安徽省芜湖市2021届新高考模拟化学试题(校模拟卷)含解析

安徽省芜湖市2021届新高考模拟化学试题(校模拟卷)含解析

安徽省芜湖市 2021 届新高考模拟化学试题（校模拟卷） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 1 0 , 1,0,1 2 xA x B x ，则 A BI 等于（ ） A． 1 1x x B． 1,0,1 C． 1,0 D． 0,1 【答案】 C 【解析】 【分析】 先化简集合 A，再与集合 B 求交集 . 【详解】 因为 1 0 2 1 2 xA x x x x ， 1,0,1B ， 所以 1,0A B . 故选： C 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题 . 2．用 1， 2，3，4，5 组成不含重复数字的五位数，要求数字 4 不出现在首位和末位，数字 1，3，5 中有 且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ） A． 48 B．60 C．72 D． 120 【答案】 A 【解析】 【分析】 对数字 2 分类讨论，结合数字 13 5，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论 【详解】 数字 2 出现在第 2 位时，数字 13 5，，中相邻的数字出现在第 3 4，位或者 4 5，位， 共有 2 2 2 3 2 2 12C A A 个 数字 2 出现在第 4 位时，同理也有 12个 数字 2 出现在第 3 位时，数字 13 5，，中相邻的数字出现在第 12，位或者 4 5，位， 共有 1 2 2 2 2 3 2 2 24C C A A 个 故满足条件的不同的五位数的个数是 48 个 故选 A 【点睛】 本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字 2 分类讨论，属于基础题。 3．下图所示函数图象经过何种变换可以得到 sin 2y x 的图象（ ） A．向左平移 3 个单位 B．向右平移 3 个单位 C．向左平移 6 个单位 D．向右平移 6 个单位 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据函数图像得到函数的一个解析式为 sin 2 3 f x x ，再根据平移法则得到答案 . 【详解】 设函数解析式为 sinf x A x b ， 根据图像： 1, 0A b ， 4 3 12 4 T ，故 T ，即 2， sin 1 12 6 f ， 2 , 3 k k Z ，取 0k ，得到 sin 2 3 f x x ， 函数向右平移 6 个单位得到 sin 2y x . 故选： D . 【点睛】 本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用 . 4．已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 1a ，且公比为 2，则 nS 与 na 的关系正确的是（ ） A． 4 1n nS a B． 2 1n nS a C． 2 1n nS a D． 4 3n nS a 【答案】 C 【解析】 【分析】 在等比数列中，由 1 1 n n a aS q q 即可表示之间的关系 . 【详解】 由题可知，等比数列 na 中 1 1a ，且公比为 2，故 1 1 2 2 1 1 1 2 n n nn a a q a a q S 故选： C 【点睛】 本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题 . 5．等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 3a ， 5 35S ，则数列 na 的公差为（ ） A． -2 B．2 C．4 D． 7 【答案】 B 【解析】 【分析】 在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得 3a ，再由等差数列通项公式求得公差 . 【详解】 在等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，则 1 5 5 3 3 5 5 35 7 2 a a S a a 则 3 1 2 3 2 7 2a a d d d 故选： B 【点睛】 本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题 . 6．某四棱锥的三视图如图所示，记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） . A． 2 2 S，且 2 3 S B． 2 2 S，且 2 3 S C． 2 2 S，且 2 3 S D． 2 2 S ，且 2 3 S 【答案】 D 【解析】 【分析】 首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长 . 【详解】 根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体， 如图所示： 所以： 2AB BC CD AD DE ， 2 2AE CE ， 2 2(2 2) 2 2 3BE . 