专题33+抛物线及其性质-2019年高考数学(理)考点分析与突破性讲练

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文档介绍

专题33+抛物线及其性质-2019年高考数学(理)考点分析与突破性讲练

一、考纲要求:‎ ‎1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).‎ ‎2.理解数形结合思想.‎ ‎3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.‎ 二、概念掌握和解题上注意点:‎ ‎1.应用抛物线定义的两个关键点 (1))由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.‎ (2))注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+或|PF|=|y|+.‎ ‎2.求抛物线的标准方程的方法 (1))求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.‎ (2))抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.‎ ‎3.研究抛物线的焦点坐标或准线方程,必须把抛物线化成标准方程,正确的求出p.‎ ‎4.解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法 (1))直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.‎ (2))有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用弦长公式.‎ (3))涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时,一般采用“设而不求,整体代入”的解法.‎ 提醒:涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.‎ 三、高考考题题例分析 例1.(2018课标卷I)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(﹣2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则•=(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【答案】D 例2.(2018课标卷II)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ ‎【答案】(1)y=x﹣1;(2)(x﹣3)2+(y﹣2)2=16.‎ ‎【解析】:(1)方法一:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足;‎ 设直线AB的方程为:y=k(x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则,整理得:k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1,‎ 由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得:k2=1,则k=1,‎ ‎∴直线l的方程y=x﹣1;‎ 方法二:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的倾斜角为θ,由抛物线的弦长公式|AB|===8,解得:sin2θ=,‎ ‎∴θ=,则直线的斜率k=1,‎ ‎∴直线l的方程y=x﹣1;‎ ‎(2)过A,B分别向准线x=﹣1作垂线,垂足分别为A1,B1,设AB的中点为D,过D作DD1⊥准线l,垂足为D,则|DD1|=(|AA1|+|BB1|)‎ 由抛物线的定义可知:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,则r=|DD1|=4,‎ 以AB为直径的圆与x=﹣1相切,且该圆的圆心为AB的中点D,‎ 由(1)可知:x1+x2=6,y1+y2=x1+x2﹣2=4,‎ 则D(3,2),‎ 过点A,B且与C的准线相切的圆的方程(x﹣3)2+(y﹣2)2=16. ‎ 例7.(2017课标卷II)已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点。若为的中点,则。‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】试题分析:‎ 点A,‎ 例8.(2017北京卷)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.‎ ‎【答案】(Ⅰ)方程为,抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为.(Ⅱ)详见解析.‎ ‎,‎ 所以.‎ 故A为线段BM的中点.‎ 例9.(2017浙江卷)如图,已知抛物线,点A,,抛物线上的点 ‎.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.‎ ‎(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)设直线AP的斜率为k,则,∵,∴直线AP斜率的取值范围是.‎ ‎(Ⅱ)联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是,因为|PA|==‎ ‎|PQ|=,所以|PA||PQ|=‎ 令,因为,所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,取得最大值. ‎ ‎15.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-x2=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=__________.‎ ‎【答案】2 ‎ ‎16.已知直线l:y=kx+t与圆:x2+(y+1)2=1相切,且与抛物线C:x2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是________________.‎ ‎【答案】t>0或t<-3 ‎ ‎【解析】因为直线l与圆相切,所以=1⇒k2=t2+2t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x2-4kx-4t=0,‎ 于是Δ=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0,‎ 解得t>0或t<-3.‎ 三、解答题 ‎17.如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.‎ ‎(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;‎ ‎(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.‎ ‎【答案】(1) y=x-1;(2) x±2y-1=0.‎ ‎【解析】 (1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0).因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),‎ 则由得 ‎(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4.‎ 又y0=2,所以k=1,故直线l的方程是y=x-1.‎ ‎18.已知抛物线y2=2px(p>0),过点C(-2,0)的直线l交抛物线于A,B两点,坐标原点为O,·=12.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时,求直线l的方程. ‎ ‎【答案】(1) y2=4x;(2) x+y+2=0或x-y+2=0.‎ ‎【解析】 (1)设l:x=my-2,代入y2=2px中,‎ 得y2-2pmy+4p=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=4p,‎ 则x1x2==4,‎ 因为·=x1x2+y1y2=4+4p=12,可得p=2,‎ 则抛物线的方程为y2=4x.‎ ‎(2)由(1)知y2=4x,p=2,可知y1+y2=4m,y1y2=8.‎ 设AB的中点为M,‎ 则|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4.①‎ 又|AB|=|y1-y2|=.②‎ 由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,‎ 解得m2=3,m=±,‎ 所以直线l的方程为 x+y+2=0或x-y+2=0.‎ ‎19.在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.‎ ‎【答案】(1)2;(2)见解析 ‎【解析】(1)如图,由已知得M(0,t),P.‎ ‎20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,若线段AB的中点为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积. ‎ ‎【答案】(1) y2=8x;(2) 24.‎ ‎【解析】 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8,-8),‎ ‎∴(-8)2=2p×8,‎ ‎∴2p=8,‎ ‎∴抛物线方程为y2=8x.‎ ‎21.如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.‎ ‎(1)若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;‎ ‎(2)若线段|AB|=20,求直线l的方程.‎ ‎【答案】(1) y=x-1;(2) x±2y-1=0.‎ ‎【解析】(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0).因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),‎ 则由得 ‎(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),所以2y0k=4.‎ 又y0=2,所以k=1,故直线l的方程是y=x-1.‎ 即x±2y-1=0. ‎ ‎22.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.‎ ‎(1)若=2 ,求直线AB的斜率;‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值. ‎ ‎【答案】(1) ±2;(2)4‎ ‎【解析】 (1)依题意知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1.‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立,消去x得 y2-4my-4=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4.‎ 因为=2 ,‎ 所以y1=-2y2.‎ 联立上述三式,消去y1,y2得m=±.‎ 所以直线AB的斜率是±2.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,‎ 所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.‎
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