ ‎②f（x+1）是偶函数；‎ ‎③当x1≠x2∈[1，3]时，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．‎ 则f，f A．f＞f＞f C．f＞f＞f ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】根据条件判断函数的周期性，对称性和单调性，将函数值进行转化，进行比较即可．‎ ‎【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x）得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）；‎ 即函数f（x）是周期为4的周期函数．‎ 若f（x+1）是偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），则函数f（x）关于x=1对称，‎ 当x1≠x2∈[1，3]时，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．‎ 则此时函数为减函数，‎ 则f=f（3），‎ f=f（0）=f（2），‎ f=f（1），‎ ‎∵当x∈[1，3]时，函数f（x）为减函数，‎ ‎∴f（1）＞f（2）＞f（3），‎ 即f＞f已知函数f（x）=，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2）+的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】作函数f（x）=的图象如下，由图象可得x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；从而化简x3（x1+x2）+，利用函数的单调性求取值范围．‎ ‎【解答】解：作函数f（x）=，的图象如下，‎ 由图可知，x1+x2=﹣2，x3x4=1；1＜x4≤2；‎ 故x3（x1+x2）+=﹣+x4，‎ 其在1＜x4≤2上是增函数，‎ 故﹣2+1＜﹣+x4≤﹣1+2；‎ 即﹣1＜﹣+x4≤1；‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若zl=a+2i，z2=3﹣4i，且为纯虚数，则实数a的值为　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．‎ ‎【分析】把zl=a+2i，z2=3﹣4i代入，然后化简，复数分子、分母同乘分母的共轭复数，利用实部等于0，虚部不为0，求出a即可．‎ ‎【解答】解： =‎ 它是纯虚数，所以3a﹣8=0，且4a+6≠0，解得a=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．已知α∈（0，π），cosα=，则sin（π﹣α）=　　．‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值．‎ ‎【分析】根据同角三角函数关系式，结合角的取值范围，可求得sinα=，根据诱导公式，可以求得sin（π﹣α）=sinα=．‎ ‎【解答】解：∵α∈（0，π），cosα=，‎ ‎∴sinα==，‎ ‎∴根据诱导公式，得：sin（π﹣α）=sinα=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知点A（1，2），B（0，0），C（1，0），设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，如果=λ，那么λ等于　﹣　．‎ ‎【考点】向量的共线定理．‎ ‎【分析】由条件利用三角形内角平分线的性质，共线向量定理，求得λ的值．‎ ‎【解答】解：由条件利用三角形内角平分线的性质可得==，如图所示：‎ 设BE=3k，则 EC=2k，BC=（3+2）k．‎ 如果=λ，则（3+2）k=﹣λ•2k，‎ 求得λ=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎16．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T．已知数列{an}满足an+1=a1=m（m＞0），有以下结论：‎ ‎①若m=，则a3=3；‎ ‎②若a3=2，则m可以取3个不同的值；‎ ‎③若m=，则{an}是周期为3的数列；‎ ‎④存在m∈Q且m≥2，数列{an}是周期数列．‎ 其中正确结论的序号是　②③　．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】对于①，直接代值，根据数列的递推公式关系即可求出，‎ 对于②，由a3=2，分类讨论即可求出m的值，‎ 对于③由②可知正确m=＞1，所以数列{an}是周期为3的数列，‎ 对于④，利用反证法，假设存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列，得出假设不正确．‎ ‎【解答】解：对于①，当m=时，a2==，a3=a2﹣1=﹣1=，故①为不正确，‎ 对于②由a3=2，若a3=a2﹣1=2，则a2=3，若a1﹣1=3，则a1=4．‎ 若a1=3，则=．‎ 由a3=2，若a3=，则a2=，若a1﹣1=，则a1=．‎ 若=，则a1=2，不合题意．‎ 所以，a3=2时，m即a1的不同取值有3个．故②正确，‎ 对于③，m=＞1，所以数列{an}是周期为3的数列，所以③正确；‎ 对于④，假设存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列．则当m=2时，a2=a1﹣1=1，∴a3==…=an（n≥2），此时数列{an}不是周期数列．