故选： D. . 【点睛】 本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 . 7． P 是正四面体 ABCD 的面 ABC 内一动点， E 为棱 AD 中点，记 DP 与平面 BCE 成角为定值 ，若 点 P 的轨迹为一段抛物线，则 tan （ ） A． 2 B． 2 2 C． 2 4 D． 2 2 【答案】 B 【解析】 【分析】 设正四面体的棱长为 2 ，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面 BCE 的法向量，设 P 的坐标， 求出向量 DP uuur ，求出线面所成角的正弦值，再由角 的范围 0, 2 ，结合 为定值，得出 sin 为定值， 且 P 的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【详解】 由题意设四面体 ABCD 的棱长为 2 ，设 O 为 BC 的中点， 以 O为坐标原点，以 OA为 x 轴，以 OB 为 y 轴，过 O 垂直于面 ABC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系 O xyz ， 则可得 1OB OC ， 3 2 3 2 OA ，取 OA的三等分点 G 、 F 如图， 则 1 3 3 3 OG OA ， 2 2 3 3 3 AG OF OA ， 2 2 2 6 3 DG AD AG ， 1 6 2 3 EF DG ， 所以 0,1,0B 、 0, 1,0C 、 3,0,0A 、 3 2 6,0, 3 3 D 、 2 3 6,0, 3 3 E ， 由题意设 , ,0P x y ， 3 2 6, , 3 3 DP x y uuur ， QV ABD 和 ACDV 都是等边三角形， E 为 AD 的中点， BE AD ， CE AD ， BE CE EQ I ， AD 平面 BCE ， 2 3 2 6,0, 3 3 AD uuur 为平面 BCE 的一个法向量， 因为 DP 与平面 BCE 所成角为定值 ，则 0, 2 ， 由题意可得 2 2 2 2 2 3 3 2 6 3 3 3 sin cos , 3 2 62 3 3 x AD DP AD DP AD DP x y uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 2 2 2 2 22 2 33 2 3 3 3 3 2 3 9 3 3 2 3 93 1 3 8 xx x x x y x x y xx y ， 因为 P 的轨迹为一段抛物线且 tan 为定值，则 sin 也为定值， 2 22 2 3 3 3 93 2 3 x x xy x ，可得 23 8 3y x ，此时 3sin 3 ，则 6cos 3 ， sin 2tan cos 2 . 故选： B. 【点睛】 考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题． 8．已知 2 3 6a b ，则 a ， b 不可能满足的关系是（） A． a b ab B． 4a b C． 2 2 1 1 2a b D． 2 2 8a b 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据 2 3 6a b 即可得出 21 l 3oga ， 31 l 2ogb ，根据 2 3log log 13 2 ， 33log log 22 2 ，即 可判断出结果． 【详解】 ∵ 2 3 6a b ； ∴ 2 26log 1 og 3la ， 3 36log 1 og 2lb ； ∴ 2 332 log 2log 4a b ， 2 332 log og 42lab ，故 ,A B 正确； 2 3 2 2 2 2 3 2 1 1 log log 2log3 2 3 log 22a b ，故 C 错误； ∵ 2 2 2 3 2 2 2 3log log2 log2 3 2 3 log 2a b 2 3 2 32 3 24 log log l2 3og log 82 ，故 D 正确 故 C． 【点睛】 本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式： 2a b ab 和不等式 2 2 2a b ab 的应用，属于中档题 9．已知集合 1,2,3, ,M nL （ *n N ），若集合 1 2,A a a M ，且对任意的 b M ，存在 , 1,0,1 使得 i jb a a ，其中 ,i ja a A ，1 2i j ，则称集合 A 为集合 M 的基底 .下列 集合中能作为集合 1,2,3,4,5,6M 的基底的是（ ） A． 1,5 B． 3,5 C． 2,3 D． 2,4 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据题目中的基底定义求解 . 【详解】 因为 1 1 2 1 3 ， 2 1 2 0 3， 3 0 2 1 3， 4 1 2 1 2， 5 1 2 1 3， 6 1 3 1 3， 所以 2,3 能作为集合 1,2,3,4,5,6M 的基底， 故选： C 【点睛】 本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题 . 