专题12+椭圆测试题-2019年高考数学艺术生百日冲刺专题测试

专题12+椭圆测试题-2019年高考数学艺术生百日冲刺专题测试

‎2019年艺术生百日冲刺专题测试 专题12椭圆测试题 ‎【高频考点】本知识涉及椭圆的定义，标准方程以及简单的几何性质的应用，直线与椭圆的位置关系。‎ ‎【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一，涉及客观题和解答题，客观题主要考查椭圆方程的求解，椭圆的几何性质等，难度中等，在解答题中多以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系 ，定值定点，以及最值问题，常常以探索性问题形式出现，难度较大。‎ ‎【重点推荐】基础卷第11题，数学文化题，第22题考察与不等式的交汇，考察综合解决问题的能力。‎ 一． 选择题 ‎1. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（0，1） D．（﹣1，0）‎ ‎【答案】C ‎【解析】：方程表示焦点在x轴上的椭圆，可得m∈（0，1）．故选：C．‎ ‎2. 设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（　　）‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎【答案】：C ‎【解析】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2． ‎ 故选：C．‎ ‎3. 设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的点，且|F1F2|=8，|PF1|+|PF2|=10，则椭圆的短轴长为（　　）‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】：A ‎【解析】设F1、F2是椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的点，且|F1F2|=8，可得c=4，‎ ‎|PF1|+|PF2|=10，可得a=5，则椭圆的短轴长为：2b=2=6．故选：A．‎ ‎4. （2018•大连二模）设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是（　　）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎【答案】：C ‎【解析】如图，设F2是椭圆的右焦点，∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，∴AF=BF2．∴|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4，故选：C．‎ ‎5若点F1，F2为椭圆的焦点，P为椭圆上的点，满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．4‎ ‎【答案】：A ‎6. （2018•齐齐哈尔二模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长大于2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．（2，4） D．（4，8）‎ ‎【答案】：B ‎【解析】根据题意，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，即e==，则c=a，又由椭圆短轴长大于2，即2b＞2，则b＞1，则有a2﹣c2=b2＞1，即＞1，解可得a＞2，则该椭圆的长轴长2a＞4，即该椭圆的长轴长的范围为（4，+∞）；故选：B．‎ ‎7. （2018•大连二模）设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则△AFB周长的取值范围是（　　）‎ A．（2，4） B． C．（6，8） D．（8，12）‎ ‎【答案】：C ‎【解析】∵椭圆的左焦点为F（﹣，0），右焦点F2（，0），直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，连结BF2，则AF=BF2，AB=2OB，由一的定义可知：BF+BF2=2a=4，OB∈（1，2），则△AFB周长的取值范围是（6，8）．故选：C． ‎ ‎15. 设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为　　．‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），‎ ‎∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|． 又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．‎ 依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，‎ 故椭圆方程为 +=1，即 +=1．故答案为：‎ ‎16（2018•西宁二模）已知椭圆C：=1，F1，F2是该椭圆的左右焦点，点A（4，1），P是椭圆上的一个动点，当△APF1的周长取最大值时，△APF1的面积为　　．‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：如图所示，由椭圆C=1可得a=5，右焦点F2（4，0）．|F1F2|=8‎ ‎∵|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PF1|+|PA|=10﹣|PF2|+|PA|≤10+|AF2|．‎ ‎△APF1的周长取最大值时，三点P、A、F2共线，且点P在第四象限，‎ 此时F1F2⊥AP，|PF2|==，△APF1的面积S=|F1F2|×|PA|=．‎ 故答案为：．‎ 三.解答题 ‎17. 已知椭圆的离心率为，其中左焦点F(-2,0).‎ ‎（1） 求椭圆C的方程；‎ ‎（2） 若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值. ‎ ‎【解析】：（1） 由题意，得 解得∴椭圆C的方程为.…………5分 ‎（2） 设点A、B的坐标分别为（x1,y1),(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0)，‎ 由消y得，3x2+4mx+2m2-8=0,‎ Δ=96‎-8m2‎＞0,∴-2＜m＜2.…………8分 ‎.‎ ‎∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=1上，‎ ‎， .