洛阳市2018—2019学年高中三年级第二次统一考试理科数学(解析版)

洛阳市2018—2019学年高中三年级第二次统一考试理科数学(解析版)

洛阳市 2018—2019 学年高中三年级第二次统一考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 [ 1,1], { | ln 0}A B x x    ，则 A B  （ ） A．(0,1) B．(0,1] C．( 1,1) D．[ 1,1] 1．答案：A 解析： [ 1,1], { | ln 0} { | 0 1}, (0,1)A B x x x x A B         ． 2．已知 z 的共轭复数是 z ，且 1 2iz z   （i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．答案：D 解析：设 i ( , )z a b a b  R ，则 iz a b  ， 1 2iz z   ， 2 2 ( 1) ( 2)ia b a b      ， 2 2 31 2 2 0 2 aa b a b b            ，∴复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限． 3．已知向量 (1, 3), 3a b   ，且 a 与b  的夹角为 3  ，则 2a b   （ ） A．5 B． 37 C．7 D．37 3．答案：B 解析： (1, 3), 2, 3a a b      ， a 与b  的夹角为 3  ， cos 33a b a b         ， 2 222 4 +4 16 12 9 37, 2 37a b a a b b a b                   ． 4．已知函数 2 , 0( ) 2 1, 0 xe xf x x x x      ≤ ，若 2( 1) ( 1)f a f a  ≥ ，则实数 a 的取值范围是（ ） A．[ 2,1] B．[ 1,2] C．( , 2] [1, )   D．( , 1] [2, )   4．答案：A 解析：因为函数函数 2 , 0( ) 2 1, 0 xe xf x x x x      ≤ 在区间( , )  上单调递减，由 2( 1) ( 1)f a f a  ≥ ， 得 21 1a a  ≤ ，即 2 2 0, ( 2)( 1) 0a a a a   ≤ ≤ ，解得 2 1a ≤ ≤ ． 5．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”，比如已知正整数 n 被 3 除余 2，被 7 除余 4，被 8 除余 5，求 n 的最小值，执行程序框图，则输出的 n＝（ ） A．62 B．59 C．53 D．50 开始 1 2 3112, 120, 105m m m   1 2 32 4 5n m m m   n>168? 输出n 结束 168n n  是 否 5．答案：C 解析： 1 2 3112, 120, 105, 2 112 4 120 5 105 1229m m m n           ，由程序框图及题设中的 “中国剩余定理”得此程序的算法功能是“1229 被 168 除的余数是多少”， 1229 7 168 53   ，所以输出 的 53n  ． 6．已知函数 1 3( ) sin cos2 2f x x x  ，将函数 ( )f x 的图象向左平移 ( 0)m m  个单位长度后，所得到的 图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ） A． 6  B． 4  C． 3  D． 2  6．答案：A 解析：由题知 ( ) sin 3f x x      ，将其图象向左平移 m 个单位长度后得到函数 ( ) sin 3g x x m       的 图象，因为函数 ( )g x 的图象关于 y 轴对称， ( ), ( )3 2 6m k k m k k           Z Z ， 0m  ， m 的最小值为 6  ． 7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A．18 B．12 C．10 D．9 3 3 2 4 2 2 7．答案：D 解析：由三视图得该几何体是四棱锥 P ABCD （如图所示），其中底面 ABCD 是直角梯形， 2CD  ， 4AB  且 //CD AB ，与底垂直的腰 3AD  ， PA  底面 ABCD 且 3PA  ，所以该几何体的体积是 1 (2 4) 3 3 93 2     ． A B C D P 8．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    的左、右焦点分别为 1 2,F F ，点 (2, 3)P 在双曲线上，且 1 1 2 2, ,PF F F PF 成等差数列，则该双曲线的方程为（ ） A． 2 2 1x y  B． 2 2 12 3 x y  C． 2 2 13 yx   D． 2 2 116 4 x y  8．答案：A 解析： 1 1 2 2, ,PF F F PF 成等差数列， 1 2 1 22 4PF PF F F c    ，又点 P 在第一象限， 1 2 2PF PF a   ，    2 2 1 2 1 2 1 2 8PF PF PF PF PF PF ac      ， 又 2 2 2 22 2 1 2 1 2=(2 ) 3, =(2 ) 3, 8PF c PF c PF PF c       ， 1a  ， 将点 (2, 3)P 代入 2 2 2 1yx b  ，得 2 1b  ，所以双曲线的方程为 2 2 1x y  ． 9．如图所示，三国时代数学家在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明，图中包含四个 全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30 ，若向图中随机抛掷 200 颗 米粒（大小忽略不计，取 3 1.732 ），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） A．20 B．27 C．54 D．64 30 9．