数学卷·2018届河北省定州中学高三（承智班）上学期期末考试（2018

数学卷·2018届河北省定州中学高三（承智班）上学期期末考试（2018

河北定州中学2017—2018学年度高三上学期期末考试 数学试题 一、单选题 ‎1．已知函数，下列说法中错误的是（ ）‎ A. 的最大值为2‎ B. 在内所有零点之和为0‎ C. 的任何一个极大值都大于1‎ D. 在内所有极值点之和小于55‎ ‎2．已知球与棱长为4的正方形的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3．已知函数，当时， 恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃，梅花，方片以及黑桃，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：‎ 小明说：第1个盒子里面放的是梅花，第3个盒子里面放的是方片；‎ 小红说：第2个盒子里面饭的是梅花，第3个盒子里放的是黑桃；‎ 小张说：第4个盒子里面放的是黑桃，第2个盒子里面放的是方片；‎ 小李说：第4个盒子里面放的是红桃，第3个盒子里面放的是方片；‎ 老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半．”则可以推测，第4个盒子里装的是（ ）‎ A. 红桃或黑桃 B. 红桃或梅花 C. 黑桃或方片 D. 黑桃或梅花 ‎5．已知函数，若在区间上存在，使得，则的取值不可能为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎6．若对圆上任意一点， 的取值与无关，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎7．已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，左、右焦点分别是，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是 A. B. C. D. ‎ ‎9．已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，给出下列命题：‎ ‎ ① 当时， ；‎ ‎ ② 函数的单调递减区间是；‎ ‎ ③ 对，都有.‎ ‎ 其中正确的命题是 A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②‎ ‎10．已知函数，设方程 的四个不等实根从小到大依次为，则下列判断中一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知函数，若成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数，实数满足， ，则（ ）‎ A. 6 B. 8 C. 10 D. 12‎ 二、填空题 ‎13．已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且对于任意的，则实数的取值范围为__________．‎ ‎14．若对于任意的正实数都有成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎15．三棱锥中，底面是边长为的等边三角形， 面， ,则三棱锥外接球的表面积是_____________ .‎ ‎16．已知实数满足，且，则的取值范围是__________．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，其中.‎ ‎（1）设，讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数在内存在零点，求的范围.‎ ‎18．已知椭圆的离心率为是它的一个顶点，过点作圆的切线为切点，且.‎ ‎（1）求椭圆及圆的方程；‎ ‎（2）过点作互相垂直的两条直线，其中与椭圆的另一交点为， 与圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎19．已知．‎ ‎（1）若关于的方程在上恒成立，求的值；‎ ‎（2）证明：当时， ．‎ ‎20．已知椭圆的左右焦点分别为， 若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点是点在轴上的垂足，延长交椭圆于，求证： 三点共线．‎ ‎21．设函数.‎ ‎（1）当时，证明： ， ；‎ ‎（2）若， 都成立，求实数的取值范围.‎ ‎22．已知函数 ‎（1）求曲线在点处的切线方程; ‎ ‎（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，若有，求出极值.‎ 参考答案 DCCAD DBBBC ‎11．C ‎12．A ‎13．‎ ‎14．D ‎15．‎ ‎16．‎ ‎17．（1）见解析；（2）的取值范围是.‎ ‎（1）定义域 ‎ 故 则 ‎ 若，则 在 上单调递减；‎ 若，则 .‎ ‎（i） 当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减；‎ ‎（ii）当时， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）设 ,‎ ‎，设，‎ 则 . ‎ 先证明一个命题：当时， .令， ，故在上是减函数，从而当时， ，故命题成立.‎ 若 ,由 可知， .，故 ，对任意都成立，故 在上无零点，因此.‎ ‎（ii）当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时， ，故 在 上为减函数，又 ，‎ 所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.‎ ‎（iii）若，则由 可知， 恒成立，从而 在 上单调递增，也即 在上单调递增，因此，即在 上单调递增，从而恒成立，故方程 在 上无解.‎ 综上可知， 的取值范围是 .‎ ‎18．（1），椭圆方程为。（2）的面积最大值为.‎ ‎（1）由 ，得 ，故所求椭圆方程为 由已知有 , 圆的方程为： .‎ ‎（2）设直线方程为 ，由 得 ， ,又 .‎ 直线的方程为，即 ，‎ ‎，当且仅当 时取等号.因此的面积最大值为.‎ ‎19．（1）（2）见解析 ‎（1）令，‎ 若，与已知矛盾，‎ 若，则，显然不满足在上恒成立，‎ 若，对求导可得，‎ 由解得，由解得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴， ∴要使恒成立，则须使成立，‎ 即恒成立，两边取对数得， ，整理得，即须此式成立，‎ 令，则，显然当时， ，当时， ，于是函数的上单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，即当且仅当时， 恒成立，‎ ‎∴满足条件，综上所述， ．‎ ‎（2）由（1）知时， ，即恒成立，‎ 令，即，‎ 即，同理， ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 将上式左右相加得： ，‎ 即，即．‎ ‎20．（1）（2）见解析 ‎（1）依题意， ，故，将代入中，‎ 解得，故椭圆；‎ ‎（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为，‎ 点，联立得，‎ 即，‎ 由题可得直线方程为，‎ 又∵，‎ ‎∴直线方程为，‎ 令，整理得 ‎，即直线过点，‎ 又∵椭圆的右焦点坐标为， ∴三点在同一条直线上．‎ ‎21．(1)见解析(2) ‎ ‎（Ⅰ）证明：由知，‎ 当时， （当且仅当时取等号），‎ 故在上是增函数，‎ 又，故， ，‎ 即：当时， ， ． ‎ ‎（Ⅱ）解：当时， ，符合条件；‎ 当时，设与在点处有公切线，‎ 则，‎ 故；‎ 当时，设与在点处有公切线，‎ 同法可得；‎ 综上所述，实数a的取值范围是．‎ ‎22．（1）y=1（2）见解析 ‎（1） ‎ ‎ ∴ 则切线方程为 ‎ ‎（2）依题意得 ‎∴ ‎ 令，则 ‎∴函数在R上单调递增．‎ ‎∵‎ ‎∴时， ； 时， ‎ 当时， ，则时， ，函数在（0，+∞）单调递增； 时， ，函数在（﹣∞，0）单调递减．‎ ‎∴时，函数取得极小值， ，无极大值 ‎ 当时，令，则， ‎ ‎①时， 时， ， ，函数单调递增；‎ 时， ， ，函数单调递减；‎ 时， ， ，函数单调递增 ‎∴当时，函数取得极小值， ．当时，函数取得极大值， ‎ ‎②时， ， 时， ‎ ‎∴函数在上单调递增，无极值 ‎③时， ， 时， ， ，函数单调递增；‎ 时， ， ，函数单调递减；‎ 时， ， ，函数单调递增．‎ ‎∴当时，函数取得极大值， ，当时，函数取得极小值, ‎ 综上所述：当时，函数在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减， 极小值为﹣1﹣2a，无极大值；‎ 当时，函数在，（0，+∞）上单调递增，在上单调递减， 极小值为，极大值为 当时，函数在上单调递增，无极值 当时，函数在（﹣∞，0），上单调递增，在上单调递减， 极大值为．极小值为． ‎