江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二4月线上测试数学（理）试题

江西省南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高二4月线上测试数学（理）试题

莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试 理科数学试卷 一、单选题（15小题，每题5分，共75分）‎ ‎1．若命题；命题，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在中，“”是“”的（ ）‎ A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知条件p：；条件q：，若q是p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．下列说法正确的是（ ）‎ A．命题“”的否定是“”‎ B．命题“已知，若则或”是真命题 C．命题“若则函数只有一个零点”的逆命题为真命题 D．“在上恒成立”在上恒成立 ‎5．椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点且满足三角形的面积是12，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知，为双曲线C：（）的左、右焦点，P为双曲线C左支上一点，直线与双曲线C的一条渐近线平行，，则（ ）‎ A． B．2 C．1 D．5‎ ‎8．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的最大值为( )‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎9．已知双曲线的左焦点为，是双曲线右支上的一点，点关于原点的对称点为，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．下列函数求导运算正确的个数为（ ）‎ ‎①；②；③；④；⑤．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．已知函数，，直线l分别与曲线，相切于点，，则（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．e ‎12．已知三次函数的导函数为，则函数与的图象可能是（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎13．给出定义：如果函数在上存在，，满足，，则称实数，为上的“‎ 对望数”，函数为在上的“对望函数”.已知函数是上的“对望函数”，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎14．若定义在R上的函数满足其中是的导数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎15．函数，关于的方程恰有四个不同实数根，则正数的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题（5题，每题5分，共25分）‎ ‎16．为迎接年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次.记“甲得第一名”为，“乙得第一名”为，“丙得第一名”为，若是真命题，是真命题，则得第一名的是__________.‎ ‎17．已知、是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________．‎ ‎18．已知抛物线的焦点为F，准线为，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，A在第一象限，，，垂足分别为M，N，且的面积是的面积的3倍，则直线的斜率为________.‎ ‎19．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为________.‎ ‎20．已知函数，，若任意，存在，使，则实数的取值范围是__________．‎ 三、解答题（21题12分，22题12分，23题13分，24题13分，共50分）‎ ‎21．设，：函数的定义域为R，q：函数在区间上有零点.‎ ‎（1）若q是真命题，求a的取值范围；‎ ‎（2）若是真命题，求a的取值范围.‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左，右焦点，直线过点与椭圆交于两点，当直线的斜率为时，线段的长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最小值.‎ ‎23．已知为常数，函数 ‎（1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求；‎ ‎（2）令，若函数在区间上是单调减函数，求的取值范围.‎ ‎24．已知函数，其中．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设，若对于任意的，，有，求实数的取值范围．‎ 莲塘一中2019-2020学年高二年级4月网络考试 理科数学试卷参考答案 ‎1．C【详解】对命题，，所以命题是真命题；‎ 对命题，时，，所以命题为假命题；‎ 所以、、为假命题，为真命题.故选：C 2． B【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，‎ ‎3．A【详解】对于条件，，解得.‎ 对于条件，由，解得或.‎ 由于q是p的充分不必要条件，所以或，解得.‎ ‎4．B【详解】A．“”的否定为“”，故错误；‎ B．原命题的逆否命题为“若且，则”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；‎ C．