答案：B 解析：设大正方形的边长为 2，则小正方形的边长为 3 1 ，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正 方形（阴影）内的概率为 2( 3 1) 314 2    ，向图中随机抛掷 200 颗米粒，则落在小正方形（阴影）内 的米粒数大约为 3200 1 272        ． 10．如果点 ( , )P x y 满足 2 2 0 2 1 0 2 0 x y x y x y         ≥ ≤ ≤ ，点Q 在曲线 2 2( 2) 1x y   上，则 PQ 的取值范围是（ ） A．[ 5 1, 10 1]  B．[ 5 1, 10 1]  C．[ 10 1,5] D．[ 5 1,5] 10．答案：D 解析：作可行域为如图所示的 ABC△ ，其中 ( 1,0), (0, 2), (1,1)A B C ，点Q 所在圆的圆心为 (0, 2)M  ， 半径为 1，当点 P 位于 ( 1,0)A  时， PM 取得最小值 5 ，当点 P 位于 (0, 2)B 时， PM 取得最大值 4， 所以 PQ 的取值范围是[ 5 1,5] ． 3 2 1 1 2 3 2 2 M B A C O 11．在四面体 ABCD 中， AD  平面 , 10, 2ABC AB AC BC   ，若四面体 ABCD 的外接球的表 面积为 676 9  ，则四面体 ABCD 的体积为（ ） A．24 B．12 C．8 D．4 11．答案：C 解析：因为 AD  平面 ABC ，所以是圆柱模型，设外接球半径为 R ，则 2 676 94  R  ，解得 13 3R  ， 设 ABC△ 的外接圆半径为 r ，在 ABC△ 中， 10, 2AB AC BC   ， 则 2 2 2 10 10 4 4cos 2 52 10 10 AB AC BCBAC AB AC         ， 3sin 5BAC   ， 由正弦定理可得 10 52 ,sin 3 3 BCr rBAC    ． 1 sin 32ABCS AB AC BAC    △ ， 设 AD h ，由 2 2 2 2 hR r       ，解得 8h  ，所以 1 1 3 8 83 3D ABC ABCV S h     △ ． 12．已知 0a  ，曲线 2( ) 3 4f x x ax  与曲线 2( ) 2 lng x a x b  有公共点，且在公共点处的切线相同， 则实数b 的最小值为（ ） A．0 B． 2 1 e C． 2 2 e D． 2 4 e 12．答案：B 解析：设公共点坐标为 0 0( , )x y ， 22( ) 6 4 , ( ) af x x a g x x     ， 2 0 0 26 4 ax a x   ， 即 2 2 0 03 2 0x ax a   ， 0 0 0 0( )(3 ) 0, 0, 0,x a x a a x x a        ，又 2 2 0 0 03 4 2 lnx ax a x b   ， 2 22 lnb a a a   ，设 2 2( ) 2 ln ( 0)h a a a a a   ，则 ( ) 4 (ln 1) ( 0)h a a a a    ， 当 10 a e  时， ( ) 0, ( )h a h a  单调递减，当 1a e 时， ( ) 0, ( )h a h a  单调递增， min 2 1 1( )h a h e e        ，即b 的最小值为 2 1 e ． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上． 13． 10 3 3 1 3 x x     的展开式中含 2x 项的系数为 ． 13．答案：5 解析： 10 3 3 1 3 x x     展开式的通项公式为   10 2103 3 1 10 103 1 1 33 k k kkk k kT C x C x x               ， 令10 2 23 k  ，得 2k  ，所以 10 3 3 1 3 x x     的展开式中含 2x 项的系数为 2 10 1 59 C  ． 14．在 ABC△ 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，若 , ,a b c 成等比数列，且 3tan 4B  ，则 1 1 tan tanA C 的值是 ． 14．答案： 5 3 解析： , ,a b c 成等比数列， 2b ac  ，由正弦定理得 2sin sin sinB A C ， 1 1 cos cos sin cos cos sin sin( ) sin 1 tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin sin A C C A C A C A B A C A C A C A C A C B         ， 3 3 1 1 1 5tan , sin ,4 5 tan tan sin 3B B A C B       ． 15．已知 0, 0x y  ，且 1 2 1x y  ，则 xy x y  的最小值为 ． 15．答案：7 4 3 解析： 1 2 1, 2 , 3 2x y xy xy x y x yx y          ， 1 2 6 2 6 23 2 (3 2 ) 7 7 2 7 4 3≥x y x yx y x y x y y x y x                ， xy x y   的最小值为7 4 3 ． 16．已知过椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    的左顶点 ( ,0)A a 作直线 l 交 y 轴于点 P ，交椭圆于点 Q ，若 AOP△ （O 是坐标原点）是等腰三角形，且 2PQ QA   ，则椭圆的离心率为 ． 16．答案： 2 5 5 解析：不妨设点 P 在 x 轴的上方， AOP△ 是等腰直角三角形， ( ,0)A a 为椭圆的左顶点， (0, )P a ， 又 2PQ QA   ， 2 ,3 3 aQ a     ， 2 2 2 2 2 2 2 2 4 11, 5,9 9 5 a a a b a b b a       ， 所以椭圆的离心率 2 2 2 51 5 be a   Q P A O 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 已知等差数列{ }na 的公差 0d  ，若 3 9 22a a  ，且 5 8 13, ,a a a 成等比数列． