专题11-2 热点题型一 统计图表及样本数字特征-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

专题11-2 热点题型一 统计图表及样本数字特征-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

热点题型一 统计图表及样本数字特征 统计图与样本数字特征及概率是高考的必考点，题目难度中等。只要考生对常见的统计图如；频率分布直方图，茎叶图等能准确读取需要信息，能够计算数字特征（平均数，方差等）及事件的概率，进而做出相应推断。常见问题归纳如下；‎ 类型一 茎叶图与样本数字特征 类型二 频率分布直方图与样本数字特征 ‎【基础知识整合】‎ ‎1.茎叶图的画法； 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；‎ 第二步：将最小茎与最大茎之间的数按从小到大次序排成一列，写在左(右)侧；‎ 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．‎ ‎2.频率分布直方图作图的步骤；(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．‎ ‎(2)决定 组距与组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．(5)画频率分布直方图．‎ ‎3.频率分布折线图和总体密度曲线 ‎（1）频率分布折线图；连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．‎ ‎（2）总体密度曲线；随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．‎ ‎4.样本的数字特征及意义 ‎(1)众数、中位数、 平均数 数字特征 定义与求法 众数 一组数据中重复出现次数最多的数 中位数 把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)‎ 平均数 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)‎ ‎(2)标准差、方差 ‎①标准差：表示样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，‎ s＝.‎ ‎②方差：标准差的平方s2叫做方差;s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，‎ 其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．‎ 名师点睛：(1)频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系：‎ ‎①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎(2)平均数、方差公式的推广;若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则数据 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2.‎ ‎(3)方差s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝(x＋x＋…＋x)－n2]．‎ 类型一 茎叶图与样本数字特征 ‎ ‎【典例1】【2015高考新课标2（理）18】某公司为了解用户对其产品的满意度，从， 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：‎ A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎ 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；‎ ‎（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；‎ A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．‎ 考点； 1、茎叶图和特征数； 2、互斥事件和独立事件．‎ ‎【思路点拨】本题考查茎叶图、互斥事件和独立事件，根据茎叶的密集程度比较平均值大小，如果密集主干部位在高位，那么平均值大；方差看它们数字偏离程度，偏离越大则方差大．读懂所求概率事件包含的含义，利用分类讨论思想将事件分解为几个互斥的情况来求概率．‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2015高考重庆理3】重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：‎ ‎ ‎ 则这组数据的中位数是（　 　）‎ A、19 B、20 C、21.5 D、23 ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B..‎ 考点；本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.‎ ‎2.【2015湖南理】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人.‎ 考点；1.系统抽样；2.茎叶图.‎ ‎3.【2014广东高考】某车间20名工人年龄数据如下表：‎ 年龄(岁)‎ 工人数(人)‎ ‎19‎ ‎1‎ ‎28‎ ‎3‎ ‎29‎ ‎3‎ ‎30‎ ‎5‎ ‎31‎ ‎4‎ ‎32‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎1‎ 合计 ‎20‎ ‎(1)求这20名工人年龄的众数与极差；‎ ‎(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ ‎(3)求这20名工人年龄的方差．‎ ‎【答案】（1）21 （2）见解析 （3）12.6‎ ‎【解析】　(1)这20名工人年龄的众数为：30；这20名工人年龄的极差为：40－19＝21.‎ ‎(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：‎ ‎1‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎8 8 8 9 9 9‎ ‎3‎ ‎0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎(3)这20名工人年龄的平均数为(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；‎ 所以这20名工人年龄的方差为(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋‎ (30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.‎ 考点；1.样本数字特征；2.茎叶图.‎ ‎4.【2017衡水金卷】某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：‎ 甲部门 乙部门 ‎3‎ ‎59‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎0448‎ ‎97‎ ‎5‎ ‎122456677789‎ ‎97665332110‎ ‎6‎ ‎011234688‎ ‎98877766555554443332100‎ ‎7‎ ‎00113449‎ ‎6655200‎ ‎8‎ ‎123345‎ ‎632220‎ ‎9‎ ‎011456‎ ‎10‎ ‎000‎ ‎(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；‎ ‎(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；‎ ‎(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．‎ ‎【答案】（1）75，67 （2）0.1，0.16 （3）见解析 考点；1.样本数字特征；2.茎叶图. 3.概率 ‎【解题技巧与方法总结】‎ 根据茎叶图比较平均数、方差大小的方法 ‎1．平均数：根据茎叶图比较数据的大小，便可判断平均数的大小．‎ ‎2．方差：根据数据的集中程度判断，若数据集中在某一茎上，其他数据均匀对称分布在两边，此种情况方差较小，若两组数据均属此种情况，或均不属此种情况，应通过计算比较大小，有时也可以计算出平均数，然后通过数据与平均数的离散程度来估计大小．‎ 类型二 频率分布直方图与样本数字特征 ‎【典例1】【2017哈尔滨高考模拟】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．‎ A地区用户满意度评分的频率分布直方图 图934‎ B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 ‎50,60)‎ ‎60,70)‎ ‎70,80)‎ ‎80,90)‎ ‎90,100]‎ 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎ ‎ ‎(1)在图中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．‎ B地区用户满意度评分的频率分布直方图 ‎ (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）见解析 ‎【解析】 (1)如图所示．‎ 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．‎ ‎(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．‎ 记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．‎ 考点：1. 频率分布直方图 2.概率 ‎【变式练习】‎ ‎1.【2016高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20)， 20，22.5)， 22.5,25)，25，27.5)，27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）‎ ‎（A）56 （B）60 （C）120 （D）140‎ ‎【答案】D 考点：频率分布直方图 ‎2.【2015湖北高考理】某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎(1)直方图中的a＝________；‎ ‎(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9]内的购物者的人数为________．‎ ‎【答案】(1)3　 (2)6 000‎ ‎【解析】(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.‎ ‎(2)区间0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故0.5,0.9]内的频率为 ‎1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间0.5,0.9]内的购物者的人数为 ‎0.6×10 000＝6 000.‎ 考点：频率分布直方图 ‎3.【2015广东高考（理）18】某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以160,180)，180,200)，200,220)，220,240)，240,260)，260,280)，280,300]分组的频率分布直方图如图937.‎ 图937‎ ‎①求直方图中x的值；‎ ‎②求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎③在月平均用电量为220,240)，240,260)，260,280)，280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240)的用户中应抽取多少户？‎ ‎【答案】（1）0.007 5.（2）230. 224. （3）5(户)．‎ 考点：1. 频率分布直方图 2.样本数字特征 3.分层抽样 ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎1．绘制频率分布直方图时需注意；‎ ‎(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确．‎ ‎(2)频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率．‎ ‎2．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式；‎ ‎(1)×组距＝频率．‎ ‎(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．‎ ‎3．利用频率分布直方图估计样本的数字特征；‎ ‎(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．‎ ‎(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．‎ ‎(3)众数：最高的矩形中点的横坐标．‎