10．《周易》是我国古代典籍，用 “卦 ”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、 巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中 “ ”表示一个阳爻， “ ”表示一个阴爻） 若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ） A． 3 56 B． 3 28 C． 3 14 D． 1 4 【答案】 C 【解析】 【分析】 分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一 个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解 . 【详解】 由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是 2 3 3C ； 仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是 1 3 3C ，于是所求 的概率 2 8 3 3 3 14 P C ． 故选： C 【点睛】 本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题 . 11．在复平面内，复数 z=i 对应的点为 Z，将向量 OZ uuur 绕原点 O 按逆时针方向旋转 6 ，所得向量对应的复 数是（ ） A． 1 3 2 2 i B． 3 1 2 2 i C． 1 3 2 2 i D． 3 1 2 2 i 【答案】 A 【解析】 【分析】 由复数 z 求得点 Z 的坐标，得到向量 OZ uuur 的坐标，逆时针旋转 6 ，得到向量 OB uuur 的坐标，则对应的复数可 求 . 【详解】 解：∵复数 z=i（i 为虚数单位）在复平面中对应点 Z（0，1）， ∴ OZ uuur ＝(0，1)，将 OZ uuur 绕原点 O 逆时针旋转 6 得到 OB uuur ， 设 OB uuur ＝(a，b)， 0, 0a b ， 则 3cos 6 2 OZ OB b OZ OB uuur uuur uuur uuur ， 即 3 2 b ， 又 2 2 1a b ， 解得： 1 3, 2 2 a b ， ∴ 1 3, 2 2 OB uuur ， 对应复数为 1 3 2 2 i . 故选： A. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 . 12．盒中装有形状、大小完全相同的 5 张“刮刮卡 ”，其中只有 2 张“刮刮卡 ”有奖，现甲从盒中随机取出 2 张，则至少有一张有奖的概率为 ( ) A． 1 2 B． 3 5 C． 7 10 D． 4 5 【答案】 C 【解析】 【分析】 先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖 的概率，由对立事件的概率关系，即可求解 . 【详解】 从 5 张“刮刮卡 ”中随机取出 2 张，共有 2 5 10C 种情况， 2 张均没有奖的情况有 2 3 3C （种） ，故所求概率为 3 71 10 10 . 故选 :C. 【点睛】 本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．在 ABCV 中， 角 A的平分线交 BC 于 D ， 3BD ， 2CD ，则 ABCV 面积的最大值为 __________． 【答案】 15 【解析】 【分析】 由角平分线定理得 AB BD AC CD ,利用余弦定理和三角形面积公式， 借助三角恒等变化求出 ABCV 面积的最 大值 . 【详解】 画出图形： 因为 3BD ， 2CD ，由角平分线定理得 3 2 AB BD AC CD , 设 2 , 2 , 0, 2 AC x BAC ，则 3AB x 由余弦定理得： 2 2 24 9 2 3 2 cos25 x x x x 即 2 13 25 12cos2 x 21 75sin 23 2 sin 2 3 sin 2 2 13 12cos 2ABCS x x x 2 22 2 2 2tan7575 2sin cos 1 tan 1 tan13 12 cos sin 13 12 1 tan 2 150 tan 1511 25 tan 125tan 2 25tantan tan 150 150, 当且仅当 1 25tan tan ，即 1tan 5 时取等号 所以 ABCV 面积的最大值为 15 故答案为： 15 【点睛】 此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目 . 14．若一组样本数据 7，9， x ，8，10 的平均数为 9，则该组样本数据的方差为 ______. 【答案】 1 【解析】 【分析】 根据题意，由平均数公式可得 7 9 8 10 9 5 x ，解得 x 的值，进而由方差公式计算，可得答案． 