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设 2 1 ( 1)n n n n ab a a   ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nS ． 17．解析：（1）依题意可得 1 2 1 1 1 2 10 22 ( 7 ) ( 4 )( 12 ) a d a d a d a d        ，…………………………………………2 分 解得 1 1, 2a d  ，……………………………………………………………………………………………4 分 所以数列{ }na 的通项公式为 2 1na n  ．…………………………………………………………………5 分 （2） 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 4 4 (4 1) 1 1 11 1(2 1)(2 1) 4 1 4 1 4 1 (2 1)(2 1) n n n n a n n nb a a n n n n n n n                 1 1 11 2 2 1 2 1n n        ，……………………………………………………………………9 分 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nS n n nn n n n                                           ．……12 分 18．（本小题满分 12 分） 如图 1，平面多边形 PABCD 中， , 2 2 4PA PD AD DC BC    ， // , ,AD BC AD DC E 为 PD 的 中点，现将 APD△ 沿 AD 折起，如图 2，使 2 2PC  ． A B C D E P P A B C D E 图1 图2 （1）证明： //CE 平面 ABP ； （2）求直线 AE 与平面 ABP 所成角的正弦值． 18．解析：（1）取 PA 中点 H ，连接 ,HE BH ，如图， E 为 PD 的中点， HE 为 APD△ 的中位线， 1 2HE AD  ，又 1 2BC AD  ， HE BC  ，所以四边形 BCEH 为平行四边形， //CE BH ． 又因为 BH  平面 ABP ，CE  平面 ABP ， //CE 平面 ABP ．……………………………………5 分 （2）由题意知 PAD△ 为等腰直角三角形，四边形 ABCD 为直角梯形．取 AD 中点 F ，连接 ,BF PF ， 2 4,AD BC   平面多边形 PABCD 中， , ,P F B 三点共线，且 2PF BF  ， 所以翻折后， , , ,PF AD BF AD PF BF F AD     平面 PBF ， BC  平面 PBF ， PB  平面 PBF ， BC PB  ．……………………………………………………………………6 分 在直角三角形 PBC 中， 2 2, 2, 2,PC BC PB PBF    △ 为等边三角形．……………7 分 取 BF 中点O ， DC 中点 M ，连接 ,PO OM ，则 PO BF ， DF  平面 PBF ， DF PO  ， 又 ,DF BF F PO   平面 ABCD ．以O 为原点， , ,OB OM OP    的方向分别为 , ,x y z 轴的正方向， 建立如图所示空间直角坐标系，则 1 3(1,0,0), ( 1,2,0), (0,0, 3), ( 1, 2,0), ,1,2 2B D P A E          ， 1 3,3, , (2,2,0), ( 1,0, 3)2 2AE AB BP            ．………………………………………………8 分 设平面 ABP 的法向量为 ( , , )n x y z ，则 2 2 0 3 0 n AB x y n BP x z               ，故可取 (3, 3, 3)n   ，……10 分 210cos , 35 n AEn AE n AE           ，………………………………………………………………11 分 所以直线 AE 与平面 ABP 所成角的正弦值为 210 35 ．………………………………………………12 分 P A B C D EH x y z F O 19．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  ，其焦点为 F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 交于不同的两点 ,A B ， M 为 AB 的中点． （1）若 2p  ， M 的坐标为(1,1) ，求直线l 的方程； （2）若直线l 过焦点 F ， AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N ，试问： 22 MN FN 是否为定值？若为定值，试 求出此定值；否则，说明理由． 19．解析：（1）由题意知直线l 的斜率存在且不为 0，故设直线l 的方程为 1 ( 1)x t y   ，即 1x ty t   ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由 2 1 4 x ty t y x      ，得 2 4 4 4 0y ty t    ，………………………………2 分 2 2 1 216 16 16 16( 1) 0, 4t t t t y y t          ，………………………………………………3 分 4 2t  ，即 1 2t  ．………………………………………………………………………………………4 分 所以直线l 的方程为 2 1 0x y   ．……………………………………………………………………5 分 （2） 22 MN FN 为定值 2p ，证明如下： 因为抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  ，所以焦点 F 的坐标为 ,02 p     ． 由题意知直线l 的斜率存在且不为 0，又直线l 过点 F ，故设直线的方程为 ( 0)2 px ty t   ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由 2 2 2 px ty y px      ，得 2 22 0y pty p   ， 2 2 2 1 24 4 0, 2p t p y y pt      ，………………………………………………………………7 分 2 2 1 2 1 2( ) 2 , ,2 px x t y y p pt p M pt pt            ．