2017-2018学年宁夏吴忠中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年宁夏吴忠中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

‎2017-2018学年宁夏吴忠中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，则( B )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎3．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )‎ A．2＋π B．2＋π C．2＋(1＋)π D．2＋π ‎[解析]:由三视图知，该几何体是倒立的半个圆锥，圆锥的底半径为1，高为2，故其表面积为S＝π·12＋×2×2＋π·1·＝2＋π，故选A．‎ ‎4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )‎ A. B．－ C．－ D. 解析:(λa＋b)·(a－2b)＝0，∴λa2＋(1－2λ)a·b－2b2＝0，‎ ‎∴13λ＋3－6λ－2＝0，∴λ＝－.答案　B ‎5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为( )‎ A．4 B．8 C．16 D．32‎ 解析　当i＝2，k＝1时，s＝1×(1×2)＝2；‎ 当i＝4，k＝2时，s＝×(2×4)＝4；‎ 当i＝6，k＝3时，s＝×(4×6)＝8；‎ 当i＝8时，i0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为( )‎ A.(k∈Z) B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) D.(k∈Z)‎ 解析:根据已知得T＝＝π，∴ω＝2.‎ 由不等式2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 即函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．答案　D ‎7．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如下：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ t ‎4.8‎ ‎6.7‎ 且回归方程是＝0.95x＋2.6，则t＝( )‎ A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵＝(0＋1＋2＋3＋4)＝2，∴＝0.95×2＋2.6＝4.5，‎ 又＝(2.2＋4.3＋t＋4.8＋6.7)，‎ ‎∴t＝4.5，故选C．‎ ‎8．在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )‎ A. B. C. D. 解析:在10～99中有99－10＋1＝90个整数，其中能被2整除的有45个，能被3整除的有30个，能被6整除的有15个，‎ 因此，所求的概率为P＝＝. 答案　C ‎9.给出下列四个命题：‎ ①命题“若，则”的逆否命题为假命题；‎ ②命题．则，使；‎ ‎ ③“”是“函数为偶函数”的充要条件；‎ ④命题“，使”；命题“若，则”，那么为真命题．‎ 其中正确的个数是（ ）‎ ‎． ． ． ． ‎ ‎【解析】①中的原命题为真，所以逆否命题也为真，所以①错误.②根据全称命题的否定式特称命题知，②为真.③当函数为偶函数时，有，所以为充要条件，所以③正确.④因为的最大值为，所以命题为假命题，为真，三角函数在定义域上不单调，所以为假命题，所以为假命题，所以④错误.所以正确的个数为2个，选B. 【答案】B ‎10.如果实数满足不等式组则的最小值是( )‎ A．25 B．5 C．4 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】在直角坐标系中画出不等式组 所表示的平面区域如图1所示的阴影部分，x2+y2的最小值即表示阴影部分（包含边界）中的点到原点的距离的最小值的平 方，由图可知直线x−y+1=0与直线x=1的交点(1，2)到原点最近，故x2+y2的最小值为 12+ 22=5. 选B.‎ ‎11. 已知x>0, y>0, 若＋>m2＋2m恒成立, 则实数m的取值范围是(　　)‎ A. m≥4或m≤－2 B. m≥2或m≤－4 C. －20, y>0, 所以＋≥2＝8.要使原不等式恒成立, 只需m2＋2m<8, 解得－40，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________________．‎ 解析:∵e2＝＝＝1＋＝， ∴＝，＝.‎ ‎ ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎14．在二项式的展开式中，含的项的系数是( )‎ A．－5 B．5 C．－10 D．10‎ 解析：Tk＋1＝C·(x2)5－k·k＝C·x10－2k·k·(－1)k＝C·x10－3k·(－1)k.‎ 由10－3k＝4知k＝2，即含的项的系数为C(－1)2＝10.答案：D ‎15．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有( )‎ A．24种 B．36种 C．60种 D．66种 解析：先排甲、乙外的3人，有A种排法，再插入甲、乙两人，有A种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占，故所求不同的站法有AA＝36(种)．答案：B ‎16．已知当时，函数与函数的图象如图所示，则当时，不等式的解集是__________．‎ ‎【解析】根据当时，函数与函数的图象如图，可得当或时，，且在上，．‎ 当时，令，由得．‎ ‎∴不等式，即，即．‎ 由所给图象得，即．‎ 故时，不等式的解集是．【答案】‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行．‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．‎ 解:(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，‎ 由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，‎ 又sinB≠0，从而tanA＝，‎ 由于00，所以c＝3.‎ 故△ABC的面积为S=bcsinA＝.‎ ‎18. （本小题满分12分）已知数列的前项和满足，数列满足，（）.‎ 求数列和的通项公式；‎ 设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎ ①‎ 当 ②‎ ‎①-②： ，即：‎ 又对都成立，所以是等比数列，‎ ‎ （） ‎ ‎ ① ‎ ‎ ②‎ ‎①-②：‎ ‎,对都成立 实数的取值范围为. ‎ ‎19. （本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.‎ ‎（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；‎ ‎（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的 学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与 学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和 ‎951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，‎ 根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05‎ 的前提下认为视力与学习成绩有关系?‎ ‎（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附：‎ ‎【知识点】概率综合 ‎【试题解析】（1）设各组的频率为， 由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，  因为后四组的频数成等差数列， 所以后四组频数依次为  所以视力在5．0以下的频率为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5．0以下的人数约为  （2） 因此在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为视力与学习成绩有关系． （3）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人， ‎ 可取0、1、2、3  ，  ， ，   的分布列为 的数学期望 ‎20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点E是棱PC的中点，平面与棱交于点．‎ ‎（1）求证：AB∥EF；‎ ‎（2）若，且平面平面，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．‎ 解析：（1）∵底面是菱形，∴，又∵面，面，‎ ‎∴面，又∵，，，四点共面，且平面平面，‎ ‎∴；‎ ‎（2）取中点，连接，，‎ ‎∵，∴，又∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，∴，在菱形中，∵，‎ ‎，是中点，∴，‎ 如图，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，，又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，∴，，,，设平面的法向量为，则有，∴，不妨令，则平面的一个法向量为，‎ ‎∵平面，∴是平面的一个法向量，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，‎ ‎ ∴所求椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ ‎（1）当AB⊥x轴时，．‎ ‎（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．‎ 由已知，得．‎ 把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，‎ ‎∴，．‎ ‎∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，‎ 综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．‎ ‎22. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为.‎ ‎（1）求圆C的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值.‎ 解析:（1）由得 消去参数t，得， 所以圆C的普通方程为．由， 得，即， 换成直角坐标系为， 所以直线l的直角坐标方程为． （2）化为直角坐标为在直线l上，并且， 设P点的坐标为， 则P点到直线l的距离为， ， 所以面积的最小值是