【数学】2020届一轮复习人教A版　三角函数的图象与性质学案

【数学】2020届一轮复习人教A版　三角函数的图象与性质学案

‎2020届一轮复习人教A版 　三角函数的图象与性质 学案 ‎ [全国卷3年考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2018‎ 三角恒等变换及三角函数的周期与最值·T8‎ 三角函数单调性的应用·T10‎ 正切函数的周期·T6‎ ‎2017‎ 三角函数的周期·T3‎ 三角函数的最值·T6‎ 三角函数的最值·T13‎ ‎2016‎ 三角函数的图象变换与性质·T6‎ 已知三角函数图象求解析式·T3‎ 三角函数图象变换·T14‎ 三角函数的最值·T11‎ ‎(1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．‎ ‎(2)主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第3～11或14～15题位置上．‎ 三角函数的定义、诱导公式及基本关系 ‎[大稳定]‎ ‎1.在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点和，则sin(α＋β)＝(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B. C．－ D. 解析：选D　因为角α，β的终边分别与单位圆交于点和，所以sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.‎ ‎2.若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 解析：选B　∵tan α＝，‎ ‎∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)‎ ‎＝sin2α－cos2α＝ ‎＝＝－.‎ ‎3.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)‎ A. B. C．0 D．－ 解析：选A　由已知，得f＝f＋sin ‎＝f＋sin ＋sin ‎＝f＋sin ＋sin ＋sin ‎＝f＋sin ＋sin＋sin ‎＝0＋＋＋＝.‎ ‎[解题方略]‎ ‎1．同角三角函数基本关系式的应用技巧 知弦求弦 利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 知弦求切 常通过平方关系、对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α建立联系，注意tan α＝的灵活应用 知切求弦 通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解 和积转换法 如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 巧用“1”‎ 的变换 ‎1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ ‎2．利用诱导公式进行化简求值的步骤 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)‎ ‎[小创新]‎ ‎1.设an＝sin，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是(　　)‎ A．25 B．50‎ C．75 D．100‎ 解析：选D　当1≤n≤24时，an>0，当26≤n≤49时，an<0，但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值；当51≤n≤74时，an>0；当76≤n≤99时，an<0，但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值．故当1≤n≤100时，均有Sn>0.‎ ‎2.某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．0‎ 解析：选A　由已知程序框图可知，该程序的功能是计算S＝sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin的值．‎ 因为sin ＝，sin ＝sin＝sin ＝，sin ＝sin π＝0，‎ sin ＝sin＝－sin ＝－，‎ sin ＝sin＝－sin ＝－，‎ sin ＝sin 2π＝0，而sin ＝sin＝sin ，‎ sin ＝sin＝sin ，sin ＝sin(2π＋π)＝sin π，所以函数值呈周期性变化，周期为6，且sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＝0.‎ 而2 017＝6×336＋1，所以输出的S＝336×0＋sin ＝.故选A.‎ ‎3. ‎《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于‎4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　)‎ A．‎6 m2‎ B．‎‎9 m2‎ C．‎12 m2‎ D．‎‎15 m2‎ 解析：选B　如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，‎ 于是矢＝4－2＝2.‎ 由AD＝AO·sin ＝4×＝2，‎ 可得弦长AB＝2AD＝2×2＝4.‎ 所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)．故选B.‎ 题型一　由“图”定“式”‎ ‎[例1]　(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)‎ A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin ‎(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象与x轴的一个交点到其相邻的一条对称轴的距离为，若f＝，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A.　　　　　　　　 　B．－ C．－ D．－ ‎[解析]　(1)由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点，最低点，‎ 所以函数的最大值为2，即A＝2.‎ 由图象可得，x＝－，x＝为相邻的两条对称轴，‎ 所以函数的周期T＝2×＝4π，‎ 故＝4π，解得ω＝.‎ 所以f(x)＝2sin.‎ 把点代入可得2sin＝2，‎ 即sin＝1，‎ 所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．‎ 又0<φ<π，所以φ＝.‎ 所以f(x)＝2sin，故选B.‎ ‎(2)由题意得，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝π＝，解得ω＝2.‎ 因为点在函数f(x)的图象上，‎ 所以Asin＝0，‎ 解得φ＝kπ＋，k∈Z，由0<φ<π，可得φ＝.‎ 因为f＝，所以Asin＝，‎ 解得A＝，所以f(x)＝sin.‎ 当x∈时，2x＋∈，‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴f(x)的最小值为－.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)C ‎[解题方略]　由“图”定“式”找“对应”的方法 由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．‎ ‎(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.