……………………………………8 分 MN 的方程为 2 2 py pt t x pt        ．……………………………………………………9 分 令 0y  ，得 2 23 3, ,02 2 p px pt N pt       ，………………………………………………10 分 2 2 2 2 2 23, 2 2 pMN p p t FN pt p pt p        ，…………………………………………11 分 2 2 2 2 2 2 2( ) 2MN p p t pFN pt p   ．……………………………………………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放的乙市进行单车使 用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B 两个调查小 组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获得的有效问卷中，针对 15 至 45 岁的人群，按比例随机抽取了 300 份，进行数据统计，具体情况如下表： A 组统计结果 B 组统计结果 组别 年龄 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车 [15, 25) 27 人 13 人 40 人 20 人 [25, 35) 23 人 17 人 35 人 25 人 [35, 45] 20 人 20 人 35 人 25 人 （1）先用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60 的样本，再用分 层抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去， ①求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数． ②为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人员 召开座谈会．会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人，每人 1 份（其余人员仅赠送骑行优惠券）．已知参加座 谈会的人员有且只有 4 人来自 A 组，求 A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的分布列和数学期望． （2）从统计数据可直观得出“经常使用共享单车且年龄达到 m 岁”的有关结论．在用独立性检验的方法 说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄 m 应取 25 还是 35？请通过比较 K2 的观测值的大小 加以说明． 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 20．解析：（1）①从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁”的人数为 60100 20300  ，再将这 20 人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数 为 4520 9100  ．…………………………………………………………………………………………2 分 ②A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 可能取值为 0，1，2，3，相应概率为 3 1 2 2 1 3 5 4 5 4 5 4 3 3 3 3 9 9 9 9 5 10 5 1( 0) , ( 1) , ( 2) , ( 3)42 21 14 21 C C C C C CP X P X P X P XC C C C            ．…4 分 故其分布列为 X 0 1 2 3 P 5 42 10 21 5 14 1 21 5 10 5 1 4( ) 0 1 2 342 21 14 21 3E X          ．……………………………………………………6 分 （2）按“年龄是否达到 35 岁”对数据进行整理，得到如下列联表： 经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到 35 岁 125 75 200 达到 35 岁 55 45 100 合计 180 120 300 35m  时，可求得 2K 的观测值 2 2 1 300 (125 45 75 55) 300 1500 25 200 100 180 120 200 100 180 120 16k             ……9 分 按“年龄是否达到 25 岁”对数据进行整理，得到如下列联表： 经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到 25 岁 67 33 100 达到 25 岁 113 87 200 合计 180 120 300 25m  时，可求得 2K 的观测值 2 2 2 300 (67 87 33 113) 300 2100 49 100 200 180 120 100 200 180 120 16k             ……10 分 2 1k k ，欲使犯错误的概率尽可能小，需取 25m  ．…………………………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ( 1) (ln 1) ( 2)f x x a x x a      ． （1）讨论 ( )f x 的极值点的个数； （2）若方程 ( ) 1 0f x a   在 (0,2]上有且只有一个实数根，求 a 的取值范围． 21．解析：（1） ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 1 ( 1)(2 )( ) 2( 1) 1 x x af x x a x x           ．……1 分 由 ( ) 0f x  ，得 1x  或 2 ax  ． 