2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§7-2　平面向量的数量积及向量的综合应用（试题部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§7-2　平面向量的数量积及向量的综合应用（试题部分）

‎§7.2　平面向量的数量积及向量的综合应用 基础篇固本夯基 ‎【基础集训】‎ 考点一　平面向量的数量积 ‎1.已知向量AB=(1,2),AC=(-3,1),则AB·BC=(　　)‎ A.6　　　B.-6　　　C.-1　　　D.1‎ 答案　B ‎2.已知向量m=(1,2),n=(2,3),则m在n方向上的投影为(　　)‎ A.‎13‎　　　B.8　　　C.‎8‎‎5‎‎5‎　　　D.‎‎8‎‎13‎‎13‎ 答案　D 考点二　平面向量数量积的应用 ‎3.已知单位向量e1,e2的夹角为θ,且tan θ=2‎2‎,若向量m=2e1-3e2,则|m|=(　　)‎ A.9　　　B.10　　　C.3　　　D.‎‎10‎ 答案　C ‎4.△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则向量a,b的夹角为(　　)‎ A.30°　　　B.60°　　　C.120°　　　D.150°‎ 答案　C ‎5.已知|a|=‎10‎,a·b=-‎5‎‎30‎‎2‎,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为(　　)‎ A.‎2π‎3‎　　　B.‎3π‎4‎　　　C.‎5π‎6‎　　　D.‎π‎3‎ 答案　C ‎6.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则‎|2a-b|‎a·(a+b)‎等于(　　)‎ A.-‎5‎‎3‎　　　B.1　　　C.2　　　D.‎‎5‎‎4‎ 答案　B ‎7.已知点P(-1,‎3‎),O为坐标原点,点Q是圆O:x2+y2=1上一点,且OQ·PQ=0,则|OP+OQ|=(　　)‎ A.‎3‎　　　B.‎5‎　　　C.‎7‎　　　D.7‎ 答案　C ‎8.已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最大值与最小值的和为(　　)‎ A.0　　　B.‎3‎　　　C.‎2‎　　　D.‎‎7‎ 答案　D 综合篇知能转换 ‎【综合集训】‎ 考法一　求向量模的方法 ‎1.(2019甘肃静宁一中第三次模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5‎2‎,则|b|=(　　)‎ A.‎2‎　　　B.‎5‎　　　C.2　　　D.5‎ 答案　D ‎2.(2018重庆4月调研测试(二诊))已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|=(　　)‎ A.2　　　B.2‎3‎　　　C.4　　　D.12‎ 答案　A ‎3.(2019豫北名校期末联考,7)已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|=(　　)‎ A.2‎5‎　　　B.‎5‎　　　C.2　　　D.1‎ 答案　A 考法二　求平面向量夹角的方法 ‎4.(2018云南玉溪模拟,4)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b夹角的余弦值为(　　)‎ A.‎3‎‎10‎‎10‎　　　B.-‎3‎‎10‎‎10‎　　　C.‎2‎‎2‎　　　D.-‎‎2‎‎2‎ 答案　C ‎5.(2019吉林长春质量监测(一),6)已知平面向量a、b满足|a|=|b|=1,若(2a-b)·b=0,则向量a、b的夹角为(　　)‎ A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.120°‎ 答案　C ‎6.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若‎3‎e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎3‎ ‎7.(2018河南安阳二模,15)已知在△OAB中,OA=OB=2,AB=2‎3‎,动点P位于线段AB上,则当PA·PO取最小值时,向量PA与PO的夹角的余弦值为　　　　. ‎ 答案　-‎‎21‎‎7‎ 应用篇知行合一 ‎【应用集训】‎ ‎1.(2015福建,9,5分)已知AB⊥AC,|AB|=‎1‎t,|AC|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且AP=AB‎|AB|‎+‎4‎AC‎|AC|‎,则PB·PC的最大值等于(　　)‎ A.13　　　B.15　　　C.19　　　D.21‎ 答案　A ‎2.(2018广东广州华南师大附中月考,10)如图,半径为1的扇形AOB中,∠AOB=‎2π‎3‎,P是弧AB上的一点,且满足OP⊥OB,M,N分别是线段OA,OB上的动点,则PM·PN的最大值为(　　)‎ A.‎2‎‎2‎　　　B.‎3‎‎2‎　　　C.1　　　D.‎‎2‎ 答案　C ‎3.(2019河南十所名校尖子生第二次调研,15)已知A,B,C均位于同一单位圆O上,且BA·BC=|AB|2,若PB·PC=3,则|PA+PB+PC|的取值范围为　　　　　. ‎ 答案　[5,7]‎ ‎【五年高考】‎ 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2019课标Ⅱ,3,5分)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=(　　)‎ A.-3　　　B.-2　　　C.2　　　D.3‎ 答案　C ‎2.