【数学】2020届一轮复习（理）通用版7-3基本不等式学案
第三节基本不等式
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
突破点一 利用基本不等式求最值
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值为4.( )
(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
二、填空题
1．当x>0时，函数f(x)＝的最大值为________．
答案：1
2．已知a，b∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．
解析：由基本不等式得a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取到等号．
答案：2
3．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
解析：∵a，b∈R，ab>0，
∴≥＝4ab＋≥2 ＝4，
当且仅当即时取得等号．
答案：4
4．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，所以＋＝＝＋＋≥＋2 ＝.当且仅当a＝2b＝时取等号．
答案：
考法一 通过拼凑法利用基本不等式求最值
利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
[例1] (1)(2019·泉州检测)已知0
2)的最小值为6，则正数m的值为________．
[解析] (1)∵02，m>0，∴y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x＝2＋时取等号，又函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，∴2＋2＝6，解得m＝4.
[答案] (1)B (2)4
[方法技巧]
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
考法二 通过常数代换法利用基本不等式求最值
[例2] (1)(2019·青岛模拟)已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．2
(2)(2019·齐齐哈尔八校联考)若对x>0，y>0，x＋2y＝1，有＋≥m恒成立，则m的最大值是________．
[解析] (1)因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
(2)∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴＋＝(x＋2y)·＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当x＝，y＝时取等号，∴＋的最小值为8，又＋≥m恒成立，∴m≤8，即m的最大值为8.
[答案] (1)C (2)8
[方法技巧]
通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
1.已知x<0，则函数y＝＋x的最大值是( )
A．－18 B．18
C．16 D．－4
解析：选D ∵x<0，∴y＝－≤－4，当且仅当x＝－2时取等号．
2.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为a>0，b>0，＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16.由题意．得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，又x2－4x－2＝(x－2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.
答案：[6，＋∞)
突破点二 基本不等式的综合问题
关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、立体几何、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力．
考法一 基本不等式的实际应用问题
[例1] 如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.
(1)试用a，b表示S；
(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
[解] (1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a>0，b>0，
∴ab＝28 800.①
设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，则3h＋18＝b，∴h＝，
∴透光部分的面积S＝(a－18)×＋(a－12)×＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28 800－2(9a＋8b)＋288＝29 088－2(9a＋8b)．
(2)∵9a＋8b≥2＝2＝2 880，当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝160，从而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．
∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大．
[方法技巧]
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
考法二 基本不等式与其他知识的交汇问题
考向一 基本不等式与函数的交汇问题
[例2] (2019·北京西城区期末)已知A，B是函数y＝2x的图象上不同的两点，若点A，B到直线y＝的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－2)
C．(－∞，－3) D．(－∞，－4)
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设x10，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为( )
A．16 B．9
C．5 D．4
[解析] ∵，，成等差数列，∴＋＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2
＝16，当且仅当＝且＋＝1，即a＝4，b＝时等号成立，故选A.
[答案] A
考向三 基本不等式与解析几何的交汇问题
[例4] (2019·邢台月考)当双曲线M：－＝1的离心率最小时，M的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析] 由题意得m>0，e＝＝≥ ＝，当且仅当m＝，即m＝2时等号成立，所以双曲线的方程为－＝1，所以渐近线方程为y＝±2x，故选A.
[答案] A
[方法技巧]
求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
1.已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为( )
A．3－2 B．5
C．3＋2 D．3＋
解析：选C 令x＋3＝1，得x＝－2，故A(－2，－1)．又点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2.当且仅当m＝，n＝时等号成立，所以＋的最小值为3＋2，故选C.
2.已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
3.两圆x2＋y2－2my＋m2－1＝0和x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且mn≠0，则＋的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 由题意可知两圆内切，x2＋y2－2my＋m2－1＝0化为x2＋(y－m)2＝1，x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0化为(x－2n)2＋y2＝9，故＝3－1＝2，即4n2＋m2＝4，＋＝(4n2＋m2)＝2＋＋≥2＋2＝4.
4.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元？
解：由题意知t＝－1(10时，x＋1≥2，∴f(x)≤，当且仅当x＝1时取等号，f(x)max＝.
2，若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是( )
A.≥ B．＋≥2
C.≥2 D．(a＋b)≥4
解析：选C 由于a，b∈R，所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C项．
∵－2＝＝＝≥0，∴≥2.
3．(2018·东北三省四市一模)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( )
A．8 B．9
C．12 D．16
解析：选B 由题意可得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9.
4．已知x，y都为正实数，且x＋y＋＋＝5，则x＋y的最大值是( )
A．3 B．3.5
C．4 D．4.5
解析：选C 因为x＋y＋＋＝x＋y＋≥x＋y＋＝x＋y＋，
所以x＋y＋≤5.令x＋y＝t.则t2－5t＋4≤0，解得1≤t≤4.