当 0a ≤ 时，由 ( ) 0f x  得 1x  ，由 ( ) 0f x  得0 1x  ， ( )f x 在 (1, ) 上单调递增，在(0,1) 上单调递减， ( )f x 在 1x  处取得极小值，无极大值．……3 分 当 0 12 a  ，即0 2a  时，由 ( ) 0f x  得 1x  或0 2 ax  ，由 ( ) 0f x  得 12 a x  ， ( )f x 在 0, 2 a     上单调递增，在 ,12 a     上单调递减，在(1, ) 上单调递增， ( )f x 在 1x  处取得极小值，在 2 ax  处取得极大值．………………………………………………4 分 综上，当 0a ≤ 时， ( )f x 有一个极值点；当0 2a  时， ( )f x 有两个极值点．……………………5 分 （2）当 2a  时，设 2( ) 1 ( 1) (ln 1 1( ) )g f x a x a x ax x         ，则 ( )g x 在 (0, 2] 上有且只有 一个零点．显然函数 ( )g x 与 ( )f x 的单调性是一致的．……………………………………………………6 分 ①当 0a ≤ 时，由（1）知函数 ( )g x 在 (0,1) 上单调递减，在(1,2]上单调递增， ( )g x 在(0, 2] 上的最小 值为 (1) 1g a  ，由于 2 2 2 2 1 1 1 1 0ag e e e               ，要使 ( )g x 在 (0, 2] 上有且只有一个零点，需满 足 (1) 0g  或 (2) 0g  ，解得 1a   或 2 ln 2a   ．……………………………………………………8 分 ②当0 2a  时，函数 ( )g x 在 0, 2 a     上单调递增，在 ,12 a     上单调递减，在(1,2]上单调递增． (1) 1 0,g a    当 , 22 ax     时，总有 ( ) 0g x  ．……………………………………………9 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2, ( 2) ln 2 2 0 a a a a a a a a a ae a g e e e a a e a                                    ， ( )g x 在 0, 2 a     上必有零点．又 ( )g x 在 0, 2 a     上单调递增， 所以当0 2a  时， ( )g x 在(0, 2] 上有且只有一个零点．………………………………………………11 分 综上，当0 2a  或 2 ln 2a   或 1a   时， 方程 ( ) 1 0f x a   在 (0,2]上有且只有一个实数根．……………………………………………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 1 2 2 x t y t       （t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 4 1 3sin   ． （1）求曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）设曲线 2C 经过伸缩变换 2x x y y      得到曲线 3C ， ( , )M x y 是曲线 3C 上任意一点，求点 M 到曲线 1C 的 距离的最大值． 22．解析：（1）根据 1 2 2 x t y t       ，消去参数t 可得曲线 1C 的普通方程 2 5 0x y   ，………………2 分 2 2 2 2 2 4 , 3 sin 41 3sin       ，由 2 2 2 , sinx y y     可得： 2 24 4x y  ， 故曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 14 x y  ．…………………………………………………………5 分 （2）曲线 2 2 2 : 14 xC y  经过伸缩变换 2x x y y      得到曲线 3C 的方程为 2 2 116 x y   ， 所以曲线 3C 的方程为 2 2 116 x y  ．……………………………………………………………………7 分 设 (4cos , sin )M   ，则点 M 到曲线 1C 的距离 2 5 sin( ) 54cos 2sin 5 2sin 4cos 5 2 5 5 2 5 5 5 5 5 d               ≤ ，……9 分 其中 tan 2  ，所以点 M 到曲线 1C 的距离的最大值为 2 5 ．……………………………………10 分 23．【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知 ( ) 1 , ( ) 2f x x g x x a    ． （1）当 1a   时，求不等式 ( ) ( )f x g x≥ 的解集； （2）若存在 0x R ，使得 0 0( ) ( )f x g x≥ 成立，求 a 的取值范围． 23．解析：（1）当 1a   时原不等式可化为 1 2 1x x  ≥ ，设 ( ) 1 2x x x    ， 则 1, 1 ( ) 3 1, 1 0 1, 0 x x x x x x x           ≤ ≥ ，………………………………………………………………2 分 则 1 1 1 x x     ≤ ≥ 或 1 0 3 1 1 x x       ≥ 或 0 1 1 x x     ≤ ≥ ， 解得 或 2 03 x ≤ 或0 2x≤ ≤ ．即 2 23 x ≤ ≤ ．…………………………………………4 分 所以原不等式的解集为 2 23x x    ≤ ≤ ．…………………………………………………………5 分 （2）存在 0 Rx  ，使得 0 0( ) ( )f x g x≥ 成立，等价于 1 2x x a ≥ 有解，……………………6 分 即 ( )x a ≥ 有解，即 max( )a x≤ ．…………………………………………………………………7 分 由（1）知 ( )x 在( ,0) 上单调递增，在[0, ) 上单调递减．………………………………8 分 max( ) (0) 1x    ，…………………………………………………………………………9 分 1a ≤ ．…………………………………………………………………………………………10 分