2018-2019学年广东省揭阳市惠来县第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年广东省揭阳市惠来县第一中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 广东省揭阳市惠来县第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．不等式x2+2x﹣3≥0的解集为（　　）‎ A．{x|x≥3或x≤﹣1} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|x≥1或x≤﹣3} D．{x|﹣3≤x≤1}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把原不等式的左边利用十字相乘的方法分解因式后，根据两数相乘同号得正的取符号法则得到x﹣1与x+3同号，可化为两个不等式组，求出两不等式解集的并集即可得到原不等式的解集．‎ ‎【详解】‎ 不等式x2+2x﹣3≥0，‎ 因式分解得：（x﹣1）（x+3）≥0，‎ 可化为：或： ， ‎ 解得：x≥1或x≤﹣3，‎ 则原不等式的解集为{x|x≥1或x≤﹣3}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，这种转化的理论依据为两数相乘（除），同号得正，异号得负的法则．‎ ‎2．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是（ ）‎ A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图的数据，利用平均值和数值分布情况进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图知，甲的得分情况为17，16，28，30，34；‎ 乙的得分情况为15，28，26，28，33，‎ 因此可知甲的平均分为，‎ 乙的平均分为=86，‎ 故可知＜，排除C、D，‎ 同时根据茎叶图数据的分布情况可知，乙的数据主要集中在8左右，甲的数据比较分散，‎ 乙比甲更为集中，故乙比甲成绩稳定，选B．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图的应用，以及平均数的求法要求熟练掌握相应的概念和公式，考查学生的计算能力．‎ ‎3．若是等差数列，与的等差中项为1，与的等差中项为2，则公差（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意和等差中项可得a1+a2＝2，a2+a3＝4，两式相减可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，‎ ‎∴a1+a2＝2，a2+a3＝4，两式相减可得a3﹣a1＝2d＝4﹣2，‎ 解得d＝1‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式，涉及等差中项的定义，属基础题．‎ ‎4．满足以下条件的三角形无解的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：A项，，所以角有两个解，故A项不符合题意；B项，，与A项同理，角也有两个解，故B项不符合题意；C项，，所以角是直角，仅有一个解，故C项不符合题意；D项，，所以无解，故D项符合题意.故本题正确答案为D.‎ 考点：利用正弦定理解三角形.‎ ‎5．下列命题中，正确的是（ ）‎ A． B．常数数列一定是等比数列 C．若，则 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：对于A,,A错误；对于B,常数数列不一定是等比数列,如,B错误；对于C,若，C正确；对于D,时,时,,D错误.所以C选项是正确的.‎ 考点：命题的判断.‎ ‎6．设实数满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A.13 B.10.5 ‎ C.10 D.0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为.‎ 考点：线性规划.‎ ‎7．要得到函数的图象，只要将函数的图象 A．向右平移单位 B．向左平移单位 C．向左平移单位 D．向右平移单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于函数y＝sin（2x）＝sin2（x），故只要将函数y＝sin2x的图象相左平移个单位即可．‎ ‎【详解】‎ 由于函数y＝sin（2x）＝sin2（x），‎ 故只要将函数y＝sin2x的图象相左平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x）的图象，故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数y＝Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．‎ ‎8．已知公差不为0的等差数列满足，成等比数列，为数列的前项和，则的值为（ ）‎ A．-3 B．-2 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得：a3＝a1+2d，a4＝a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1＝﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为d，首项为a1，‎ 所以a3＝a1+2d，a4＝a1+3d．‎ 因为a1、a3、a4成等比数列，‎ 所以（a1+2d）2＝a1（a1+3d），解得：a1＝﹣4d．‎ 所以2，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．