黑龙江省哈尔滨市呼兰区某中学2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷

黑龙江省哈尔滨市呼兰区某中学2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷

理科数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．设,则（ ）‎ A．2 B．‎3 C． D．‎ ‎3．已知向量且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎5．若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．在等比数列中，若，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若函数的零点在区间上，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数，下列结论正确的是（ ）‎ A．向右平移个单位，可得到函数的图像 ‎ B．的图像关于中心对称 ‎ C．的图像关于直线对称 ‎ D．在为增函数 ‎9．在的展开式中, 项的系数为( )‎ A．10 B．‎25 ‎C．35 D．66‎ ‎10．已知三棱锥的外接球的球心为，平面， ， ，‎ ，则球心O到平面的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在中，的对边分别为，，，且满足，‎ ‎，则面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义域为R的奇函数，满足，则下列叙述正确的为（ ）‎ ‎①存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根 ‎②当时，恒有 ‎③若当时，的最小值为1，则 ‎④若关于的方程和的所有实数根之和为零，则 A．①②③ B．①③ C．②④ D．①②③④ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 ‎22题，23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．过点的直线与抛物线交于两点，且，‎ 则此直线的方程为_________.‎ ‎14．函数的单调减区间为______________.‎ ‎15．在我校本年度足球比赛中，经过激烈角逐后，最终四个班级的球队闯入半决赛.‎ 在半决赛中，对阵形式为：对阵，对阵，获胜球队进入决赛争夺冠亚军，‎ 失利球队争夺三四名.若每场比赛是相互独立的，四支球队间相互获胜的概率如下表所示：‎ 获胜概率 ‎—‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.8‎ 获胜概率 ‎0.7‎ ‎—‎ ‎0.7‎ ‎0.5‎ 获胜概率 ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎—‎ ‎0.3‎ 获胜概率 ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.7‎ ‎—‎ 则队最终获得冠军的概率为_____.‎ ‎16．正方体的棱长为2，点在棱上运动，过三点作正方体的截面，若为棱的中点，则截面面积为_________，若截面把正方体分成体积之比为的两部分，则=_______.‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为， ‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若公差，求数列的前项和.‎ ‎18．（本小题满分分）‎ 如图，在多面体中，正方形所在平面垂直于平面，是等腰直角三角形,，∥，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．（本小题满分分）‎ ‎ 已知点，过点作抛物线的两切线，切点为．‎ ‎（Ⅰ）求两切点所在的直线方程；‎ y x D o ‎（Ⅱ）椭圆，离心率为，（Ⅰ）中直线AB与椭圆交于点P，Q， 直线的斜率分别为，，，若，‎ 求椭圆的方程．‎ ‎20．（本小题满分分）‎ ‎“海水稻”就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区，具有耐盐碱的水稻，它比其它普通的水稻均有更强的生存竞争能力，具有抗涝，抗病虫害，抗倒伏等特点，还具有预防和治疗多种疾病的功效，防癌效果尤为显著。海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度(‰)对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现,可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系,用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为．‎ 海水浓度(‰)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 亩产量(吨)‎ ‎0.62‎ ‎0.58‎ ‎0.49‎ ‎0.4‎ ‎0.31‎ 残差 ‎（Ⅰ）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎(i )完成上述残差表:‎ ‎(ii)统计学中，常用相关指数来刻画回归效果,越大,模型拟合效果越好,并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，利用统计学的相关知识，说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率?（计算中数据精确到）‎ ‎(附:残差公式，相关指数)‎ ‎21．（本小题满分分）‎ ‎ 已知函数（）‎ ‎（Ⅰ）若为的极大值点，求的取值范围；.‎ ‎（Ⅱ）当时，判断与轴交点个数，并给出证明.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 作答时请写清题号。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），‎ 以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，，交曲线于点,交曲线于点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意成立，求实数的取值范围．‎ 答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D C A C D C C D B D B ‎13、 14、15、0.22 16、‎ ‎17.解：‎ ‎（1）由，得所以 ( 1分 )‎ 又得，即 ( 2分 )‎ 所以， ( 4分 )‎ 即或 ( 6分 )‎ ‎（2）当公差时，‎ ‎1）当时，， ( 7分 )‎ 设数列的前项和为，则( 8分 )‎ ‎2）当时， ( 10分)‎ 所以数列的前项和 ( 12分)‎ ‎18.解：‎ ‎（1）可取中点，连结,证明四边形为平行四边形，‎ 且平面即可（6分）‎ ‎（2）易知两两垂直，故以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系。‎ 可求得，（7分）‎ 平面的一个法向量为（9分）‎ 设直线与平面所成角为，则（11分）‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为。（12分）‎ ‎19、（1）（2）‎ 设切点则有 由切线的斜率为设切点 所以抛物线点的切线的斜率为，切线方程为 抛物线点的切线的斜率为，切线方程为(2分)‎ 两切线交点（4分）‎ ‎（6分）‎ 直线方程为 由得又，‎ 所以．‎ 所以椭圆方程为，‎ 由得，‎ 所以，（8分）‎ 又因为，‎ 即，（10分）‎ ‎（12分）‎ ‎20.(1)经计算,,‎ 由可得,,.....1分 当时,, 2分 所以当海水浓度为8‰时,该品种的亩产量为0.24吨． 3分 ‎(2)(ii)由(1)知,从而有 海水浓度(‰)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 亩产量(吨)‎ ‎0.62‎ ‎0.58‎ ‎0.49‎ ‎0.4‎ ‎0.31‎ 残差 ‎-0.02‎ ‎0.02‎ ‎0.01‎ ‎0‎ ‎-0.01‎ ‎8分 ‎(ii) , 10分 所以亩产量的变化有是由海水浓度引起的．（或者说海水浓度解释了的亩产量变化）12分 ‎21、（1）（1分）‎ 设 当无极值 成立 为极小值点 综上（6分）‎ ‎（2）由（1）知 ①在单调递增，，有唯一零点 ‎②满足，‎ 在增，减增 当时恒成立，当 有唯一零点 ‎③‎ 在增，减增 在无零点，在有唯一零点 综上：，有唯一零点（12分）‎ ‎22．解：（1）曲线E的普通方程为 令，得，‎ 即曲线E极坐标方程为 ......4分 ‎（2）依题意得，根据勾股定理，，‎ 将，代入中，‎ 得， ......6分 设点所对应的极径分别为，，，， ... ...7分 则，，， ... ...8分 ‎∴‎ ‎... ...10分 ‎23．（1），‎ ‎∴的值域为，‎ ‎∵关于的不等式有解，‎ ‎∴， 5分 ‎（2）与 由图象知，要使对任意成立，‎ 只需要，且 解得，9分 故得取值范围为．10分