2018-2019学年北京市东城区高一上学期期末检测数学试题（解析版）

2018-2019学年北京市东城区高一上学期期末检测数学试题（解析版）

‎2018-2019学年北京市东城区高一上学期期末检测数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，那么下列结论正确的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，解得x范围，可得即可判断出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由，解得，或．‎ ‎．‎ 可得0，1，，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了元素与集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2．命题“，”的否定是　　‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以命题p：，，则为，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题与特称命题的否定关系的应用，考查基本知识．‎ ‎3．下列结论成立的是 ‎ A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】对赋值来排除。‎ ‎【详解】‎ 当，时，A结论不成立。‎ 当时，B结论不成立。‎ 当时，C结论不成立。‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要利用赋值法来排除，也可以利用不等式的性质来判断。‎ ‎4．在单位圆中，的圆心角所对的弧长为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据弧长公式，，代入计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了弧长公式，属于基础题．‎ ‎5．函数的零点所在区间是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，分析可得函数为减函数，依次计算、、、的值，由函数零点判定定理分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，函数，分析易得函数为减函数，‎ 且，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则函数的零点所在区间是；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点判断定理，关键是熟悉函数的零点判定定理．‎ ‎6．，，的大小关系是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用诱导公式化简后，根据单调性即可判断．‎ ‎【详解】‎ 解：由，‎ ‎，‎ ‎，在第一象限为增函数，‎ ‎．‎ 故得 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式和正弦函数的单调性的运用，比较基础．‎ ‎7．设，则“”是“”的　　‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由得，‎ 由得，‎ 得．‎ 则“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查充要条件的判断.如果，则是的充分条件，是的必要条件；否则，不是的充分条件，不是的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分也不必要条件.‎ ‎8．若实数x，y满足，则的最大值为　　‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据，即可求出最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：实数x，y满足，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当，时取等号，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题．‎ ‎9．已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则　　‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，由函数的解析式可得的值，进而分析可得，分析可得函数为周期为1的周期函数，则，类比奇函数的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，函数的定义域为R，且当时，，则，‎ 当时，，即，‎ 即，则函数为周期为1的周期函数；‎ 则，‎ 当时，，则有，‎ 又由，则；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．形如，或的条件，说明的都是函数图像关于对称.形如，或，或者的条件，说明的是函数是周期为的周期函数.‎ ‎10．已知非空集合A，B满足以下两个条件 ‎2，3，4，5，，；‎ 若，则．‎ 则有序集合对的个数为　　‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ ‎【答案】A ‎【解析】对集合A的元素个数分类讨论，利用条件即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意分类讨论可得：若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则2，4，5，；若，则2，3，5，；若，则3，4，1，；若，则3，4，5，；‎ 若，则4，5，；若，则3，5，；若，则3，4，；‎ 若，则3，5，；若，则3，4，；‎ 若，则2，4，；‎ 若3，，则4，．‎ 综上可得：有序集合对的个数为12．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎11．______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用诱导公式，将所求三角函数值转化为求的值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考察了正弦函数诱导公式的应用，准确的选择公式，运用公式是解决本题的关键.‎ ‎12．函数的定义域为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】且解不等式即可。‎ ‎【详解】‎ 且，由此解得,故填 ‎【点睛】‎ 求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于0。‎ ‎13．______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】进行分数指数幂和对数的运算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：原式．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 考查对数的换底公式，分数指数幂和对数的运算．‎ ‎14．已知函数满足下列性质：‎ 定义域为R，值域为；‎ 在区间上是减函数；‎ 图象关于对称．‎ 请写出满足条件的的解析式______写出一个即可．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数性质举出一个二次函数即可．