【详解】 根据题意，数据 7，9， x ，8，10 的平均数为 9， 则 7 9 8 10 9 5 x ，解得： 11x ， 则其方差 2 2 2 2 2 21[(7 9) (9 9) (11 9) (8 9) (10 9) ] 2 5 S . 故答案为： 1． 【点睛】 本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出 x 的值，属于基础题． 15．若实数 ,x y 满足约束条件 4 3 y x x y x ，设 3 2z= x y 的最大值与最小值分别为 ,m n ，则 m n _____． 【答案】 7 2 【解析】 【分析】 画出可行域，平移基准直线 3 2 0x y 到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得 m n 的 比值 . 【详解】 画出可行域如下图所示，由图可知，当直线 3 2z x y 过点 3,1 时， z 取得最大值 7；过点 2,2 时， z 取得最小值 2，所以 7 2 m n . 【点睛】 本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值 .这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的 约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后 通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值 .属于基础题 . 16．如图，为测量出高 MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A点测得 M 点的仰角 060MAN ， C 点的仰角 045CAB 以及 075MAC ；从 C 点测得 060MCA ．已知山高 100BC m ，则山高 MN __________ m ． 【答案】 1 【解析】 试题分析： 在 ABCV 中， 45 , 90 , 100BAC ABC BCQ , 100 100 2 sin 45 AC ，在 AMCV 中， 75 , 60 ,MAC MCAQ 45 ,AMC 由正弦定理可得 , sin sin AM AC ACM AMC 即 100 2 , sin 60 sin 45 AM 解得 100 3AM ,在 Rt AMNV 中， sinMN AM MAN 100 3 sin 60 150( )m ． 故答案为 1． 考点：正弦定理的应用． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知函数 ( ) lnxf x e x x ax ， ( )f x 为 ( )f x 的导数，函数 ( )f x 在 0x x 处取得最小值． （ 1）求证： 0 0ln 0x x ； （ 2）若 0x x⋯ 时， ( ) 1f x ⋯ 恒成立，求 a 的取值范围． 【答案】 （1）见解析； （2） [1 , )e . 【解析】 【分析】 （ 1）对 ( )f x 求导， 令 ( ) ln 1xg x e x a ，求导研究单调性， 分析可得存在 0 1 1 2 t 使得 0 0g t ， 即 0 0 1 0te t ，即得证； （ 2）分 0 0 1 1 0x a x ⋯ ， 0 0 1 1 0x a x 两种情况讨论，当 0 0 1 1 0x a x ⋯ 时，转化 n 2 0mi 0 0 0 1( )f x f x x x a x 利用均值不等式即得证； 当 0 0 1 1 0x a x ， ( )f x 有两个不同的零 点 1x ， 2x ，分析可得 ( )f x 的最小值为 2f x ，分 1a e， 1a e 讨论即得解 . 【详解】 （ 1）由题意 ( ) ln 1xf x e x a ， 令 ( ) ln 1xg x e x a ，则 1( ) xg x e x ，知 ( )g x 为 (0, ) 的增函数， 因为 (1) 1 0g e ， 1 2 0 2 g e ， 所以，存在 0 1 1 2 t 使得 0 0g t ，即 0 0 1 0te t ． 所以，当 00,x t 时 0( ) 0g x g t ， ( )g x 为减函数， 当 0,x t 时 0( ) 0g x g t ， ( )g x 为增函数， 故当 0x t 时， ( )g x 取得最小值，也就是 ( )f x 取得最小值． 故 0 0x t ，于是有 0 0 1 0xe x ，即 0 0 1xe x ， 所以有 0 0ln 0x x ，证毕． （ 2）由（ 1）知， ( ) ln 1xf x e x a 的最小值为 0 0 1 1x a x ， ①当 0 0 1 1 0x a x ⋯ ，即 0 0 11a x x⋯ 时， ( )f x 为 0 ,x 的增函数， 所以 0 2 0min 0 0 0 0 0 0 1( ) lnxf x f x e x x x a x x a x ， 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 11 1x x x x x x x ⋯ ， 由（ 1）中 0 1 1 2 x ，得 0 0 1 1 1x x ，即 ( ) 1f x ． 