‎ ‎9．中，点在上，平分．若，，，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，得到，又，将各向量用，表示，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵CD为角平分线，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线，则AB：AC＝BD：CD,属于基础题.‎ ‎10．已知三角形的三边长是公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（ ）‎ A．18 B．15 C．21 D．24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形ABC三边构成公差为2的等差数列，设三边分别为a，a+2，a+4，根据最大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出a的值，即可确定出三角形的周长．‎ ‎【详解】‎ 根据题意设△ABC的三边长分别为a，a+2，a+4，且a+4所对的角为最大角α，‎ ‎∵sinα，∴cosα或，‎ 当cosα时，α＝60°，不合题意，舍去；‎ 当cosα时，α＝120°，由余弦定理得：cosα＝cos120°，‎ 解得：a＝3或a＝﹣2（不合题意，舍去），‎ 则这个三角形周长为a+a+2+a+4＝3a+6＝9+6＝15．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于综合题．‎ ‎11．已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为 （ ）‎ A．10 km B． km C． km D． km ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用余弦定理求出A，C两地的距离即可．‎ ‎【详解】‎ 因为A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，‎ 则A，C两地的距离为：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•BCcos∠ABC＝102+202﹣2700．‎ 所以AC＝10km．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．‎ ‎12．记不等式组所表示的平面区域为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据平面区域，易知当时，由题设得，所以，故选D.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．等比数列中，，，则数列的公比为__________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题设可得，解之得或，又因，故，所以应填。‎ 考点：等比数列的有关知识及运用。‎ ‎14．在中,，那么__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由b，c及sinC的值，利用正弦定理求出sinB的值，进而确定出B的度数，利用内角和定理即可A的度数．‎ ‎【详解】‎ ‎∵b，c＝2，C＝60°，‎ ‎∴由正弦定理得：sinB，‎ ‎∵b＜c，∴B＜C，‎ ‎∴B＝45°，‎ 则C＝180°﹣（B+C）＝180°﹣105°＝75°．‎ 故答案为：75°‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎15．已知直线l经过点和点，若点（）在直线l上移动且在第一象限内，则的最大值为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由斜率公式可得斜率为 故直线的方程为 则 当时，‎ 故答案为 点睛：本题求的最大值，可以考虑降元，由二元转化为一元，由题意可知点（）在直线l上移动且在第一象限内，这样就建立了、的数量关系，利用一元二次函数求得最值。‎ ‎16．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：是开口向上的二次函数,且对称轴为,由二次函数的图象可知函数在区间上是减函数,所以当时,，所以.‎ 考点：不等式恒成立，二次函数求最值.‎ ‎【方法点晴】本题考查的不等式恒成立问题，恒成立,即所以问题转化为二次函数在区间上的最小值问题，‎ 是开口向上的二次函数,且对称轴为,由二次函数的图象可知函数在区间上是减函数,所以当时,，所以.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．(1)等差数列中，已知， 求n的值.‎ ‎ (2)在等比数列中，，公比，前项和，求首项 和项数．‎ ‎【答案】（1）50（2）5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出公差，由此能求出结果． （2）由已知条件利用等比数列的通项公式能求出首项和项数n．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，‎ 所以，‎ 由得：，解得n=50 ‎ ‎（2）因为，公比 所以由得：，解得 所以 因为，所以解得．‎ ‎【点睛】‎ 求数列的通项公式是常考题，此类题目较容易．对于等差数列，只要找到首项和公差就可；而等比数列则需首项和公比．‎ ‎18．已知关于的不等式.