(2018课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)‎ A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.0‎ 答案　B ‎3.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2‎3‎,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BD·AE=　　　　. ‎ 答案　-1‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎4.(2019课标Ⅰ,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)‎ A.π‎6‎　　　B.π‎3‎　　　C.‎2π‎3‎　　　D.‎‎5π‎6‎ 答案　B ‎5.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量BA=‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎,BC=‎3‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎,则∠ABC=(　　)‎ A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.120°‎ 答案　A ‎6.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　　　B.必要而不充分条件 C.充分必要条件　　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　D ‎7.(2017课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是(　　)‎ A.-2　　　B.-‎3‎‎2‎　　　C.-‎4‎‎3‎　　　D.-1‎ 答案　B ‎8.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE·BE的最小值为(　　)‎ A.‎21‎‎16‎　　　B.‎3‎‎2‎　　　C.‎25‎‎16‎　　　D.3‎ 答案　A ‎9.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=‎1‎‎3‎.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　)‎ A.4　　　B.-4　　　C.‎9‎‎4‎　　　D.-‎‎9‎‎4‎ 答案　B ‎10.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是(　　)‎ A.|b|=1　　　B.a⊥b　　　C.a·b=1　　　D.(4a+b)⊥‎BC 答案　D ‎11.(2019课标Ⅲ,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-‎5‎b,则cos=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎ ‎12.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎13.(2019江苏,12,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若AB·AC=6AO·EC,则ABAC的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ ‎14.(2017天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎11‎ 教师专用题组 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=‎10‎,|a-b|=‎6‎,则a·b=(　　)‎ A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.5‎ 答案　A ‎2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为(　　)‎ A.-‎5‎‎8‎　　　B.‎1‎‎8‎　　　C.‎1‎‎4‎　　　D.‎‎11‎‎8‎ 答案　B ‎3.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,则AM·NM=(　　)‎ A.20　　　B.15　　　C.9　　　D.6‎ 答案　C ‎4.(2013课标Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎5.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AE·BF的最小值为　　　　. ‎ 答案　-3‎ ‎6.(2015湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA·OB=　　　　. ‎ 答案　9‎ ‎7.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=λBC,DF=‎1‎‎9λDC,则AE·AF的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎29‎‎18‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎8.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π‎3‎,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　　)‎ A.‎3‎-1　　　B.‎3‎+1　　　C.2　　　D.2-‎‎3‎ 答案　A ‎9.