故 0 0 11a x x⋯ 满足题意． ②当 0 0 1 1 0x a x ，即 0 0 11a x x 时， ( )f x 有两个不同的零点 1x ， 2x ， 且 1 0 2x x x ，即 2 2 2 2 2ln 1 0 ln 1x xf x e x a a x e ， 若 0 2,x x x 时 2( ) 0f x f x ， ( )f x 为减函数， （*） 若 2 ,x x 时 2( ) 0f x f x ， ( )f x 为增函数， 所以 ( )f x 的最小值为 2f x ． 注意到 (1) 1f e a 时， 1a e，且此时 (1) 1 0f e a ， （ⅰ）当 1a e 时， 2(1) 1 0f e a f x⋯ ， 所以 20 1x , ，即 21 0x ， 又 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2ln ln ln 1 1x x x xf x e x x ax e x x x e x x e x 2 21 1 1xx e ， 而 2 1 0xe ，所以 2 21 1 1 1xx e ，即 2 1f x ． 由于在 0 1 1 2 x 下，恒有 0 0 1 x e x ，所以 0 0 11 1e x x ． （ⅱ）当 1a e 时， 2(1) 1 0f e a f x ， 所以 2 01x x ， 所以由（ * ）知 21,x x 时， ( )f x 为减函数， 所以 ( ) (1) 1f x f e a ，不满足 0x x⋯ 时， ( ) 1f x ⋯ 恒成立，故舍去． 故 0 0 11 1e a x x, 满足条件． 综上所述： a 的取值范围是 [1 , )e ． 【点睛】 本题考查了函数与导数综合， 考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题， 考查了学生综合分 析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题 . 18．已知 { }na ， { }nb 均为正项数列，其前 n 项和分别为 nS ， nT ，且 1 1 2 a ， 1 1b ， 2 2b ，当 2n ， *n N 时， 1 1 2n nS a ， 2 2 1 1 1 1 2( ) 2n n n n n n T Tb T b b . （ 1）求数列 { }na ， { }nb 的通项公式； （ 2）设 2 ( 2)n n n n n b ac b b ，求数列 { }nc 的前 n 项和 nP . 【答案】 （1） 1 2n na ， nb n （2） 11 ( 1) 2n nP n 【解析】 【分析】 （ 1） 1 1 2 ( 2)n nS a n⋯ ，所 11 2n nS a ，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( 2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ⋯ ，整理得 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( 2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ⋯ ，得到 1 1( 2)n n n nb b b b n⋯ ，即可求解通 项公式； （ 2）由 （1）可知， 2 1 ( 2) 1 2( 1) 1 1 1 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2n n n n n n n nc n n n n n n ，即可求得数列 { }nc 的前 n 项和 nP . 【详解】 （ 1）因为 1 1 2 ( 2)n nS a n⋯ ，所 11 2n nS a ，两式相减，整理得 1 1 ( 2) 2n na a n⋯ ，当 2n 时， 1 1 2 1 1 2 2 S a a ，解得 2 1 1 1 4 2 a a ， 所以数列 na 是首项和公比均为 1 2 的等比数列，即 1 2n na ， 因为 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( 2) n n n n n n n n T T b T T T n b b ⋯ ， 整理得 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( 2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ⋯ ， 又因为 0nb ，所以 0nT ，所以 1 1 2 1( 2)n n n b n b b ⋯ ，即 1 1 ( 2)n n n nb b b b n⋯ ，因为 1 21, 2b b ， 所以数列 nb 是以首项和公差均为 1 的等差数列，所以 nb n ； （ 2）由（ 1）可知， 2 1 ( 2) 1 2( 1) 1 1 1 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2n n n n n n n nc n n n n n n ， 2 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 3 2 2 ( 1) 2n n nP n n ，即 11 ( 1) 2n nP n . 