5．(2019·西藏林芝期中)若x，y均为正数，则＋＋13的最小值是( )
A．24 B．28
C．25 D．26
解析：选C 因为x，y均为正数，所以由基本不等式得＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当x＝2y时等号成立，故＋＋13的最小值是25，故选C.
[B级 保分题——准做快做达标]
1．(2019·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝ lg ，则( )
A．Rb>1，∴lg a>lg b>0，(lg a＋lg b)>，即Q>P.
∵>，∴lg >lg ＝(lg a＋lg b)，即R>Q，∴P0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是( )
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1
解析：选C ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的充分不必要条件，故选C.
3．(2019·豫西南联考)已知正项等比数列{an}的公比为2，若aman＝4a，则＋的最小值为( )
A．1 B．
C. D．
解析：选C 由题意知aman＝a2m＋n－2＝4a22＝a24，∴m＋n＝6，则＋＝ (m＋n)＝＋＋≥×＝，当且仅当m＝2n时取等号，∴＋的最小值为，故选C.
4．(2019·岳阳一中模拟)已知a>b>0，则2a＋＋的最小值为( )
A．6 B．4
C．2 D．3
解析：选A 因为＋＝＋·＝5＋＋≥(5＋4)＝(当且仅当a＝3b时取等号)，所以2a＋＋≥2a＋≥6(当且仅当a＝时后一个不等式取等号)，故选A.
5．(2019·甘肃诊断)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是( )
A. B．
C．8 D．24
解析：选C 因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以＋＝(2x＋3y)＝12＋＋≥＝8，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以＋的最小值为8，故选C.
6．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为( )
A．9 B．2
C．3 D．2
解析：选D (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc.
∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2(a2＋b2＋c2)＋8＝24，当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴a＋b＋c≤2.
7．(2019·林州一中模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为( )
A．10 B．15
C．20 D．25
解析：选C 由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，综上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.
8．(2019·赣州月考)半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选D ∵O为AB的中点，∴＋＝2，从而(＋)·＝2·＝－2| |·||.又||＋||＝|OC―→|＝AB＝2≥2，∴||·||≤1，∴－2||·||≥－2，∴当且仅当||＝||＝1，即P为OC的中点时，(＋)·取得最小值－2，故选D.
9．(2019·玉溪月考)在△ABC中，若a2＋b2＝2c2，则内角C的最大值为( )
A. B．
C. D．
解析：选C ∵a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理得cos C＝≥＝＝，当且仅当a＝b时取等号．∵C是三角形的内角，∴角C的最大值为，故选C.
10．(2019·淮安学情调研)已知正数x，y满足x＋2y＝3，则＋的最小值为________．
解析：∵x>0，y>0，x＋2y＝3，∴＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝即x＝6－9，y＝6－3时等号成立，∴＋的最小值为.
答案：
11．(2019·嘉兴基础测试)若正实数m，n满足2m＋n＋6＝mn，则mn的最小值是________．
解析：由2m＋n＋6＝mn，m>0，n>0，得2＋6≤2m＋n＋6＝mn，令＝t(t>0)，则2t＋6≤，即t2－4t－12≥0，解得t≤－2(舍)或t≥6，即≥6，mn≥18，则mn的最小值是18.
答案：18
12．(2019·张掖月考)设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为________．
解析：∵a>0，b>1，a＋b＝2，
∴＋＝(a＋b－1)
＝3＋＋＋1
＝4＋＋≥4＋2，
当＝，
即a＝，b＝时取等号，
故最小值为4＋2.
答案：4＋2
13．(2019·石家庄高三一检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________．
解析：因为直线l经过点(2,3)，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝>0，所以a－3>0，所以a＋b＝a＋＝a－3＋＋5≥5＋2＝5＋2，当且仅当a－3＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立．
答案：5＋2
14．(2018·唐山二模)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1.
(1)求证：a＋b≤2；
(2)判断等式＋＝c＋d能否成立，并说明理由．
解：(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤32＋1，当且仅当a＝b时取等号．
解得(a＋b)2≤4，又a，b>0，
所以a＋b≤2.
(2)不能成立．
理由：由均值不等式得＋≤＋，当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．
因为a＋b≤2，
所以＋≤1＋.
因为c>0，d>0，cd>1，
所以c＋d＝＋≥＋>＋1≥＋，故＋＝c＋d不能成立．
15．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
解：(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.
当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.
因为9<10，所以当x＝65，
即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．
(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·，
①当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，
当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16；
②当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，
所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.
因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．
