数学卷·2018届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

数学卷·2018届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

石嘴山市第三中学2018届高三年级第一学期期中考试试题 数学（文科）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1. 在复平面内，复数的对应点为（1，-1），则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为复数的对应点为（1，-1），所以，故.所以选D. ‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．‎ ‎2. 已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为 或，，所以，故选B.‎ ‎3. “”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由题意，因为，所以，必要性成立，因为或，则当时，充分性不成立，故选B.‎ ‎4. 直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行，则m的值为(    )‎ A. 2 B. -3 C. 2或-3 D. -2或-3‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为直线:与直线:平行，则斜率相等，即，选C ‎5. 记为等差数列的前项和．若， ，则的公差为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.‎ 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.‎ ‎6. 在中， ， 分别为边， 上的点，且， ，若， ， ，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...‎ ‎7. 一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】该几何体的为组合体，左边为三棱柱，右边为半圆柱，其体积为 。故选A。‎ 点睛：由三视图求解几何体体积的解题策略 ‎(1)以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．‎ ‎(2)求几何体的体积时，若所给定几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解，若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等方法求解．‎ ‎8. 数列中，已知对任意正整数，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴ （）‎ 当也适合，故 所以是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，故选B.‎ ‎9. 函数，（其中， ， ）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图象可知A=1，周期，所以，又过点，所以，即，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到，故选A.‎ ‎10. 某校高三(1)班每周都会选出两位“进步之星”，期中考试之后一周“进步之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星”，小谭说：“小赵说的对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“进步之星”是（ ）‎ A. 小赵、小谭 B. 小马、小宋 C. 小马、小谭 D. 小赵、小宋 ‎【答案】A ‎【解析】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星”，是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭．故选：A．‎ ‎11. 已知实数满足若的最大值为10，则（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出可行域如图：‎ 目标函数可化为，作出直线，移动直线，当直线过点B时，取得最大值10，所以，解得，故选B.‎ 点睛：本题考查线性规划问题，涉及到目标函数中有参数问题，综合性要求较高，属于难题．解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题参数为直线的斜率，所以可以考虑斜率的正负进行讨论，，显然直线越上移越大，当直线过B时最大．‎ ‎12. 已知函数的图象上存在点.函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知有解，令，，故函数在递减，在递增，所以，解得.‎ 点睛：本题主要考查图像的对称性，考查函数导数与单调区间、极值的求解.题目论述两个函数图像上存在点关于原点对称，即其中一个函数对称之后和另一个函数有交点，将分离常数后利用导数，即可求得的取值范围.在利用导数求单调区间的过程中，要注意定义域的范围.‎ 二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分共20分.)‎ ‎13. 若，则=____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，所以，故填.‎ ‎14. 已知实数，，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】(-24,8)‎ ‎【解析】当时, ;当时, ;即的取值范围是 ‎15. 长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】长方体的体对角线长为球的直径，则 ， ，则球 的表面积为.‎ ‎16. 在研究函数的性质时，某同学受两点间距离公式启发将变形为，，并给出关于函数以下五个描述：‎ ‎①函数的图像是中心对称图形；②函数的图像是轴对称图形；‎ ‎③函数在[0,6]上是增函数；④函数没有最大值也没有最小值；‎ ‎⑤无论m为何实数，关于x的方程都有实数根.‎ 其中描述正确的是__________.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】由得 ‎，故函数的图象关于对称，故①正确；由意义知当时，，当时，，故函数的图像是轴对称图形不成立，故②不正确；当时，单调增,单调减，故单调增，故③正确；设，，，由其几何意义可得表示，故当时，，当时，，故函数没有最大值也没有最小值，故④正确；当时，由④可知，方程无解，则⑤错误；故答案为①③④.‎ 点睛：本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，综合考查学生的分析能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用；利用中心对称和轴对称的定义和性质可准确判断出①②的正确性；利用函数单调性的定义可得增减型，结合三角形中两边之差小于第三边，可得到后三者的准确性.