【点睛】 此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项 求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式 . 19．设函数 11f x x （ ） ， lng x x（ ） ， （Ⅰ）求曲线 2 1y f x（ ）在点（ 1,0）处的切线方程； （Ⅱ）求函数 y f x g x（ ）（ ）在区间 1[ , ]e e 上的取值范围． 【答案】 （1） 1y x （2） [0, 1]e 【解析】 分析： (1)先断定 (1,0) 在曲线 (2 1)y f x 上，从而需要求 '(2 1)f x ，令 1x ，求得结果，注意复合函 数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程； (2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值 . 详解： （Ⅰ）当 1x ， 2 1 1 0y f f . 3/2 1' ' 2 1 2 1 y f x x ， 当 1x ， ' ' 1 1y f ， 所以切线方程为 1y x . （Ⅱ） 1 ln1 ln ln xy x x x x , ln11 1 ln 2' 2 xxxy x x x x x x x ,因为 1 ,x e e ，所以 0x x . 令 ln1 2 xh x x ， 1' 0 2 xh x x ，则 h x 在 1, e e 单调递减， 因为 1 =0h ，所以 y f x g x 在 1 ,1 e 上增，在 1,e 单调递增 . min 1 1 0y f g , max 1 1 1max , max 1,1y f g f e g e e e e e , 因为 11 1e e ，所以 y f x g x 在区间 1 ,e e 上的值域为 0, 1e . 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处 的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使 用 . 20．在平面四边形 ABCD 中，已知 3 4 ABC ， ,AB AD 1AB . （ 1）若 5AC ，求 ABCV 的面积； （ 2）若 2 5 , 4, 5 sin CAD AD 求 CD 的长 . 【答案】 （1） 1 2 ；（ 2） 13 . 【解析】 【分析】 （ 1）在三角形 ABC 中，利用余弦定理列方程，解方程求得 BC 的长，进而由三角形的面积公式求得三角 形 ABC 的面积 . （ 2）利用诱导公式求得 cos BAC ，进而求得 sin BAC ，利用两角差的正弦公式，求得 sin BCA ， 在三角形 ABC中利用正弦定理求得 AC ，在三角形 ACD 中利用余弦定理求得 CD 的长 . 【详解】 （ 1）在 ABCV 中， 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC 2 25 1 2 2 4 0BC BC BC BC ， 解得 2BC ， 1 1 2 11 2 2 2 2 2ABCS AB BC sin ABCV . （ 2） 2 590 , 5 BAD sin CADQ = 2 5 5cos sin , 5 5 BAC CAD sin BAC= 2 2 5 5 10 4 2 5 5 2 (cos 1 ) 02 Bsin BCA sin BAC C sin BACA 在 ABCV 中， AC AB sin ABC sin BCA ， sin 5 sin AB ABCAC BCA . 2 2 2 52 5 16 2 5 4 13 5 CD AC AD AC AD cos CAD . 13CD 【点睛】 本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题 . 21．已知等比数列 na 是递增数列，且 1 5 2 4 17 4 2 a a a a＝ ， ＝ ． （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）若 *Nn nb na n＝ ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ． 【答案】 (1) 22 n na (2) 11 1 2 2n nnS 【解析】 【分析】 （ 1）先利用等比数列的性质，可分别求出 1 5,a a 的值，从而可求出数列 na 的通项公式； （2）利用错位 相减求和法可求出数列 nb 的前 n 项和 nS ． 【详解】 解：（ 1）由 na 是递增等比数列， 1 5 2 4 1 5 17 4 2 a a a a a a， ， 联立 1 5 1 5 17 2 4 a a a a ，解得 1 5 1= 2 =8 a a 或 1 5 =8 1= 2 a a ， 因为数列 na 是递增数列，所以只有 1 5 1= 2 =8 a a 符合题意， 则 4 5 1 16aq a ，结合 0q 可得 2q = ， ∴数列 na 的通项公式： 22 n na ； （ 2）由 *Nn nb na n＝ ， ∴ 22 n nb n＝ ；∴ 1 1 2 S ； 那么 1 0 1 21 2 2 2 3 2 2 n nS nL＝ ，① 则 20 1 2 13 22 1 2 2 2 1 2 2n n nS n nL ，② 将②﹣①得： 1 0 2 2 1 1 1 11 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 n n n n n nS n n n ． 