2019-2020学年四川省雅安市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年四川省雅安市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省雅安市高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．直线经过点，，则直线的斜率是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接代入斜率公式可以求出直线的斜率.‎ ‎【详解】‎ 因为直线经过点，，所以直线的斜率为，故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线斜率公式，熟记直线斜率公式是解题的关键.‎ ‎2．已知空间中两点,则长为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据空间中的距离公式，准确计算，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由空间中的距离公式，可得，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中的距离公式，其中解答中熟记空间中的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3．如图程序框图的算法思路源于我因古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序相图，若输入分别为2，6，则输出的a等于（ ）‎ A．4 B．0 C．2 D．14‎ ‎【答案】C ‎【解析】由循环结构的特点，先判断再执行，分别计算出当前的、的值，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎，，满足且不满足，‎ 则变为，此时满足且不满足，‎ 则变为，此时不满足，此时.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的运算，属于基础题.‎ ‎4．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值.‎ ‎【详解】‎ 能组成两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，总共有9种情况.‎ 其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题.‎ ‎5．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：‎ 甲：7，7，8，8，10；‎ 乙：8，9，9，9，10．‎ 若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别计算出他们的平均数和方差，比较即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故，．‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6．已知x和y之间的一组数据 则y与x的线性回归方程必过点(　　)‎ A．(2,2) B． C．(1,2) D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,‎ ‎∴x与y组成的线性回归方程必过点(,4)‎ 故选B.‎ ‎7．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.‎ ‎【详解】‎ 因为圆心，半径，直线与圆相交，所以 ‎，解得 ‎ 所以相交的概率,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.‎ ‎8．椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，轴，且是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意可知，结合，化简后可求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 由于轴，且是等腰直角三角形，所以，即，即.两边除以得，解得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查椭圆的几何性质，考查等腰直角三角形的几何性质，考查椭圆离心率的求法.解题的关键是通过阅读题目，得到一个方程，然后结合，将得到的方程转化为离心率的形式，然后解方程可求得离心率的值.考查了分析和求解问题的能力，属于基础题.‎ ‎9．已知直线与曲线有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】转化条件得曲线为，直线恒过，画出图形即可得解.‎ ‎【详解】‎ 对曲线两边同时平方可得，可知曲线为半圆，‎ 直线恒过，如图，当直线与曲线相切时，圆心到直线的距离 解得或（舍去），‎ 所以要使直线与曲线有两个不同的交点应使.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，考查了转化化归和数形结合思想，属于中档题.‎ ‎10．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．2 C．4 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作垂直准线于点，根据抛物线的定义，得到，当三点共线时，的值最小，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 如图，作垂直准线于点，由题意可得，‎ 显然，当三点共线时，的值最小；‎ 因为，，准线，‎ 所以当三点共线时，，所以.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.‎ ‎11．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意求出，所求概率即为，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意易知，，‎ 由余弦定理得即，‎ 所以，则所求概率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.‎ ‎12．设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆E于两点，若的面积是的三倍，，则椭圆E的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则，，，利用余弦定理可得，从而可得为等腰直角三角形，，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 的面积是的三倍，‎ ‎，设，则，，，‎ ‎，‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 即 化简得或（舍去）.‎ 则，.‎ 易知为等腰直角三角形，‎ ‎，椭圆离心率为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的性质和余弦定理的应用，考查了转化化归的思想和计算能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由中位数和平均数的定义可得x，y的值，计算可得结果．‎ ‎【详解】‎ 甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；‎ 由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，‎ 乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，‎ ‎∴x+y=5．‎ 故答案为5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题．‎ ‎14．已知一个算法，其流程图如图所示，则输出结果是_____________.‎ ‎【答案】81‎ ‎【解析】根据程序框图的特征，先循环再判断，逐步计算当前的值，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 进入循环，‎ 此时的值为，此时不满足，‎ 再进入循环，此时的值为，此时不满足，‎ 再进入循环，此时的值为，此时不满足，‎ 再进入循环，此时的值为，此时满足，输出结果.