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. 设数列的前项和为，点均在函数的图象上.‎ ‎（1）求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）设是数列的前项和，求.‎ ‎【答案】(1)见解析;（2） .‎ ‎【解析】试题分析：(1)先求出,然后利用时，代入求解,最后验证首项即可; (2)将进行裂项,即,然后进行求和,消去一些项即可求出数列的前n项和.‎ 试题解析：(1)依题意，，即，‎ 时， ‎ 当时，符合上式，‎ 所以.‎ 又 ∵，‎ ‎∴是一个以1为首项，6为公差的等差数列. ‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ 故 .‎ ‎18. 在中， ， ‎ ‎（1）若，求的长 ‎（2）若点在边上，，，‎ ‎ 为垂足，，求角的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析: ‎ 先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得： 结合∠BDC=2∠A，即可得结论．‎ 解：（1）设，则由余弦定理有：‎ 即 解得：‎ 所以 ‎（2）因为，所以.‎ 在中，由正弦定理可得：，‎ 因为，所以.‎ 所以，所以.‎ ‎19. 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足，现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件.‎ ‎（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；‎ ‎（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.‎ ‎【答案】（1）y=25－（+x），（）（2）促销费用投入3万元时，厂家的利润最大。‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）利润为总销售所得减去投入成本和促销费用，得y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x，又销售量t万件满足t=5－，整理化简可得y=25－（+x）；（2）将函数方程整理为对勾函数形式y =28－（+x+3），利用基本不等式得到= x +3，即x =3时，得到利润最大值为。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知，利润y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x 由销售量t万件满足t=5－（其中0≤x≤a，a为正常数）．‎ 代入化简可得：y=25－（+x），（0≤x≤a，a为正常数）‎ ‎（2）由（1）知y =28－（+x+3），‎ 当且仅当= x +3，即x =3时，上式取等号．‎ 当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大； ‎ 当0＜a＜3时，y在0≤x≤a上单调递增，‎ x = a，函数有最大值．促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大． ‎ 综上述，当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；‎ 当0＜a＜3时，促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大．‎ ‎20. 在三棱锥中， 和是边长为的等边三角形， ， 分别是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证: 平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）欲证OD∥平面PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OD与平面PAC内一直线平行，而OD∥PA，PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC，满足定理条件； （2）欲证平面PAB⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面PAB内一直线与平面ABC垂直，而根据题意可得PO⊥平面ABC； ‎ ‎（3）根据OP垂直平面ABC得到OP为三棱锥P-ABC的高，根据三棱锥的体积公式可求出三棱锥P-ABC的体积．又因为D为PB中点，所以高是PO的一半. ‎ 试题解析：（1）∵分别为的中点，‎ ‎∴.‎ 又平面,平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）连接,∵为中点，,‎ ‎∴.‎ 同理，.‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴平面.‎ ‎（3）由（2）可知平面，‎ ‎∴为三棱锥的高，且.‎ ‎∴.‎ ‎21. 已知函数 .‎ ‎(1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎(2）记函数，若的最小值是，求函数的解析式.‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由 ，知 在 上恒成立，构造函数，利用导数性质，能求出实数的取值范围．‎ ‎（2）由 ，知 ，由 时， 恒成立知 ，由此能求出函数 的解析式．‎ 试题解析：‎ ‎⑴ ∴在上恒成立 令∵恒成立,在 单调递减，‎ ‎， ∴ ‎ ‎(2) ∵‎ 易知时, 恒成立∴在单调递增，无最小值,不合题意 ‎ ‎ ∴ 令,则(舍负) ，由此可得,‎ 在 上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点， 解得， ‎ ‎22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．是上的动点，点满足点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与曲线的异于极点的交点为，与曲线的异于极点的交点为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：(1)通过消参,化为普通方程；(2)利用直线方程的极坐标的集合意义求.‎ 试题解析：（1）设，则由条件知，由于点在上，‎ 所以即消去参数，得，‎ 即的普通方程为．‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，‎ 射线与的交点的极径为，‎ 射线与的交点的极径为．‎ 所以．‎ 考点：1.参数方程化为普通方程；2.直线的极坐标方程的几何意义.‎ ‎ ‎ ‎ ‎