‎ ‎(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.‎ ‎(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”．‎ 题型二　三角函数的图象变换 ‎[例2]　(1)(2019届高三·湘东五校联考)将函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的一条对称轴的方程可能是(　　)‎ A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝ ‎(2)(2018·郑州第一次质量测试)若将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ ‎[解析]　(1)依题意知，将函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数g(x)＝sin的图象．令x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z，当k＝0时，所得函数图象的一条对称轴的方程为x＝，故选D.‎ ‎(2)将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin(2x＋π)＝－sin 2x的图象，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，因此函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选A.‎ ‎[答案]　(1)D　(2)A ‎[解题方略]　关于三角函数的图象变换的方法 沿x轴 沿y轴 平移变换 由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移 由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移 伸缩变换 由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍 由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍 增分考点·讲练冲关 ‎[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)‎ A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3‎ B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4‎ C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3‎ D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4‎ ‎ (2)(2018·昆明调研)已知函数f(x)＝sin ωx的图象关于点对称，且f(x)在上为增函数，则ω＝(　　)‎ A. B．3‎ C. D．6‎ ‎(3)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　)‎ A. B. C. D．π ‎[解析]　(1)∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.‎ ‎(2)因为函数f(x)＝sin ωx的图象关于对称，‎ 所以π＝kπ(k∈Z)，即ω＝k(k∈Z)．①‎ 又函数f(x)＝sin ωx在区间上是增函数，‎ 所以≤且ω>0，所以0<ω≤2.②‎ 由①②得ω＝，故选A.‎ ‎(3)法一：∵f(x)＝cos x－sin x＝－sin x－，‎ ‎∴当x－∈，即x∈时，‎ y＝sin单调递增，‎ f(x)＝－sin单调递减，‎ ‎∴是f(x)在原点附近的单调减区间，‎ 结合条件得[0，a]⊆，‎ ‎∴a≤，即amax＝.故选C.‎ 法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sin.‎ 于是，由题设得f′(x)≤0，即sin≥0在区间[0，a]上恒成立．‎ 当x∈[0，a]时，x＋∈，‎ 所以a＋≤π，即a≤，‎ 故所求a的最大值是.故选C.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)A　(3)C ‎[解题方略]‎ ‎1．求三角函数单调区间的方法 ‎(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．‎ ‎(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．‎ ‎2．判断对称中心与对称轴的方法 利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．‎ ‎3．求三角函数周期的常用结论 ‎(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.‎ ‎(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．‎ ‎[多练强化]‎ ‎1．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于中心对称，则函数f(x)在上的最小值是(　　)‎ A．－1 B．－ C．－ D．－ 解析：选B　f(x)＝2sin，又图象关于中心对称，‎ 所以2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，‎ 所以θ＝kπ－(k∈Z)，又0<θ<π，所以θ＝，‎ 所以f(x)＝－2sin 2x，因为x∈，‎ 所以2x∈，f(x)∈[－，2]，‎ 所以f(x)的最小值是－.‎ ‎2．(2018·济南模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝f(x)，则(　　)‎ A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递增 D．f(x)在上单调递减 解析：选D　因为f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin的最小正周期为π，所以＝π，所以ω＝2.因为f＝f(x)，所以直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以2×＋φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin.当x∈时，2x＋∈，f(x)先增后减，当x∈时，2x＋∈，f(x)单调递减．故选D.‎ ‎3．(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．‎ 解：(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x ‎＝－cos 2x＋sin 2x ‎＝sin＋，‎ 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin＋.‎ 由题意知－≤x≤m，‎ 所以－≤2x－≤‎2m－.‎ 要使f(x)在区间上的最大值为，‎ 即sin在区间上的最大值为1.‎ 所以‎2m－≥，即m≥.‎ 所以m的最小值为.‎ 三角函数图象与性质的综合应用 ‎[典例]　已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋(2sin2ωx－1)‎ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin.‎ 由最小正周期为π，得ω＝1，‎ 所以f(x)＝2sin，‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象，‎ 所以g(x)＝2sin 2x＋1.