【数学】2018届一轮复习人教A版 一元二次不等式及其解法 教案
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
知识点一 一元二次不等式的解法
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1
0
(a>0)的解集
__________
__________
__________
R
ax2＋bx＋c<0
________
____
____
(a>0)的解集
________
答案
{x|xx2} {x|x≠－}
{x|x10}，则S∩T＝( )
A．[2,3]
B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．(0,2]∪[3，＋∞)
解析：集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．
答案：D
2．不等式≤0的解集为( )
A.
B.
C.∪[1，＋∞)
D.∪[1，＋∞)
解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为，选A.
答案：A
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－10的解集为
{x|－10(a≠0)恒成立的充要条件是：______
(x∈R)．
2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：______
(x∈R)．
答案
1. 2.
4．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m
的取值范围是________．
解析：①当m＝0时，1>0显然成立．
②当m≠0时，由条件知
得00，即a2>16，
∴a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
热点一 一元二次不等式的解法
【例1】 解关于x的不等式：
(1)－2x2＋4x－3>0；
(2)12x2－ax>a2(a∈R)；
(3)>1(a>0)．
【解】 (1)原不等式可化为2x2－4x＋3<0.又判别式Δ＝42－4×2×3<0，
∴原不等式的解集为∅.
(2)由12x2－ax－a2>0⇒(4x＋a)(3x－a)>0⇒(x＋)(x－)>0，
①当a>0时，－<，解集为{x|x<－或x>}；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③当a<0时，－>，解集为{x|x<或x>－}．
(3)－1>0⇒>0⇒[(a－1)x＋2－a](x－2)>0.
①当a＝1时，不等式的解为x>2.
②当a≠1时，关键是(a－1)的符号和比较与2的大小．
∵－2＝，又a>0.
∴当02，
不等式的解为21时，<2，
不等式的解为x<或x>2.
综上所述，当02}；
当a>1时，原不等式的解集为{x|x<或x>2}.
【总结反思】
(1)解决二次问题的关键：一是充分利用数形结合；二是熟练进行因式分解．
(2)通过解题程序，适时合理地对参数进行分类讨论．
(3)应善于把分式不等式转化为整式不等式.
解下列不等式：
(1)00(a≠0)．
解：(1)原不等式等价于
⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或20知(x－5a)(x＋a)>0.
由于a≠0故分a>0与a<0讨论．
当a<0时，x<5a或x>－a；
当a>0时，x<－a或x>5a.
综上，a<0时，解集为{x|x<5a或x>－a}；a>0时，解集为{x|x>5a或x<－a}．
热点二 一元二次不等式恒成立问题
考向1 形如f(x)≥0(x∈R)恒成立问题
【例2】 已知不等式mx2－2x－m＋1<0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】 不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，1－2x<0，则x>，不满足题意；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即
不等式组的解集为空集，即m无解．
综上可知不存在这样的m.
考向2 形如f(x)≥0(x∈[a，b])恒成立问题
【例3】 设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
【解】 要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6<0，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
解法1：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0.
所以m<，则00，又因为m(x2－x＋1)－6<0，
所以m<.
因为函数y＝＝
在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是
.
考向3 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])恒成立问题
【例4】 对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
【解】 由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零．
∴
解得x<1或x>3.
故当x的取值为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零.
【总结反思】
恒成立问题求解思路
(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．
(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．
(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的范围；
(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的范围．
解析：(1)∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，须Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，所以－6≤a≤2.
(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：
①如图①，当g(x)的图象恒在x轴上方时，满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.
②如图②，g(x)的图象与x轴有交点，
但在x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即
即⇔
解之得x∈∅.
③如图③，g(x)的图象与x轴有交点，
但在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.
即即
⇔
∴－7≤a≤－6，综上，得－7≤a≤2.
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解之得x≤－3－或x≥－3＋.
答案：(1)[－6,2] (2)[－7,2]
(3)(－∞，－3－)∪[－3＋，＋∞)
1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．
2．当Δ<0时，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R还是∅.
3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
