【数学】2019届一轮复习人教A版解不等式学案
一．学习目标
【学习目标】
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．
3．熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法．
二．知识点总结
【知识要点】
1．一元一次不等式
一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集为：
(1)a>0时，
(2)a<0时，．
2．一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c≤0(a>0)的解集的各种情况如下表
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)求解过程的程序框图如下．
三．不等式高考命题题型及陷阱
1.含参数的一元二次不等式问题
例1. 若关于的不等式的解集是,则关于的不等式
的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
练习1．不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【方法总结】：在解含参数的一元二次不等式时，注意不等式的解的形式、二次项系数的符号以及不等号方向的对应关系.
2.不等式中的含参数问题
例2．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题可用排除法，当时，解得有无数个整数解，排除，当
时，不等式化为，得有数个整数解，排除，当时，不等式化为，得，恰有数个整数解，排除，故选B.
【 方法点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.
练习1.已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A. －4≤a≤4 B. －4
O，a≥恒成立，即a≥（）max；
, ∴a≥
③若a<0，△=1-4.
当，即，原不等式的解集为{x| x }.
当时， 时，原不等式化为，
∴原不等式的解集为{x|x=1}.当，即时，原不等式的解集为
综上所述，当时，原不等式的解集为R；
当时，原不等式的解集为{x|x ,或x }；
当a=0，原不等式为{x|x≤0}
当时，原不等式的解集为{x| x }；
当a=时，原不等式的解集为{x|x=1}；
当a时，原不等式的解集为.
3.指数对数不等式的解法
例3. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
，由对数函数增减性得： ，解得： 或 （舍去），故选C.
练习1. 设函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】原函数是偶函数，且在 时，函数单调递减，故> ， ，故选D.
【方法总结】解不等式，如果不好解，就要考虑函数的单调性，奇偶性，直接比较自变量的关系．
注意偶函数要加绝对值.
2.已知函数的值域是集合，关于的不等式的解集为，集合，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
分和两种情形分类求出和，最后再整合求出实数的取值范围.
解：（1）因为，所以在区间上单调递增，所以，所以.
由，可得，即，
所以，所以.
又因为，所以．
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
（2）由，解得，所以．
因为，
①当，即时， ，满足；
②当，即时， ，
所以，解得，
又因为，所以，
综上所述，实数的取值范围为.
【方法总结】：解答本题的第一问时，先依据题设条件先求出，再解不等式由求得集合 ，然后借助数轴数形结合建立不等式求出不等式的解集，得到实数的取值范围为.第二问的求解依据题设条件解不等式求得，再借助分和两种情形分类求出和，最后再整合求出实数的取值范围是.
3.解下列不等式：
（1）；
（2）.
【答案】(1) ; (2) .
【解析】试题分析：（1）转化为同底数的指数形式，利用指数函数的增减性求解；（2）根据对数的运算法则化简，根据对数函数的增减性即可求解.
试题解析：
（1）∵，∴，∴，∴，
∴，∴.
（2）∵，∴，∴
∴，∴ .
4．设函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若对任意实数，关于的方程总有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】试题分析：（1）对，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法，求解不等式即可得结果；（2）任意实数方程总有解,等价于函数的值域为， 的值域为，利用判别式非负，解不等式即可的结果.
试题解析：(1) 由有意义
当时, 的定义域为
当时, 的定义域为
当时, 的定义域为
5.已知，且
（1）当时，解不等式；
（2）在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）当时，可得，即为，由对数函数的单调性，可得不不等式的解集；（2）由在上恒成立，得在上恒成立，讨论，根据的范围，由恒成立思想，可得的范围.
试题解析：（1）当时，解不等式，得，
即， 故不等式的解集为.
（2）由在恒成立，得在恒成立，
①当时，有，得，
②当时，有，得，
故实数的取值范围.
4.不等式与函数性质的综合
例4. 已知函数.正实数满足，则下述结论中正确的一项是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【方法总结】本题主要考查利用导数求函数的最值，一元二次不等式的解法及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将方程问题转化为利用导数求最值进而通过解不等式解答.
练习1.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45<0成立的x的取值范围是( )
A. B. [2,8]
C. [2,8) D. [2,7)
【答案】C
【解析】求解关于的不等式4[x]2－36[x]＋45<0可得，
又因为[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x<8.
表示成区间的形式即[2,8).
本题选择C选项.
练习2．已知函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)·f(x＋1)≤1的解集是( )
A. {x|－1≤x≤－1} B. {x|x≤1}
C. {x|x≤－1} D. {x|－－1≤x≤－1}
【答案】C
【解析】由题意得不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等价于
①
或 ②
解不等式组①得x<－1；
解不等式组②得－1≤x≤－1.
故原不等式的解集是{x|x≤－1}，
故选:C.
3.若两个正实数x,y满足，且恒成立，则实数m的最大值是 ______.
【答案】8
【解析】由题意可得：
故答案为：8.
【方法总结】：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．
4.已知函数，则不等式的解集是__________．
【答案】(1,3)
【解析】由题意作出函数图像如下：
由不等式可知，
①，或②
由①得由②得，
综上可得： ，故填(1,3)
【方法总结】能熟练掌握函数图像的作法是解决本题的关键，注意数形结合思想在解不等式上的应用.
5．已知函数， ，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是________．
【答案】.
【方法总结】
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等。
6.已知函数，当时，
；当时， ．设．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【解析】【试题分析】（1）依据题设条件可知和是函数的零点，以此为前提建立方程组，然后解方程组求出，进而得到．（2）先求出函数，再将不等式等价转化为，即，进而令，得到，从而转化为求函数的最小值。
解：（Ⅰ）由题意得和是函数的零点且，
则，
解得，∴．
【方法总结】：解答本题的第一问时，先依据题设条件可知和是函数的零点，以此为前提条件建立方程组，然后解方程组求出，进而得到．求解本题的第二问时，先求出函数，再将不等式等价转化为，即，进而令，得到，从而转化为求函数
的最小值。
5.含绝对值的不等式
例5不等式的解集是
A. B. 且 C. D. 且
【答案】D
【解析】当时， ；
练习1.当时， ；所以解集是且，选D.
不等式的解集是___________。
【答案】
【解析】由题原不等式可转化为，解得，
所以
6.分式不等式的解法
例6. 关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵
∴
∵不等式的解集是
∴用数轴表示如图：
∴，故选C
练习1.不等式的解集为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】等价于 解集为
故选B
2.不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【方法总结】解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.
3.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________.
【答案】
【解析】由题意可得且，所以不等式的解集为，填
【方法总结】
解一元二次不等的步骤为，先化标准式，即不等式右边为0
，左边最高次系数为正。第二步找到不等式所对应方程的根，一般进行因式分解或判断判别式后用求根公式。第三步是结合不等式所对应函数图像写出不等式解集。如果有参数要对参数进行分类讨论。即一元一元不等和一元二次不等式的解集分界点是所对应方程的根。
四．方法归纳和总结
1.解一元一次不等式ax>b(a≠0)的实质就是由不等式性质将不等式两边同乘以，并注意由a的取值的正负确定不等式的解.
2.解一元二次不等式的基本思想是：
(1)解一元二次不等式主要采用判别式法、求根法，应结合上表深刻理解不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集与对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根以及二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系.
(2)解一元二次不等式要注意密切联系一元二次方程、二次函数的图象，一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标，对应不等式的解集就是使函数图象在x轴上方或下方的部分所对应的x的集合，方程的根就是不等式解集区间的端点.
3.解指数、对数不等式既要运用相应的指数、对数函数的单调性，又要注意化异底为同底和定义域优先原则.
