专题2-5 数列中的最值问题(练)-2018年高考数学(理)二轮复习讲练测

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专题2-5 数列中的最值问题(练)-2018年高考数学(理)二轮复习讲练测

‎2018高三二轮复习之讲练测之练案【新课标版理科数学】‎ 练---精准到位 ‎ 专题五 数列最值问题 ‎1.练高考 ‎1.【2015高考北京】设是等差数列. 下列结论中正确的是( )‎ A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 ‎【答案】C ‎2.【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2 …an的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设等比数列的公比为,由得,,解得.所以,于是当或时,取得最大值.‎ ‎3.【2015高考四川】设数列的前项和,且成等差数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)记数列的前n项和,求得成立的n的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)10.‎ ‎(2)由(1)得.‎ 所以.‎ 由,得,即.‎ 因为,‎ 所以.‎ 于是,使成立的n的最小值为10.‎ ‎4.【2017北京,理20】设和是两个等差数列,记,‎ 其中表示这个数中最大的数.‎ ‎(Ⅰ)若,,求的值,并证明是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得 是等差数列.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析.‎ ‎【解析】‎ 所以.‎ 所以对任意,于是,‎ 所以是等差数列.‎ ‎5.【2015高考上海】已知数列与满足,.‎ ‎(1)若,且,求数列的通项公式;‎ ‎(2)设的第项是最大项,即(),求证:数列的第项是最大项;‎ ‎(3)设,(),求的取值范围,使得有最大值与最小值,且.‎ ‎【答案】(1)(2)详见解析(3)‎ ‎【解析】解:(1)由,得,‎ 所以是首项为,公差为的等差数列,‎ 故的通项公式为,.‎ 证明:(2)由,得.‎ 所以为常数列,,即.‎ 因为,,所以,即.‎ 故的第项是最大项.‎ 解:(3)因为,所以,‎ 当时,‎ ‎.‎ 当时,,符合上式.‎ 所以.‎ 因为,所以,.‎ ①当时,由指数函数的单调性知,不存在最大、最小值;‎ ②当时,的最大值为,最小值为,而;‎ ③当时,由指数函数的单调性知,的最大值,最小值,由 及,得.‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎2.练模拟 ‎1.【2018届高三二轮同步】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,如果当n=m时,Sn最小,那么m的值为(  )‎ A. 10 B. 9 C. 5 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d.由已知得,解得.所以Sn=,因为n∈N*,所以当n=5时,Sn取得最小值,故选C.‎ ‎2.设等差数列的前项和为,且满足,,则取最大值时的值为( )‎ A.7 B.‎8 C. 9 D.10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题设可得,即,也即,故应选C.‎ ‎3.【2018届江西省师范大学附属中学、九江第一中学高三11月联考】已知数列的前项和为,且,在等差数列中, ,且公差.使得成立的最小正整数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以,两式相减,得,即,又,所以,因为在等差数列中, ,且公差,所以,当时, (排除A),当时, (排除 B),当时, ;故选C.‎ ‎4.已知,设为数列的最大项,则. ‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】因为 ,所以当时,;当时,,所以为数列的最大项, 8‎ ‎5.若正数项数列的前项和为,首项,点在曲线上.‎ ‎ (1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,表示数列的前项和,若恒成立,求及实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ,‎ ‎【解析】(1)由得…………2分 所以数列是以为首项,1为公差的等差数列 所以,即…………4分 由公式得 所以…………6分 ‎6.【2018届四川省广安、眉山毕业班第一次诊断】已知数列的前项和为,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前项和为,求满足不等式的最小正整数.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)由可得,两式相减可得,又,利用累加法可求数列的通项公式;(2)由(1)知,利用裂项相消法可求出数列的前项和为,求解不等式可得,从而可得满足不等式的最小正整数.‎ 试题解析:(1)由,有,又,‎ 所以时, ‎ ‎.‎ 当时,也满足,‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)知,‎ 所以 令,解得,‎ 所以满足不等式的最小正整数为.‎ 3. 练原创 ‎1. 设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,n=1,2,3…,若,则的最大值是________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得 ‎,又,所以 ‎,而,所以,所以 ‎,所以的最大值是.‎ ‎2. 已知数列满足,,记,且存在正整数,使得对一切恒成立,则的最大值为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】,……‎ ‎,‎ 对一切恒成立,的最大值为:4.故答案为:4.‎ ‎3.已知等差数列的公差,且,当时,数列的前项和取得最小值,则首项的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用三角函数的降幂公式将条件转化为再利用和差化积公式转化,求得,从而可求得等差数列的公差,根据即可求得首项的取值范围.‎ ‎∵为等差数列,,‎ ‎,‎ ‎∵时,数列的前项和取得最小值,,‎ 故选D ‎4.已知数列,中,,数列的前项和为.‎ (1) 是否存在等比数列,使对任意恒成立?若存在,求出所有满足条件的数列的通项公式;若不存在,说明理由;‎ (2) 若,求证: .‎ ‎【答案】(1)一个是,另一个是;(2)‎ ‎ ‎ ‎(2)因为,故,,于是,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∴ ‎ 练---精准到位
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