‎ 当m＞2时，当0＜m﹣k≤1时，ak+1=a1﹣k=m﹣k．∴ak+2==＞1．若ak+2=ai，1≤i≤k+1，则=m﹣（i﹣1），化为m2﹣m（k+i﹣1）+ki﹣k﹣1=0，则△=（k+i﹣1）2﹣4（ki﹣k﹣1）不为平方数，因此假设不正确．可知④不正确．‎ 综上可知：只有②③正确 故答案为：②③‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共6道小题，第10题0分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，第5题12分，第6题12分，共70分）‎ ‎17．设集合A={x|2≤x≤4}，B={x|x＞3，或x＜1}，C={x|t+1＜x＜2t}，t∈R．‎ ‎（Ⅰ）求A∪∁UB；‎ ‎（Ⅱ）若A∩C=C，求t的取值范围．‎ ‎【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由B与全集U，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；‎ ‎（Ⅱ）由A与C的交集为C，得到C为A的子集，确定出t的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵B={x|x＞3，或x＜1}，‎ ‎∴∁UB={x|1≤x≤3}，‎ ‎∵A={x|2≤x≤4}，‎ ‎∴A∪∁UB={x|1≤x≤4}；‎ ‎（Ⅱ）∵A∩C=C，∴C⊆A，‎ 当C=∅时，则有2t≤t+1，即t≤1；‎ 当C≠∅时，则，即1＜t≤2，‎ 综上所述，t的范围是t≤2．‎ ‎　‎ ‎18．已知△ABC顶点的直角坐标分别是A（3，5）、B（0，1）、C（8，﹣7）．‎ ‎（1）求cosB的值；‎ ‎（2）若=（﹣2，﹣5），证明：B、C、D三点共线．‎ ‎【考点】余弦定理；直线的斜率．‎ ‎【分析】（1）（方法一）由两点间距离公式可求AB，AC，BC的值，由余弦定理即可求cosB；（方法二）求出两个向量，由向量的夹角公式即可得解．‎ ‎（2）（方法一）求出向量，，可得，从而得证．‎ ‎（方法二）先求直线BC的方程，设D（m，n），由=（﹣2，﹣5）可解得D点坐标，从而可求得B、C、D三点共线．‎ ‎【解答】解：（1）（方法一）AB==5，AC=13，…‎ ‎…（公式2分）‎ ‎（方法二），…‎ ‎…（公式2分）‎ ‎（2）（方法一），…‎ ‎∵，‎ ‎∴、共线…‎ ‎∵、有共同的始点，‎ ‎∴B、C、D三点共线…‎ ‎（方法二）经过B（0，1）、C（8，﹣7）两点的直线BC的方程为 ‎（即x+y=1）…‎ 设D（m，n），由=（﹣2，﹣5）得（x﹣3，y﹣5）…‎ 解得D（1，0）…‎ ‎∵（或1+0=1），‎ ‎∴（D在BC上）B、C、D三点共线…‎ ‎　‎ ‎19．设数列{an}的前n项积为Tn，且Tn=2﹣2an（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求证数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设bn=（1﹣an）（1﹣an+1），求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差关系的确定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知，令n=1可求T1，然后利用已知变形可得： Tn•Tn﹣1=2Tn﹣1﹣2Tn（n≥2），变形即可证明 ‎（Ⅱ）由等差数列，可求，进而可求an，代入即可求解bn，结合数列的特点考虑利用裂项求和 ‎【解答】解：（Ⅰ）∵Tn=2﹣2an ‎∴T1=2﹣2T1‎ ‎∴10443825‎ ‎∴‎ 由题意可得： Tn•Tn﹣1=2Tn﹣1﹣2Tn（n≥2），‎ 所以 ‎∴数列是以为公差，以为首项的等差数列 ‎（Ⅱ）∵数列为等差数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴==‎ ‎　‎ ‎20．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），‎ ‎（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；‎ ‎（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20‎ 根据平均数值公式求解即可．‎ ‎（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1‎ 解得a=0.03；‎ 又由最高矩形中点的横坐标为20，‎ 可估计盒子中小球重量的众数约为20，‎ 而50个样本小球重量的平均值为：‎ ‎=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）‎ 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．‎ ‎（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；‎ 则X～B（3，），‎ X=0，1，2，3；‎ P（X=0）=×（）3=；‎ P（X=1）=×（）2×=；‎ P（X=2）=×（）×（）2=；‎ P（X=3）=×（）3=，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 即E（X）=0×=．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值．