数学理卷·2018届湖南省醴陵市一中高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届湖南省醴陵市一中高二下学期期中考试（2017-04）

‎2017年上学期醴陵一中高二年级期中考试 数学试卷（理科）‎ ‎　 时量：120分钟 总分：150分 命题人：‎ 班级： 姓名： 考号：‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1、复数的共轭复数是（ ）‎ ‎ ‎ ‎2、与的大小关系是（　　）‎ ‎ 无法确定 ‎3、已知，计算得，，，，，由此推算：当时，有（　　）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4、函数的减区间为（　　）‎ ‎ ‎ ‎5、用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（　　）‎ ‎ ‎ ‎6、小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（　　）‎ ‎96种 120种 480种 720种 ‎7、有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么 是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点．以上推理中（　　）‎ 大前提错误 小前提错误 推理形式错误 结论正确 ‎ ‎8、某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件不全是精品的概率为（　　）‎ ‎ ‎ ‎9、的二项展开式中，的系数是（　　）‎ ‎ ‎ ‎10、某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（　　）‎ ‎35种 24种 18种 9种 ‎11、一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为（　　）‎ ‎ ‎ ‎12、已知,都是定义在上的函数，且，＜，，则的值为（　　）‎ ‎ ‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13、已知，则。‎ ‎14、已知，，，则。‎ ‎15、若曲线上存在垂直与轴的切线，则实数的取值范围是。‎ ‎16、若函数（为常数，是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数的取值范围是。‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17、已知函数在点处的切线方程为；‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）求函数的极值．‎ ‎18、已知展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求的值．‎ ‎19、某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：‎ 学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院 人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；‎ ‎（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列．‎ ‎ 20、一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销售收入为万元，且每万件国家给予补助万元．（为自然对数的底数，是一个常数）‎ ‎（Ⅰ）写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式 ‎（Ⅱ）当月产量在 万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）‎ ‎21、已知数列满足，，试比较与 的大小并证明．‎ ‎22、已知，，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求在是递减的，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，使的极大值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年上学期醴陵一中高二年级期中考试 数学答案 ‎　‎ 一．选择题（共12小题）‎ D A D B D C A A A C C B 二．填空题（共4小题）‎ ‎13、7．　 14、1．　 15、 16．（0，）．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点A（1，f（1））处的切线方程为y=1；‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的极值．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=2ax﹣，‎ f（1）=a=1，f′（1）=2a﹣b=0①，‎ 将a=1代入2a﹣b=0，解得：b=2； 。。。。 5分 ‎（2）由（1）得：f（x）=x2﹣2lnx，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣=，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞1，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＜1，‎ ‎∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，‎ ‎∴f（x）极小值=f（1）=1． 。。。。10分 ‎【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，求函数的单调区间、极值问题，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎18．已知（a2+1）n展开式中各项系数之和等于（x2+）5的展开式的常数项，而（a2+1）n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．‎ ‎【解答】解：由（x2+）5得，‎ Tr+1=C5r（x2）5﹣r（）r=（）5﹣r•C5r•x．‎ 令Tr+1为常数项，则20﹣5r=0，‎ ‎∴r=4，∴常数项T5=C54×=16．‎ 又（a2+1）n展开式的各项系数之和等于2n．‎ 由题意得2n=16，∴n=4．‎ 由二项式系数的性质知，（a2+1）n展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，‎ ‎∴C42a4=54，‎ ‎∴a=±．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用和二项式系数的性质，解题时要注意根据实际情况灵活地运用公式．‎ ‎　‎ ‎19、某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：‎ 学院 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院 人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；‎ ‎（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，‎ 选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：‎ 所以 ‎（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ 所以ξ的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．‎ ‎20．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）‎ ‎（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式 ‎（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，可得 ‎（Ⅱ）f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2的定义域为[1，2e]，‎ 且 列表如下：‎ x ‎（1，e）‎ e ‎（e，2e]‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ 增 极大值f（e）‎ ‎ 减 由上表得：f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2在定义域[1，2e]上的最大值为f（e）．‎ 且f（e）=e2﹣2．即：月生产量在[1，2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）=e2﹣2，此时的月生产量值为e（万件）．‎ ‎【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识，考查学生利用导数解决实际问题的能力及运算求解能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}满足an+1﹣an=1，a1=1，试比较与的大小并证明．‎ ‎【解答】解：≥．‎ 证明如下：由an+1﹣an=1，a1=1，知数列{an}为首项是1，公差为1的等差数列，‎ ‎∴通项公式为an=n．‎ 要证≥，‎ 只要证：1+++…+≥，下面用数学归纳证明：‎ n=1时，1+=，结论成立，‎ 当n=2时，左边=1+=，结论成立；‎ 假设n=k时结论成立，即1+++…+≥，‎ 那么：n=k+1时，1+++…++…+＞++…+‎ ‎＞++…+＞+=，即n=k+1时，结论也成立．‎ 综上所述，n∈N，结论成立．‎ ‎【点评】‎ 本题是数列与不等式的综合题，考查了数学归纳法与放缩法证明数列不等式，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=ex，φ（x）=．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求φ（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（I）当a=1时，φ（x）=（x2+x+1）e﹣x．φ′（x）=e﹣x（﹣x2+x）‎ 当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0‎ ‎∴φ（x）单调减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；‎ ‎（II）φ′（x）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]‎ ‎∵φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，‎ ‎∴φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，‎ ‎∴﹣x2+（2﹣a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，‎ ‎∴2﹣a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，‎ ‎∴2﹣a≤1‎ ‎∴a≥1‎ ‎∵a≤2，1≤a≤2；‎ ‎（III）φ′（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]‎ 令φ′（x）=0，得x=0或x=2﹣a：‎ 由表可知，φ（x）极大=φ（2﹣a）=（4﹣a）ea﹣2‎ 设μ（a）=（4﹣a）ea﹣2，μ′（a）=（3﹣a）ea﹣2＞0，‎ ‎∴μ（a）在（﹣∞，2）上是增函数，‎ ‎∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4﹣a）ea﹣2≠3，‎ ‎∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．‎ ‎【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，属于中档题．‎