‎ ‎【详解】‎ 解：满足上述3条性质．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属基础题．‎ ‎15．已知函数．‎ ‎______．‎ 若方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】4 ‎ ‎【解析】根据分段函数的表达式，直接代入即可 求出当，，时，函数的解析式和图象，利用的交点个数进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 当时，，，‎ 当时，，，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 作出函数的图象如图，‎ 其中，，，，‎ 设直线，‎ 当分别过，，时，‎ 则，，得，‎ ‎，得，‎ 由图象知要使方程有且只有一个实根，‎ 则在A，B之间的区域，‎ 即，‎ 即实数a的取值范围是，‎ 故答案为：4，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，作出两个函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度．‎ 三、解答题 ‎16．已知全集，集合，非空集合．‎ Ⅰ求当时，；‎ Ⅱ若，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）或．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】Ⅰ求出集合A，B的等价条件，结合并集，补集的定义进行求解即可 Ⅱ根据，建立不等式关系进行求解即可 ‎【详解】‎ 解：Ⅰ，‎ 当时，．‎ 则，‎ 或．‎ Ⅱ若，则，得，即，‎ 即实数m的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算以及基本关系的应用，求出集合的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎17．已知函数．‎ Ⅰ画出的图象；‎ Ⅱ根据图象写出的值域、单调区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的单调递减区间为，无增区间．‎ ‎【解析】Ⅰ根据x的范围，将函数表示成分段函数形式即可 Ⅱ结合图象之间写出函数的值域和单调区间 ‎【详解】‎ 解：Ⅰ，‎ 的图象；‎ Ⅱ由图象知的值域为，‎ 的单调递减区间为，无增区间．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的图象和性质，结合绝对值的应用转化为分段函数是解决本题的关键．‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，角 的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，以角的终边为始边，逆时针旋转得到角．‎ Ⅰ求的值；‎ Ⅱ求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】Ⅰ由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．‎ Ⅱ先根据题意利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的余弦公式求得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，‎ ‎．‎ Ⅱ以角的终边为始边，逆时针旋转得到角，．‎ 由Ⅰ利用任意角的三角函数的定义可得，，‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和的余弦公式的应用，属于中档题．‎ ‎19．函数的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，令，求函数的单调递增区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由函数的最小正周期可得．结合最大值可得．则的解析式是．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得，则.结合正弦函数的性质可得的单调递增区间为．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，所以．‎ 又因为，所以，即．‎ 因为，令可得．‎ 所以的解析式是．‎ ‎（Ⅱ）由已知，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 函数的单调递增区间为．‎ 由，‎ 得，‎ 所以的单调递增区间为．‎ 点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎20．2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米时是车流密度单位：辆千米的函数当桥上的车流密度达到220辆千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为100千米时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．‎ Ⅰ当时，求函数的表达式；‎ Ⅱ当车流密度x为多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆时可以达到最大？并求出最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）车流密度为110辆千米时，车流量最大，最大值为6050辆时．‎ ‎【解析】利用待定系数法求出当时的函数解析式得出结论；‎ 分段求出函数的最大值即可得出的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：当时，设，则，‎ 解得：，‎ ‎．‎ 由得．‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 当时，的最大值为．‎ 车流密度为110辆千米时，车流量最大，最大值为6050辆时．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算与应用，属于中档题．‎ ‎21．已知是定义在上的奇函数，且，当a，，时，有成立．‎ Ⅰ求在区间1上的最大值；‎ Ⅱ若对任意的都有，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）‎ ‎【解析】Ⅰ任取，，且，由奇函数的定义将进行转化，利用所给的条件判断出，可得的单调性，即可得到所求最大值；‎ Ⅱ根据Ⅰ的结论和条件，将问题转化为，即对恒成立，设，即对恒成立，求m的取值范围，需对m进行分类讨论，结合一次函数的单调性，即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ任取，，且，则，‎ 为奇函数，‎ ‎，‎ 由已知得，，‎ ‎，即 在上单调递增，‎ 可得在上的最大值为；‎ Ⅱ若对任意的都有成立，‎ ‎，在上单调递增，‎ 在上，，即，‎ 对恒成立，‎ 设，‎ 若，则，自然对恒成立．‎ 若，则为a的一次函数，若对恒成立，‎ 则必须，且，即，且，‎ ‎．‎ 的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性综合问题，以及恒成立问题、转化思想和分类讨论思想，分析、解决问题的能力．利用定义法证明函数的单调性的过程是：首先在定义域的某个区间上任取，然后计算，若则函数在区间上为减函数，若则函数在区间上为增函数.‎