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足|DA|=|DB|=|DC|,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是(　　)‎ A.‎43‎‎4‎　　　B.‎49‎‎4‎　　　C.‎37+6‎‎3‎‎4‎　　　D.‎‎37+2‎‎33‎‎4‎ 答案　B ‎10.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,则(　　)‎ A.I10,若对任意的实数λ,|a-λb|的最小值为‎3‎,则此时|a-b|=(　　)‎ A.1　　　B.2　　　C.‎2‎　　　D.‎‎3‎ 答案　D ‎9.(2020届浙江杭州二中开学考,8)如图,已知等腰梯形ABCD中,AB=2DC=4,AD=BC=‎5‎,E是DC的中点,F是线段BC上的动点,则EF·BF的最小值是(　　)‎ A.0　　　B.-‎9‎‎5‎　　　C.-‎4‎‎5‎　　　D.1‎ 答案　B 二、多项选择题(每题5分,共15分)‎ ‎10.(2020届山东德州一中开学考,12)已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为‎3‎‎2‎,则下列结论正确的是(　　)‎ A.e1,e2的夹角是π‎3‎　　　　　B.e1,e2的夹角是π‎3‎或‎2π‎3‎ C.|e1+e2|=1或‎3‎　　　　　D.|e1+e2|=1或‎3‎‎2‎ 答案　BC ‎11.(改编题)已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2(k∈R),则以下结论正确的是(　　)‎ A.若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2‎ B.若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2‎ C.存在k,使得a与b不共线,e1与e2共线 D.不存在k,使得a与b不共线,e1与e2共线 答案　AD ‎12.(2020届百师联盟期中联考)已知向量a=(sin α,cos α),b=(1,2),则下列命题正确的是(　　)‎ A.若a∥b,则tan α=‎‎1‎‎2‎ B.若a⊥b,则tan α=‎‎1‎‎2‎ C.若f(α)=a·b取得最大值,则tan α=‎‎1‎‎2‎ D.|a-b|的最大值为‎5‎+1‎ 答案　ACD 三、填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13.(2020届皖江名校联盟八月摸底,13)已知向量a=(2,3),b=(-1,m),且a与(a+b)垂直,则m=　　　　. ‎ 答案　-‎‎11‎‎3‎ ‎14.(2020届浙江超级全能生第一次联考,13)已知单位向量e1,e2的夹角为60°,则|e1+2e2|=　　　　,|e1+λe2|(λ∈R)的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎7‎;‎‎3‎‎2‎ ‎15.(2018新疆乌鲁木齐地区第一次诊断)在△ABC中,CA=2CB=2,CA·CB=-1,O是△ABC的外心,若CO=xCA+yCB,则x+y=　　　　. ‎ 答案　‎‎13‎‎6‎ ‎16.(2020届北京一零一中学开学考,9)已知菱形ABCD的边长为1,∠B=60°,点E,F分别是边AB,BC的中点,则AF·DE的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎8‎ 四、解答题(共20分)‎ ‎17.(原创题)已知单位向量a,b,在下列条件①|a+b|=　　　　;②|a-b|=　　　　;③a·(a-b)=　　　　中选择一个条件　　　,并在“　　　　”处填上适当的数,使得a·b的夹角为π‎3‎. ‎ 解析　若选条件①,∵=π‎3‎,‎ ‎∴|a+b|=‎(a+b‎)‎‎2‎=a‎2‎‎+2a·b+‎b‎2‎=‎1+2×1×1×‎1‎‎2‎+1‎=‎3‎,故填‎3‎,反之亦成立.此处填条件①;‎3‎.‎ 若选条件②,∵|a|=|b|=1,且=π‎3‎,∴|a-b|=a‎2‎‎-2a·b+‎b‎2‎=‎1-2×1×1×‎1‎‎2‎+1‎=1,反之亦成立,故填条件②;1.‎ 若选条件③,∵|a|=|b|=1,=π‎3‎,∴a·(a-b)=a2-a·b=1-1×1×‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎,反之亦成立,‎ 故填条件③;‎1‎‎2‎.以上三种每一种结果均可.‎ ‎18.(2020届福建泉州实验中学第一次月考,18)已知a=(x,1),b=(4,-2).‎ ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)当a⊥b时,求|2a-b|;‎ ‎(3)若a与b所成角为钝角,求x的取值范围.‎ 解析　本题主要考查平面向量的平行,垂直及夹角问题的求解,考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.‎ ‎(1)∵a=(x,1),b=(4,-2),a∥b,‎ ‎∴x·(-2)-1×4=0,∴x=-2.‎ ‎(2)∵a⊥b,∴a·b=4x-2=0,解得x=‎1‎‎2‎,∴a=‎1‎‎2‎‎,1‎,2a-b=2‎1‎‎2‎‎,1‎-(4,-2)=(-3,4),‎ ‎∴|2a-b|=‎(-3‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎=5.‎ ‎(3)∵a与b所成角为钝角,∴a·b<0,且a与b不共线.‎ 由a·b=(x,1)·(4,-2)=4x-2<0得x<‎1‎‎2‎,‎ 由a与b不共线,得-2x-4≠0,得x≠-2,∴a与b所成角为钝角时,x的取值范围是xx<‎1‎‎2‎,且x≠-2‎.‎