‎ ‎（2）由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．‎ ‎（3）g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）﹣g（x2）的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，‎ ‎∴f′（x）=1+，‎ ‎∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，‎ ‎∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，‎ 解得a=1．‎ ‎（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，‎ ‎∴g′（x）=，x＞0，‎ 由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，‎ 即x++1﹣b＜0有解，‎ ‎∵定义域x＞0，‎ ‎∴x+≥2，‎ x+＜b﹣1有解，‎ 只需要x+的最小值小于b﹣1，‎ ‎∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．‎ ‎（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，‎ ‎∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1‎ ‎∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）‎ ‎∵0＜x1＜x2，‎ ‎∴设t=，0＜t＜1，‎ 令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，‎ 则h′（t）=﹣＜0，‎ ‎∴h（t）在（0，1）上单调递减，‎ 又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，‎ ‎∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，‎ ‎∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，‎ 故所求的最小值为﹣2ln2．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，‎ 其中a，b为常数．‎ ‎（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；‎ ‎（2）已知0＜a＜1，求证：；‎ ‎（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1）由求得a=b，代入原函数求得则f′（1），再求出f（1）由直线方程点斜式求得切线方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2；‎ ‎（2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用导数求得g（x）在（0，1）上为减函数，则由g（x）＞g（1）＞0得答案；‎ ‎（3）求出函数f（x）=lnx﹣ax+的导函数，分析可知当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；‎ 当a＞0时，由△＞0求得a的范围．进一步求得导函数的两个零点，分别为，则x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上递增，得f（x1）＜f（1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，结合，f（1）=0，可得使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．‎ ‎【解答】（1）解：由，且，‎ 得，即，‎ ‎∴a=b．‎ 则f（x）=lnx﹣ax+，∴，‎ 则f′（1）=1﹣2a，‎ 又f（1）=0，‎ ‎∴f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣0=（1﹣2a）（x﹣1），即y=（1﹣2a）x﹣1+2a．‎ ‎∵（0，﹣5）在切线上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2；‎ ‎（2）证明：∵f（x）=lnx﹣ax+，‎ ‎∴=，‎ 令g（x）=（0＜x＜1），‎ 则=＜0．‎ ‎∴g（x）在（0，1）上为减函数，‎ ‎∵x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=2ln1﹣+2﹣ln2=．‎ ‎∴0＜a＜1时，；‎ ‎（3）由f（x）=lnx﹣ax+，得=．‎ 当a=0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；‎ 当a＜0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；‎ 当a＞0时，由△=1﹣4a2＞0，得0．‎ 则当x∈（0，），（）时，f′（x）＜0；‎ 当x∈（）时，f′（x）＞0．‎ 设，则x1＜1，x2＞1，‎ ‎∵f（x）在（x1，1）上递增，∴f（x1）＜f（1）=0，‎ 又，∴存在，使得f（x0）=0，‎ 又，f（1）=0，‎ ‎∴f（x）恰有三个不同的零点．‎ 综上，使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．‎ ‎　‎ ‎2016年11月4日