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的运算，属于基础题.‎ ‎15．同时掷两颗骰子，则向上的点数之和是7的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，记抛掷两颗骰子向上的点数分别为，，则可得到数组共有组，其中满足的组数共有6组，分别为，，，，，，因此所求的概率等于，故答案为.‎ ‎16．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线l，切点为M，且直线l与双曲线C的一个交点N满足，O为坐标原点，若，则双曲线C的渐近线方程为__________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得点在双曲线的右支，点为的中点，根据中位线的性质可得和，由勾股定理和双曲线的性质可得、、之间的关系后即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由可知点在双曲线的右支，如图：‎ 由可知为的中点，‎ ‎，，，‎ 由为切点，可得，，‎ 即，‎ ‎，‎ 渐近线方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的性质和向量的线性运算，考查了转化化归的思想和计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．三角形ABC的三个顶点A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：‎ ‎（1）BC边所在直线的方程；‎ ‎（2）BC边上高线AD所在直线的方程．‎ ‎【答案】（1）x+2y-4=0 （2）2x-y+6=0‎ ‎【解析】（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可； ‎ ‎（2）先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）BC边所在直线的方程为：‎ ‎=，‎ 即x+2y-4=0；‎ ‎（2）∵BC的斜率K1=-，‎ ‎∴BC边上的高AD的斜率K=2，‎ ‎∴BC边上的高线AD所在直线的方程为：y=2（x+3），‎ 即2x-y+6=0．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题。‎ ‎18．已知圆心为的圆经过原点O.‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）求与直线平行，且与圆C相切的直线方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题意求出半径后即可得解；‎ ‎（2）设直线方程为，利用直线与圆相切的性质列出方程即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆的半径为 从而圆的方程为 ‎（2）设直线方程为，‎ 圆心为，半径为，直线与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离为 ‎∴，，方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的方程的确定和直线与圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎19．高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：‎ ‎(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；‎ ‎(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90,100]之间的概率．‎ ‎【答案】（1）0. 016；（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，可得到参加校生物竞赛的人数，再根据分数在[80,90)之间的频率求频数，根据矩形高等于对应频率除以组距得高（2）先根据枚举法列出所有基本事件，再计数至少有1人分数在[90,100]之间基本试卷数，最后根据古典概型概率公式求概率 试题解析：　(1)因为分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0. 008×10＝0. 08，所以高一(1)班参加校生物竞赛的人数为＝25．‎ 分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率为＝0. 16，‎ 所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为＝0. 016．‎ ‎(2)设“至少有1人分数在[90,100]之间”为事件A，将[80,90)之间的4人编号为1、2、3、4，[90,100]之间的2人编号为5、6．‎ 在[80,100]之间任取2人的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．其中，至少有1人分数在[90,100]之间的基本事件有9个，‎ 根据古典概型概率的计算公式，得P(A)＝＝．‎ ‎20．如图，已知是半圆的直径， ， 是将半圆圆周四等分的三个分点．‎ ‎（1）从这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；‎ ‎（2）在半圆内任取一点，求的面积大于的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：对于问题（1）首先求出从个点中任取个点，一共可以组成的三角形的个数，再求出以 为直径的三角形的个数，即可求出所求的概率；对于问题（2）首先求出当三角形的面积等于时点在半圆内的位置，然后再根据几何概型即可求得所需的结论.‎ 试题解析：（1）从这个点中任取个点，一共可以组成个三角形： ，其中是直角三角形的只有 个，所以组成直角三角形的概率为．‎ ‎（2）连接，取线段的中点，则，‎ 易求得，当点在线段上时， ，‎ 所以只有当点落在阴影部分时， 面积才能大于，而，所以由几何概型的概率公式得的面积大于的概率为．‎ ‎【考点】1、古典概型；2、几何概型.‎ ‎21．已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，‎ 求双曲线的渐近线方程；‎ 当时，的面积为，求此双曲线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，根据点到直线距离公式可得，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可得，再根据的面积为，可得，得，从而可得结果.‎ 试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.‎ ‎（2）因为，由余弦定理得，即．又由双曲线的定义得，平方得，相减得．‎ 根据三角形的面积公式得，得．再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.‎ ‎22．已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）如图，过作直线l与椭圆分别交于两点，若的周长为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由题意和椭圆的性质可得，化简后得，即可得解；‎ ‎（2）转化条件得椭圆C的方程为，当直线斜率不存在时，求出、坐标后即可求出；当直线斜率不存在时，设，‎ ‎，联立方程组后由韦达定理得，，则，即可求出的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，即 化简得，所以；‎ ‎（2）因为的周长为，所以，得，‎ 由（1）知，所以椭圆C的方程为，‎ 且焦点为，‎ ‎①若直线l斜率不存在，方程为，解方程组 可得或即，，‎ 可得，‎ 故 ‎②若直线l斜率存在，设l方程为由 解得 设，，则，‎ 由可得.‎ 综上所述，.‎ 所以最大值是 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系，考查了与椭圆有关的最值问题，属于中档题.‎