……10分 ‎18. （2018•广陵区校级四模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线x+y﹣3垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线x=4交于点Q，且=9，求点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）由直线AF与直线x+y﹣3垂直，可得：=1，则直线AF的方程为：y=x+c．与椭圆方程联立可得B（，），于是﹣c=0，解得c，即可得出椭圆方程．‎ ‎（2）设P（x0，y0），则直线MP的方程为y=（x+2），可得Q.9==2（x0+2）+，由点P在椭圆上可得：=2﹣，代入解出即可得出．‎ ‎（2）设P（x0，y0），则直线MP的方程为y=（x+2），∴Q．‎ ‎∴9==2（x0+2）+，………7分 由点P在椭圆上可得：=2﹣，代入可得：9=2（x0+2）+，‎ 化为：+x0﹣2=0，解得x0=1或﹣2．（舍），‎ ‎∴P．…………12分 ‎19. （2018•江苏一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，，点A是椭圆的下顶点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点A且互相垂直的两直线l1，l2与直线y=x分别相交于E，F两点，已知OE=OF，求直线l1的斜率．‎ ‎【分析】（1）根据题意，将两点的坐标代入椭圆的方程有，解可得、的值，即可得椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线l1：y=k1x﹣1，与直线y=x联立方程有，可得E的坐标，设直线l2：，同理可得F的坐标，又由OE=OF，所以，解可得k的值，即可得答案．‎ ‎【解析】：（1）根据题意，椭圆C：（a＞b＞0）经过点，，‎ 则有，解得，…………3分 所以椭圆C的标准方程为；…………5分 ‎（2）由题意知A（0，﹣1），直线l1，l2的斜率存在且不为零，‎ 设直线l1：y=k1x﹣1，与直线y=x联立方程有，得，‎ 设直线l2：，同理，…………7分 因为OE=OF，所以，‎ ‎①，无实数解；‎ ‎②，，，解得，‎ 综上可得，直线l1的斜率为．……12分 ‎20 （2018•辽宁模拟）已知M（）是椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，F1F2是该椭圆的左右焦点，且|F1F2|=2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且k1k2=k2．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆的定义及椭圆的性质，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得k2=，即可求得|OA|2+|OB|2=5为定值．‎ ‎【解析】：（1）由题意，F1（﹣，0），F2（，0），根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，‎ 所以2a=+=4，‎ 所以a2=4，b2=a2﹣c2=1‎ 椭圆C的方程；…………5分 ‎（2）设直线AB：y=kx+m，（km≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，‎ ‎△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 因为k1k2=k2，所以•=k2，‎ 即km（x1+x2）+m2=0（m≠0），解得k2=，…………8分 ‎|OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22=[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2=5，‎ 所以|OA|2+|OB|2=5为定值．…………12分 ‎21. （2018•南充模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）设l的方程为y=x+m，再与椭圆方程联立，将∠AOB为钝角，转化为＜0，且m≠0，利用韦达定理，即可求出直线l在y轴上的截距m的取值范围．‎ ‎【解析】：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．‎ ‎∴，解得a=2，b=，c=，…………3分 ‎∴椭圆C的方程为=1．………………5分 ‎ ‎（2）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k=kOM=，‎ 又l在y轴上的截距为m，∴l的方程为y=．‎ 由，得x2+2mx+2m2﹣4=0．…………8分 又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，于是﹣2＜m＜2．‎ ‎∠AOB为钝角等价于＜0，且m≠0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则=x1x2+y1y2==，‎ 由韦达定理x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，代入上式，‎ 化简整理得m2＜2，即，故所求范围是（﹣）∪（0，）．…………12分 ‎22. （2018•聊城一模）已知圆x2+y2=4经过椭圆C：的两个焦点和两个顶点，点A（0，4），M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且∠MAN的平分线在y轴上，|AM|≠|AN|．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：直线MN过定点．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，由圆的方程分析可得椭圆的焦点和顶点坐标，即可得c、b的值，由椭圆的几何性质计算可得a的值，即可得椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，与椭圆的方程联立，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系分析直线AM、AN的斜率，进而分析可得k1+k2==0，解可得m的值，由直线的斜截式方程即可得答案．‎ ‎（Ⅱ）证明：设直线MN的方程为y=kx+m．‎ 由，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．‎ 直线AM的斜率=；‎ 直线AN的斜率=．‎ k1+k2===．…………8分 由∠MAN的平分线在y轴上，得k1+k2=0．‎ 即=0，‎ 又因为|AM|≠|AN|，所以k≠0，‎ 所以m=1．‎ 因此，直线MN过定点（0，1）．……12分