2018年高考理科数学通用版三维二轮复习：寒假作业（十七）　直线与圆锥曲线的位置关系（注意命题点的区分度）

2018年高考理科数学通用版三维二轮复习：寒假作业（十七）　直线与圆锥曲线的位置关系（注意命题点的区分度）

寒假作业(十七)　直线与圆锥曲线的位置关系(注意命题点的区分度)‎ 一、选择题 ‎1．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B．± C．± D. 解析：选B　由题意可得，c＝1，a＝2，b＝，不妨取A点坐标为，则直线的斜率k＝±.‎ ‎2．(2017·湖南五市十校联考)已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M，N，已知△MF2N是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是(　　)‎ A. B．1‎ C．1＋ D．2＋ 解析：选C　由已知得＝2c，即c2－2ac－a2＝0，‎ 所以e2－2e－1＝0，解得e＝1±，‎ 又e＞1，所以e＝1＋，故选C.‎ ‎3．已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，与C交于A，B两点，若|AB|＝6，则p的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析：选B　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎∵抛物线的焦点为，‎ 则由题意，得m＝.①‎ 由消去y，得x2－2(p＋m)x＋m2＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝2(p＋m)，x1x2＝m2，‎ ‎∴|AB|＝· ＝6.②‎ 由①②得p＝，故选B.‎ ‎4．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是(　　)‎ A. B．(－，)‎ C. D．[－，]‎ 解析：选C　由题意知，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是，故选C.‎ ‎5．已知圆(x－m)2＋y2＝4上存在两点关于直线x－y－2＝0对称，若离心率为的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为(　　)‎ A．1 B. C．2 D．4‎ 解析：选D　由题意得直线x－y－2＝0过圆心(m,0)，所以m＝2，所以圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，且经过原点，易知渐近线与圆相交时的交点构成的图形为三角形，因为＝，所以＝1，所以渐近线方程为y＝±x ‎，所以交点坐标分别为(0,0)，(2,2)，(2，－2)，所以三角形的面积为×2×4＝4，选D.‎ ‎6.过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若＜k＜，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由题图可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝.又＜k＜，所以＜＜，化简可得＜＜，从而可得＜e＜，选C.‎ ‎7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，虚轴的一个端点与抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点重合，直线y＝kx－1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p＝(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：选A　由抛物线x2＝2py(p＞0)可知其焦点为，所以b＝，又a＝2，因此双曲线的方程为－＝1，渐近线方程为y＝±x.直线y＝kx－1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k＝，由可得x2＝2p＝x－2p，即x2－ x＋2p＝0，则Δ＝2－8p＝0，解得p＝4.故选A.‎ ‎8．已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a＞0，b＜0)的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选A　由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程为ax2＋by2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则有ax＋by＝0①，ax＋by＝0②，‎ 由①－②得a(x－x)＝－b(y－y)．‎ 即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)，‎ 由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，‎ ‎∴·＝－，‎ 设AB的中点为M(x0，y0)，‎ 则kOM＝＝＝＝－，‎ 又知kAB＝－1，∴－×(－1)＝－，‎ ‎∴＝－.‎ ‎9．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝(　　)‎ A. B. C．3 D．2‎ 解析：选A　设l与x轴的交点为M，如图所示，过Q作QN⊥l，垂足为N，则△PQN∽△PFM，所以＝＝，因为|MF|＝4，所以|NQ|＝，故|QF|＝|QN|＝.‎ ‎10．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M(－1,2)．若·＝0，则直线l的斜率k＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．2‎ 解析：选C　抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，由题意可知直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－1)，联立消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则 ‎∴ ‎∴·＝(x1＋1，y1－2)·(x2＋1，y2－2)‎ ‎＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－2)(y2－2)‎ ‎＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－2(y1＋y2)＋4‎ ‎＝1＋＋1－4－＋4＝＝0，‎ ‎∴4k2＋4－8k＝0，即k2－2k＋1＝0，∴k＝1，故选C.‎ ‎11.如图，抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(2，t)(t＞0)在抛物线上，且|AF|＝3.已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，则直线GB的斜率为(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选C　由抛物线的定义得|AF|＝2＋.‎ 因为|AF|＝3，所以2＋＝3，解得p＝2，‎ 所以抛物线E的方程为y2＝4x.‎ 因为点A(2，t)(t＞0)在抛物线E：y2＝4x上，‎ 所以t＝2，即A(2,2)．