原命题的逆命题为“若函数只有一个零点，则”，‎ 因为时，，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；‎ D．“在上恒成立”“在上恒成立”，故错误.故选：B.‎ ‎5．A【详解】双曲线的一个焦点，则是椭圆的一个顶点，则所求椭圆方程中的长半轴．‎ 双曲线的一个顶点为，则是椭圆的一个焦点，则椭圆的半焦距，则．‎ 椭圆的标准方程为故选：A．‎ 6． D【详解】解：设，，则，即，‎ ‎，，‎ ‎，，得，.故选：D.‎ 7． C【详解】可设，由斜率定义和三角函数可得：，‎ 由双曲线第一定义可得;，又，‎ 故，由以上三式解得 故选：C ‎8．D【详解】如图所示,设椭圆的下焦点为,则 ‎，∵,‎ 当且仅当A,F′,M共线且F′在线段上时等号成立,‎ ‎∴的周长为，‎ 所以的周长的最大值为，‎ 此时，故选：D.‎ ‎9．B【详解】由题意，得点也在双曲线上，且，设双曲线的右焦点为 根据双曲线的定义： 又因为，所以 因为是斜边上的中点，所以 设，则，所以 所以 因为，所以 所以所以 故选：B．‎ ‎10．B详解：对于①,所以错误；对于②，所以正确；‎ 对于③，所以正确；对于④，所以错误；‎ 对于⑤,所以错误.故答案为：B ‎11．B【详解】由己知得直线l的方程为：，，‎ ‎∴，∴消去整理得. 故选：B.‎ ‎12．D【详解】已知是三次函数，故，，二次函数的对称轴为，且，因此可以排除A，B两个选项.‎ 对于选项D：二次函数过，因此，且，‎ 因此，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，此时图象D符合；‎ 对于选项C：二次函数过原点，因此，所以且，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，因此是三次函数的极小值点，图象C不符合. 故选：D ‎13．A【详解】由题：， ，‎ 根据题意函数是上的“对望函数”，即在区间上有两个解，‎ 令，，‎ ‎，解得 故选：A ‎14．C【详解】令，有，故函数为增函数，‎ 由，不等式可化为，即，‎ 故不等式的解集为. 故选：C ‎15．D【详解】，令，得或，‎ 当时，，函数在上单调递增，且;‎ 当时，，函数在上单调递减;‎ 当时，，函数在上单调递增.‎ 所以极大值，极小值，作出大致图象：‎ 令，则方程有两个不同的实数根，‎ 且一个根在内，另一个根在内，或者两个根都在内.‎ 因为两根之和为正数，所以两个根不可能在内.‎ 令，因为，所以只需，即，得，‎ 即的取值范围为. 故选：D ‎16．乙【详解】因为第一名只有一个，所以由是真命题，可得命题与命题有且只有一个为真命题，则必为假命题，又因为是真命题，则为真命题，故为假命题，故为真命题.‎ ‎17．【详解】如图,因为为正三角形，所以 ‎，‎ 所以是直角三角形.因为，，所以,.因为，所以 即，所以.‎ ‎18．【详解】如图所示:过作于点,则,‎ 根据抛物线的定义可知:,又的面积是的面积的3倍,‎ 则有,所以,‎ 所以,所以直线的斜率为,‎ ‎19． 【详解】由题意得：.‎ 有两个极值点，有两个不等实根，‎ 即有两个不等实根，可等价为与有两个不同交点，‎ ‎，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎；当时，；当时，，‎ 可得图象如图所示：由图象可知，若与有两个不同交点，则，‎ 解得：，即实数的取值范围为.‎ ‎20．【详解】解：∵，，，∴‎ 在上单调递增， ；根据题意可知存在，使得.即能成立， 令，则要使在能成立，只需使，‎ 又在上恒成立 则函数在上单调递减， ， ，即实数的取值范围是. 21．（1）（2）或 解：（1）当q是真命题时，在上有解，即函数与函数有交点 又的值域为 所以a的取值范围为.‎ ‎（2）当p是真命题时，由题意，在上恒成立，则，则.‎ 记当p是真命题时，a的取值集合为A，则；‎ 记当是真命题时，a的取值集合为B，则或， ‎ 因为是真命题，所以a的取值范围是或 ‎22．（1）（2）‎ ‎（1）由题意得：，，.‎ 当直线斜率为时，与上顶点重合，，，‎ 设，则，，即，解得：，‎ ‎，解得：，，椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）知：.当直线斜率不存在或斜率为时，四边形面积为；‎ 当直线斜率为时，设直线的方程为：，，，‎ 则直线的方程为：，将直线代入椭圆的方程得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 将换作可得：.‎ 四边形面积 ‎（当且仅当，即时取等号），‎ ‎，四边形面积最小值为.‎ ‎23．（1）；（2）.‎ ‎【详解】（1），所以切线的斜率为，切线方程为 ‎。‎ 将代入得，即，显然是方程的解，‎ 又在上是增函数，方程只有唯一解，故；‎ ‎（2）‎ 设，‎ 在上是减函数，，‎ 当时，即时，，在是增函数，又，‎ 在恒成立，即在恒成立，在上单调递减函数，所以，满足题意，‎ 当时，即，，函数有唯一的零点，设为，则在上单调递增，‎ 在单调递减，又，又在内唯一零点，‎ 当时，，当时，，‎ 从而在单调递减，在单调递增，不合题意，所以的取值范围是.‎ ‎24．（1）见解析（2）‎ ‎（1）函数的定义域为，．‎ ‎①若，则当时，，所以函数在区间上单调递减；‎ 当时，，所以函数在区间上单调递增．‎ ‎②若，则当或时，，‎ 所以函数在区间，上均单调递增；‎ 当时，，所以函数在区间上单调递减．‎ ‎③若，则当时，，所以函数在区间上单调递增．‎ ‎④若，则当或时，，‎ 所以函数在区间，上均单调递增；‎ 当时，，所以函数在区间上单调递减．‎ 综上所述，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 当时，函数在区间，上均单调递增，在区间上单调递减；‎ 当时，函数在区间上单调递增；‎ 当时，函数在区间，上均单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎（2）不妨设，则可化为．‎ 令，则函数在区间上单调递增．‎ 所以在区间上恒成立．‎ 即在区间上恒成立．（*）‎ 因为，所以，所以，要使（*）成立，只需，‎ 解得．故所求实数的取值范围为．‎