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求的值；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由不等式的解集为，再由和是一元二次方程的两根，利用韦达定理，列出方程组，即可求解的值；（2）因不等式的解集为，分和讨论，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）由不等式的解集为，‎ 可知，-3和-1是一元二次方程的两根，（2分）‎ 所以，解得. （4分）‎ ‎（2）因不等式的解集为，‎ 若，则不等式，此时，不合题意； （6分）‎ 若，则，解得 （9分）‎ 综上实数的取值范围为. （10分）‎ 考点：一元二次不等式的应用.‎ ‎19．已知数列的前项和为，且数列中，，点在直线上.‎ ‎（Ⅰ）求数列,的通项和；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前n项和，‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先由第n项与前n项关系，求出数列{}的递推关系，再由等比数列的定义判定数列{}是等比数列，用等比数列的通项公式，求出数列{‎ ‎}的通项公式，由点在直线上得，=2，根据等差数列定义知数列{}是等差数列，所以再根据等比数列的通项公式，求出的通项公式；（2）由（1）知是等差数列与等比数列对应项乘积构成的新数列，其求和用错位相减法.‎ 试题解析：（1）‎ ‎2分 ‎.‎ ‎3分 ‎7分 ‎（2）‎ ‎ 9分 因此：10分 即：‎ 考点：数列第n项与前n项和的关系；等差数列定义与通项公式；等比数列定义与通项公式；错位相减法；转化思想；运算求解能力.‎ ‎20．已知函数．‎ ‎(Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；‎ ‎(Ⅱ) 已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 的最小值为，最小正周期为.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据三角恒等变换化简，可得函数 ，根据三角函数的性质即可求出最值；然后利用周期公式即可求出周期；（Ⅱ）利用向量共线的坐标运算公式，可得,再与正余弦定理联立，即可求解．‎ 试题解析：解：（Ⅰ） ‎ ‎3分 ‎∴的最小值为，最小正周期为． 5分 ‎（Ⅱ）∵， 即 ‎∵， ，∴，∴． 7分 ‎∵共线，∴．‎ 由正弦定理， 得① 9分 ‎∵，由余弦定理，得， ② 10分 解方程组①②，得． 12分．‎ 考点：1．三角函数的图像与性质；2．解三角形；3．正余弦定理．‎ ‎21．如图，已知三棱锥中， 为中点， 为中点,且为正三角形.‎ ‎(I)求证： 平面；‎ ‎(II)求证：平面平面；‎ ‎(III)若,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) 见解析（Ⅲ） ‎ ‎【解析】试题分析; (I)要证面，只需证明MD∥AP（因为AP⊂面APC）即可． (II)在平面ABC内直线AP⊥BC，BC⊥AC，即可证明BC⊥面APC，从而证得平面ABC⊥平面APC； (III)因为BC=4，AB=20，求出三棱锥的高，即可求三棱锥D-BCM的体积．‎ 试题解析：‎ ‎(I)∵为中点， 为中点， ,‎ 又面 面 ‎(II)∵为正三角形，且为中点， .‎ 又由(I)∴知, .‎ 又已知 ∴面,∴又∵‎ 面，∴面面，‎ ‎(III)∵‎ 又 ‎∴.‎ 又.‎ ‎∴‎ ‎22．某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段.已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第天的实验需投入实验费用为元，实验30天共投入实验费用17700元.‎ ‎（1）求的值及平均每天耗资最少时实验的天数；‎ ‎（2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验天共赞助元.为了保证产品质量，至少需进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求的取值范围.（实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费）‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）实验开始后，每天的试验费用构成公差为，首项为的等差数列，通过等差数列的求和公式计算出这天所投入的试验费用，然后便可求出的值，再利用等差数列的求和公式求出天内总计的试验费用，然后再求出每天的平均试验费用，利用基本不等式便可求出平均每天耗资最少时试验的天数；（2）先求出实际耗资的连续函数，，讨论和的大小关系即可解得的取值范围为．‎ 试题解析：（1）依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为，首项为，‎ ‎∴试验30天共花费试验费用为，‎ 解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 设试验天，平均每天耗资为元，则 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 综上得，，试验天数为100天．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）设平均每天实际耗资为元，则 ‎．．．．．．．．．．．8分 当，即时，‎ ‎，因为，‎ 所以，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 当，即时，当时，取最小值，‎ 且，‎ 综上得，的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：函数的实际应用；均值不等式.‎ ‎【方法点晴】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．形如形式的问题突破口在利用均值不等式找到等号成立的条件，进而和定义域比较即可.‎