‎ 令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，‎ 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可．‎ 所以b的最小值为4π＋＝.‎ ‎[解题方略]‎ 解决三角函数图象与性质综合问题的思路 ‎(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函数)的形式；‎ ‎(2)把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题．‎ ‎[多练强化]‎ ‎(2017·山东高考)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．‎ 解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ‎＝sin ωx－cos ωx ‎＝ ‎＝sin.‎ 因为f＝0，‎ 所以－＝kπ，k∈Z.‎ 故ω＝6k＋2，k∈Z.‎ 又0<ω<3，所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，‎ 所以x－∈，‎ 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎ 直观想象——数形结合法在三角函数图象问题中的应用 ‎[典例]　函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的图象如图所示，为了得到g(x)＝cos 的图象，则只需将f(x)的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎[解析]　根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象知，＝－＝，∴T＝π，即＝π，解得ω＝2.根据“五点作图法”并结合|φ|<，可知2×＋φ＝π，解得φ＝，∴f(x)＝sin.∴g(x)＝cos＝sin＋＝sin.故为了得到g(x)的图象，只需将f(x)的图象向左平移个单位长度即可．‎ ‎[答案]　A　‎ ‎[素养通路]‎ 本题利用图形描述数学问题，通过对图形的理解，由图象建立形与数的联系，确定函数的周期，根据“五点作图法”代入数据求参数．考查了直观想象这一核心素养．‎ ‎ A组——“6＋3＋‎3”‎考点落实练 一、选择题 ‎1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)‎ A.　　　　　　 　 B. C．π D．2π 解析：选C　由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝ sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎2.(2018·贵阳第一学期检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，－<φ<的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选B　由题意，得＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝.‎ ‎3．(2019届高三·西安八校联考)已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　因为0<θ<π，所以<＋θ<，‎ 又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝时取得最小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos.‎ 由0≤x≤π，得≤x＋≤.‎ 由π≤x＋≤，得≤x≤π，‎ 所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是，故选A.‎ ‎4．函数f(x)＝sin的图象与函数g(x)的图象关于x＝对称，则g(x)具有的性质是(　　)‎ A．最大值为1，图象关于直线x＝对称 B．在上单调递减，为奇函数 C．在上单调递增，为偶函数 D．周期为π，图象关于点对称 解析：选B　由题意得，g(x)＝sin＝sin(－2x)＝－sin 2x，最大值为1，而g＝0，图象不关于直线x＝对称，故A错误；当x∈时，2x∈，满足单调递减，显然g(x)也是奇函数，故B正确，C错误；周期T＝＝π，g＝－，故图象不关于点 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3π,8)，0))对称，故D错误．‎ ‎5．(2019届高三·安徽知名示范高中联考)先将函数y＝2sin＋1的图象向左平移个最小正周期的单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得图象对应的函数是(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定 解析：选B　因为函数y＝2sin＋1，所以其最小正周期T＝π，所以将函数图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为y＝2sin＋1＝2sin＋1＝2sin＋1＝2cos 2x＋1，再将图象向下平移1个单位长度后所得的图象对应的函数解析式为y＝2cos 2x，该函数为偶函数，故选B.‎ ‎6．(2018·广州高中综合测试)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　法一：因为x∈，所以ωx＋∈，‎ 因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，‎ 所以 即 又ω>0，所以0<ω≤，选B.‎ 法二：取ω＝1，f＝sin＝－sin <0，f＝sin＝sin ＝1，f＝sin＝sin ＝，不满足题意，排除A、C、D，选B.‎ 二、填空题 ‎7．(2018·惠州调研)已知tan α＝，且α∈，则cos＝____________.‎ 解析：法一：cos＝sin α，由α∈知α为第三象限角，‎ 联立得5sin2α＝1，故sin α＝－.‎ 法二：cos＝sin α，由α∈知α为第三象限角，由tan α＝，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－.‎ 答案：－ ‎8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为______．‎ 解析：由题意得＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2，‎ 将点P代入f(x)＝sin(2x＋φ)，‎ 得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．‎ 又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝－.‎ 答案：－ ‎9．已知函数f(x)＝cos，其中x∈，m，若f(x)的值域是，则m的最大值是________．‎ 解析：由x∈，可知≤3x＋≤‎3m＋，‎ ‎∵f＝cos ＝－，且f＝cos π＝－1，‎ ‎∴要使f(x)的值域是，‎ 需要π≤‎3m＋≤，即≤m≤，‎ 即m的最大值是.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．(2018·石家庄模拟)函数f(x)＝Asinωx－＋1(A>0，ω ‎>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)设α∈，f＝2，求α的值．‎ 解：(1)∵函数f(x)的最小值为－1，‎ ‎∴－A＋1＝－1，即A＝2.