‎ 由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．‎ 由得2x2－5x＋2＝0，‎ 解得x＝2或x＝，从而B.‎ 又G(－1,0)，‎ 所以直线GB的斜率kGB＝＝－，选C.‎ ‎12．(2017·长沙统考)P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为(　　)‎ A．1 B．2＋ C．4＋ D．2＋1‎ 解析：选D　设F2是双曲线C的右焦点，因为|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，显然当F2，P，Q三点共线且P在F2，Q之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离．易知l的方程为y＝或y＝－，F2(，0)，求得F2到l的距离为1，故|PF1|＋|PQ|的最小值为2＋1.选D.‎ 二、填空题 ‎13．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.‎ 解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝4.‎ 答案：4 ‎14．设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E 上在第二象限内的点，直线BO交E于点C，若直线BF平分线段AC，则E的离心率是________．‎ 解析：设AC的中点为M，连接OM，FM，则OM为△ABC的中位线，B，F，M在一条线上，于是△OFM∽△AFB，所以＝，即＝，解得e＝＝.‎ 答案： ‎15.(2017·成都二诊)如图，抛物线y2＝4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|＝|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为点E，G，则|EG|的最小值为________．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则|EG|＝y4－y3＝y2－2y1.因为AB为抛物线y2＝4x的焦点弦，所以y1y2＝－4，所以|EG|＝y2－2×＝y2＋≥2＝4，当且仅当y2＝，即y2＝4时取等号，所以|EG|的最小值为4.‎ 答案：4‎ ‎16．(2017·石家庄质检)已知F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l交双曲线两支于M，N两点，且·＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________．‎ 解析：因为·＝0，所以⊥.设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c.不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|－|NF|＝2a，所以|MF|－|NF|＝2a.因为S△MNF＝|MF|·|NF|＝ab，所以|MF||NF|＝2ab.在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，即(|MF|－|NF|)2＋2|MF||NF|＝|MN|2，所以(2a)2＋2·2ab＝(2c)2，把c2＝a2＋b2代入，并整理，得＝1，所以e＝＝ ＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1,0)，且椭圆上的点到焦点的距离的最小值为－1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l过点(0，)且与椭圆C相切，求直线l的方程．‎ 解：(1)由题意得，c＝1，‎ 又椭圆上的点到焦点的距离的最小值为－1，‎ 得a－c＝－1，联立解得a＝，则b2＝a2－c2＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意，显然直线l必存在斜率，又直线过点(0，)，‎ ‎∴设所求直线l的方程为：y＝kx＋，‎ 联立方程 消去y，整理得(2k2＋1)x2＋4kx＋2＝0，‎ 要使直线l与此椭圆相切，‎ 则Δ＝(4k)2－4(2k2＋1)×2＝0，‎ 解得k2＝，即k＝±，‎ ‎∴所求直线方程为：y＝x＋或y＝－x＋，‎ 即直线l的方程为x－y＋2＝0或x＋y－2＝0.‎ ‎18．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且y1y2＝－4.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)已知点P(－1，k)，且△PAB的面积为6，求k的值．‎ 解：(1)由已知得F，‎ 设直线AB的方程为y＝k，‎ 联立方程消去x，‎ 得ky2－2py－kp2＝0，‎ ‎∴y1y2＝－p2＝－4，‎ 从而p＝2，抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由(1)知F(1,0)，直线AB的方程为y＝k(x－1)，‎ 联立方程消去x，得ky2－4y－4k＝0，‎ ‎∴|AB|＝·＝4.‎ 又P到直线AB的距离d＝.‎ 故S△PAB＝×|AB|×d＝6＝6.‎ 解得k＝±.‎ ‎19．设椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任意一点，且△MF1F2的周长是4＋2.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足AB―→⊥BC―→，AD―→∥OC―→，连接AC交DE于点P，求证：|PD|＝|PE|.‎ 解：(1)由e＝，知＝，所以c＝a.‎ 因为△MF1F2的周长是4＋2，‎ 所以2a＋2c＝4＋2，‎ 所以a＝2，c＝，b2＝a2－c2＝1，‎ 所以椭圆C1的方程为：＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，‎ 设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，‎ 因为AB―→⊥BC―→，所以可设C(2，y1)，‎ 所以AD―→＝(x0＋2，y0)，OC―→＝(2，y1)，‎ 由AD―→∥OC―→可得：(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝.‎ 所以直线AC的方程为：＝.‎ 整理得：y＝(x＋2)．‎ 又点P在DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得：y＝，‎ 即点P的坐标为，所以P为DE的中点，‎ 所以|PD|＝|PE|.‎ ‎20．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标．‎ 解：(1)由题意可知解得 所以椭圆C的方程是＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，把y＝k(x－2)代入椭圆方程＋＝1，‎ 整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，‎ 所以2＋x1＝，解得x1＝，‎ 则D，‎ 所以BD中点的坐标为，‎ 则直线BD的垂直平分线方程为 y－＝－，得P.‎ 又·＝0，即·＝0，‎ 化简得＝0，即64k4＋28k2－36＝0，‎ 解得k＝±.‎ 故P点坐标为或.‎