【点睛】 本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查了利用错位相减法求数列的前 n 项和 . 22．在平面直角坐标系 xOy 中， 已知直线 l 的参数方程为 1 1 2 2 1 2 x t y t （ t 为参数） 和曲线 1 cos: sin xC y （ 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （ 1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程； （ 2）在极坐标系中，已知点 M 是射线 1 :l ( [0, ]) 2 与直线 l 的公共点，点 N 是 1l 与曲线 C 的公 共点，求 | | | | ON OM 的最大值． 【答案】 （1） 2sin 4 2 ， 2cos ；（2） max( ) 2 2 2ON OM 【解析】 【分析】 （ 1）先将直线 l 和圆 C 的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程； （ 2）写出点 M 和点 N 的极坐标，根据极径的定义分别表示出 ON 和 OM ，利用三角函数的性质求出 | | | | ON OM 的最大值 . 【详解】 解：（ 1） 1: 2 l x y ， 1cos sin 2 ， 即极坐标方程为 2sin 4 2 ， 2 2: ( 1) 1C x y ，极坐标方程 2cos ． （ 2）由题可知 1 2( , ) sin cos M ， (2cos , )N | | 2cos 1| | 2 sin cos N M ON OM 4cos (sin cos ) 2sin 2 2(cos2 1) 2 2 sin(2 ) 2 4 ， 当 8 时， max( ) 2 2 2ON OM . 【点睛】 本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于 中档题 . 23．已知函数 ln 1x axf x x . （ 1）若对任意 x 0，f（x） 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 2）若函数 f（x）有两个不同的零点 x1，x2（x1 x2），证明： 2 2 1 2 2 1 2x x x x . 【答案】 （1） 1a ；（ 2）证明见解析 . 【解析】 【分析】 （ 1）求出 'f x ，判断函数 f x 的单调性，求出函数 f x 的最大值，即求 a 的范围； （ 2）由（ 1）可知， 1 20,1 , 1,x x .对 2x 分 2 1,2x 和 2 2,x 两种情况讨论，构造函数， 利用放缩法和基本不等式证明结论． 【详解】 （ 1）由 ln 1 ln 1x ax xf x a x x x ，得 ' 2 ln xf x x . 令 ' 0, 1f x x . 当 0 1x 时， ' 0f x ；当 1x 时， ' 0f x ； f x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减， max 1 1f x f a . Q 对任意 0, 0x f x 恒成立， 1 0, 1a a . （ 2）证明：由（ 1）可知， f x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减， 1 20,1 , 1,x x . 若 2 1,2x ，则 22 0,1x ， 令 ln 2ln 1 12 ,0 1 2 2 xxg x f x f x x x x x x 2 ' 22 2 2 2 ln 1 1ln 2 ln 2ln ln 0 2 xx xx xg x x x x xx g x 在 0,1 上单调递增， 1 0, 2g x g f x f x ， 1 1 22f x f x f x . 1 10,1 , 2 1,x xQ 又 2 1x ， f x 在 1, 上单调递减， 1 2 1 22 , 2x x x x . 若 2 2,x ，则 1 2 2x x 显然成立 . 综上， 1 2 2x x . 又 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 , 2 2x x x xx x x x x x x x x x 以上两式左右两端分别相加，得 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2x xx x x x x x ，即 2 2 1 2 1 2 2 1 x x x x x x ， 所以 2 2 1 2 2 1 2x x x x . 【点睛】 本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题 .