【数学】2018届一轮复习人教A版第八章立体几何与空间向量第4讲直线、平面平行的判定及其性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第八章立体几何与空间向量第4讲直线、平面平行的判定及其性质学案

第4讲　直线、平面平行的判定及其性质 最新考纲　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.直线与平面平行 ‎(1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b ‎2.平面与平面平行 ‎(1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面.‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b ‎3.与垂直相关的平行的判定 ‎(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.‎ ‎(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(　　)‎ ‎(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(　　)‎ ‎(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　　)‎ ‎(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　　)‎ 解析　(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.‎ ‎(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.‎ ‎(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.下列命题中，正确的是(　　)‎ A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α 解析　根据线面平行的判定与性质定理知，选D.‎ 答案　D ‎3.(2015·北京卷)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当m∥β时，可能α∥β，也可能α与β相交.‎ 当α∥β时，由m⊂α可知，m∥β.‎ ‎∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.‎ 答案　B ‎4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.‎ 解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.‎ 答案　平行 ‎5.(2017·金华检测)设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线.‎ ‎(1)若α∥γ，β∥γ，则α与β的关系是________；‎ ‎(2)若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α与β的关系是________.‎ 解析　(1)由α∥γ，β∥γ⇒α∥β.‎ ‎(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β.‎ 答案　(1)平行　(2)平行 ‎6.用一个截面去截正三棱柱ABC－A1B‎1C1，交A‎1C1，B‎1C1，BC，AC分别于E，F，G，H四点，已知A‎1A>A‎1C1，则截面的形状可以是________(把你认为可能的结果都填上).‎ 解析　由题意知，当截面平行于侧棱时所得截面为矩形，当截面与侧棱不平行时，所得的截面是梯形.‎ 答案　矩形或梯形 考点一　线面、面面平行的相关命题的真假判断 ‎【例1】 (2015·安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 解析　A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确.‎ 答案　D 规律方法　(1)判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项.‎ ‎(2)①结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.‎ ‎②特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.‎ ‎【训练1】 (2017·台州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，‎ 给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊂α，n∥α，则m∥n；‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；‎ ‎③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；‎ ‎④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.‎ 其中是真命题的是________(填上正确命题的序号).‎ 解析　①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.‎ 答案　②‎ 考点二　直线与平面平行的判定与性质(多维探究)‎ 命题角度一　直线与平面平行的判定 ‎【例2－1】 (2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.‎ ‎(1)证明：MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求四面体N－BCM的体积.‎ ‎(1)证明　由已知得AM＝AD＝2.‎ 如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.‎ 又AD∥BC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.‎ 因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，‎ 所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)解　因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，‎ 所以N到平面ABCD的距离为PA.‎ 如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.‎ 由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM＝×4×＝2.所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝×S△BCM×＝.‎ 命题角度二　直线与平面平行性质定理的应用 ‎【例2－2】 如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.‎ ‎(1)证明：GH∥EF；‎ ‎(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积.‎ ‎(1)证明　因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，‎ 所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.‎ ‎(2)解　如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，‎ 同理可得PO⊥BD.‎ 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，‎ 且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.‎ 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，‎ PO⊂平面PBD.‎ 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，‎ 又EF⊂平面ABCD，‎ 从而GK⊥EF.‎ 所以GK是梯形GEFH的高.‎ 由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，‎ 从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点.‎ 再由PO∥GK得GK＝PO，即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，所以GK＝3.‎ 故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.‎ 规律方法　(1)判断或证明线面平行的常用方法有：‎ ‎①利用反证法(线面平行的定义)；‎ ‎②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；‎ ‎③利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；‎ ‎④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).‎ ‎(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.‎ ‎【训练2】 在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.‎ ‎(1)求证：AP∥平面BEF；‎ ‎(2)求证：GH∥平面PAD.‎ 证明　(1)连接EC，∵AD∥BC，BC＝AD，‎ E为AD的中点，∴BC綉AE，‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形，‎ ‎∴O为AC的中点，‎ 又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，‎ 又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.‎ ‎(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，‎ ‎∴FH∥PD，又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，‎ ‎∴FH∥平面PAD.‎ 又∵O是BE的中点，H是CD的中点，‎ ‎∴OH∥AD，又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，‎ ‎∴OH∥平面PAD.‎ 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.‎ 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.‎ 考点三　面面平行的判定与性质(典例迁移)‎ ‎【例3】 (经典母题)如图所示，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点，求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ 证明　(1)∵G，H分别是A1B1，A‎1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B‎1C1的中位线，则GH∥B‎1C1.‎ 又∵B‎1C1∥BC，‎ ‎∴GH∥BC，‎ ‎∴B，C，H，G四点共面.‎ ‎(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ ‎∴EF∥平面BCHG.‎ 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，‎ ‎∴A‎1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.‎ ‎∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎【迁移探究1】 如图，在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.‎ 证明　如图所示，连接A1B.‎ ‎∵D为BC1的中点，H为A‎1C1的中点，∴HD∥A1B，‎ 又HD⊄平面A1B1BA，‎ A1B⊂平面A1B1BA，‎ ‎∴HD∥平面A1B1BA.‎ ‎【迁移探究2】 在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A‎1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D‎1”‎，试求的值.‎ 解　连接A1B交AB1于O，连接OD1.‎ 由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则＝＝1.又由题设＝，‎ ‎∴＝1，即＝1.‎ 规律方法　(1)判定面面平行的主要方法 ‎①利用面面平行的判定定理.‎ ‎②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).‎ ‎(2)面面平行的性质定理 ‎①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面.‎ ‎②若一平面与两平行平面相交，则交线平行.‎ 提醒　利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.‎ ‎【训练3】 (2016·山东卷)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.‎ ‎(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；‎ ‎(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.‎ 证明　(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，‎ 图①‎ 如图①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，‎ 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.‎ 又BD∩DE＝D，‎ 所以AC⊥平面BDEF.‎ 因为FB⊂平面BDEF，‎ 所以AC⊥FB.‎ ‎(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.‎ 图②‎ 在△CEF中，因为G是CE的中点，‎ 所以GI∥EF.又EF∥DB，‎ 所以GI∥DB.‎ 在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.‎ 又HI∩GI＝I，‎ 所以平面GHI∥平面ABC，‎ 因为GH⊂平面GHI，‎ 所以GH∥平面ABC.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.线线、线面、面面平行间的转化 其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.‎ ‎2.直线与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质.‎ ‎3.平面与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.‎ ‎2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.‎ ‎3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.‎ ‎4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”. ‎