‎ ‎∵函数f(x)的图象的相邻两个最高点之间的距离为π，‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期T＝π，‎ ‎∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为 f(x)＝2sin＋1.‎ ‎(2)∵f＝2sin＋1＝2，‎ ‎∴sin＝.‎ ‎∵0<α<，∴－<α－<，∴α－＝，得α＝.‎ ‎11．已知m＝，n＝(cos x,1)．‎ ‎(1)若m∥n，求tan x的值；‎ ‎(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．‎ 解：(1)由m∥n得，sin－cos x＝0，展开变形可得，sin x＝cos x，即tan x＝.‎ ‎(2)f(x)＝m·n＝sincos x＋1‎ ‎＝sin xcos x－cos2x＋1‎ ‎＝sin 2x－＋1‎ ‎＝＋ ‎＝sin＋，‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，f(x)的单调递增区间为和.‎ ‎12．已知函数f(x)＝cos x(2sin x＋cos x)－sin2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若当x∈时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋cos2x－sin2x ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝2 ‎＝2sin，‎ 所以函数f(x)的最小正周期T＝π.‎ ‎(2)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，‎ 即m≤f(x)max，因为x∈，所以2x＋∈，‎ 故当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值，‎ 且最大值为f＝2.从而可得m≤2.‎ 所以实数m的取值范围为(－∞，2]．‎ B组——大题专攻补短练 ‎1．已知向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2sin ωx)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋，直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调递增区间．‎ 解：(1)因为向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2sin ωx)(ω>0)，所以函数f(x)＝m·n＋＝2sin ωxcos ωx＋sin ωx(－2sin ωx)＋＝sin 2ωx－2sin2ωx＋＝ sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin.‎ 因为直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为，所以函数f(x)的最小正周期为×2＝π，即＝π，得ω＝1.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝2sin，‎ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎2.已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．‎ ‎(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；‎ ‎(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．‎ 解：(1)f(x)＝sin 2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)·(cos2ωx＋sin2ωx)＋1‎ ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1‎ ‎＝2sin＋1.‎ ‎∵点是函数f(x)图象的一个对称中心，‎ ‎∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋，k∈Z.‎ ‎∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝，∴f(x)＝2sin＋1.‎ 由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，‎ 令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋1，当x∈[－π，π]时，列表如下：‎ x＋ ‎－ ‎－ ‎0‎ π x ‎－π ‎－ ‎－ π f(x)‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎0‎ 则函数f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示．‎ ‎3．(2018·山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)‎ 的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的解析式；‎ ‎(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin 2x－cos 2x的图象经过怎样的平移变换得到；‎ ‎(3)若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．‎ 解：(1)由题图可知，A＝2，T＝4＝π，‎ ‎∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f＝0，‎ ‎∴sin＝0，∴φ＋＝kπ，k∈Z，‎ 即φ＝－＋kπ，k∈Z.‎ ‎∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.‎ ‎(2)y＝sin 2x－cos 2x ‎＝2sin ‎＝2sin，‎ 故将函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移个单位长度就得到函数y＝f(x)的图象．‎ ‎(3)当－≤x≤0时，－≤2x＋≤，故－2≤f(x)≤，若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则曲线y＝f(x)与直线y＝m在上有2个交点，结合图形，易知－2＜m≤－.‎ 故m的取值范围为(－2，－]．‎ ‎4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在x＝时取得最大值1.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈时，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3，求x1＋x2＋x3的取值范围．‎ 解：(1)由题意，T＝2×＝π，故ω＝＝2，‎ 所以sin＝sin＝1，‎ 所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z.‎ 因为0≤φ≤，所以φ＝，所以f(x)＝sin.‎ ‎(2)画出该函数的图象如图，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，且点(x1，a)和(x2，a)关于直线x＝对称，点(x2，a)和(x3，a)关于直线x＝对称，‎ 所以x1＋x2＝，π≤x3<，‎ 所以≤x1＋x2＋x3<，‎ 故x1＋x2＋x3的取值范围为.‎