专题11 空间几何体-2017年高考数学（理）备考黄金易错点

专题11 空间几何体-2017年高考数学（理）备考黄金易错点

‎1．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋π B.＋π C.＋π D．1＋π 答案　C ‎2．封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A．4πB.C．6πD. 答案　B 解析　由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.‎ ‎3．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D．2π 答案　C 解析　过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.‎ ‎4．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．16 B．8＋8‎ C．2＋2＋8 D．4＋4＋8‎ 答案　D 解析　由三视图知，‎ 所以S△PCD＝S△PAD＝×2×2＝2，‎ S△PAB＝S△PBC＝×2×2＝2.‎ 所以几何体的表面积为4＋4＋8.‎ ‎5．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为(　　)‎ A．6π B．12π C．32π D．36π 答案　B ‎6．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．‎ 答案　 解析　如图所示，‎ 设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S＝2πr×2＝4πr≤4π×＝2π(当且仅当r2＝1－r2，即r＝时取等号)．‎ 所以当r＝时，‎ ＝＝.‎ ‎7．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．‎ 答案　 解析　设直线AC与BD′所成角为θ，平面ACD翻折的角度为α，设点O是AC的中点，由已知得AC＝，如图，‎ 所以cosα＝－1时，cosθ取最大值.‎ ‎8．已知在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝PA＝2，且在△ABC中，∠BAC＝120°，则三棱锥P—ABC的外接球的体积为________．‎ 答案　 解析　由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，‎ ‎∴BC2＝22＋22－2×2×2×(－)＝12，‎ ‎∴BC＝2.设平面ABC截球所得截面圆半径为r，则2r＝＝4，所以r＝2.由PA＝2且PA⊥平面ABC知球心到平面ABC的距离为1，所以球的半径为R＝＝，所以V球＝πR3＝.‎ ‎9．如图，侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为____________．‎ 答案　6‎ ‎10．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与点P重合)，使得∠PEB＝30°.‎ ‎(1)求证：EF⊥PB；‎ ‎(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积．‎ ‎(1)证明　∵EF∥BC且BC⊥AB，‎ ‎∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.‎ 又BE∩PE＝E，∴EF⊥平面PBE，‎ 又PB⊂平面PBE，∴EF⊥PB.‎ ‎(2)解　设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4.‎ ‎∴S△PEB＝BE·PE·sin∠PEB ‎＝xy≤2＝1.‎ 当且仅当x＝y＝2时，S△PEB的面积最大．‎ 此时，BE＝PE＝2.‎ ‎∴VP—BCFE＝×6×1＝2.‎ 易错起源1、三视图与直观图 例1、(1)(2016·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．20πB．24πC．28πD．32π ‎(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 答案　(1)C　(2)D ‎【变式探究】(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)‎ ‎(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)‎ 答案　(1)D　(2)B ‎【名师点睛】‎ 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．‎ ‎2．由三视图还原几何体的步骤 一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．‎ 易错起源2、几何体的表面积与体积 例2、(1)(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)‎ A.B.C.D．1‎ ‎(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为(　　)‎ A．66 B．68‎ C．70 D．72‎ 答案　(1)A　(2)A 解析　(1)由三视图知，三棱锥如图所示：‎ 那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝××3×4×6＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.‎ 故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.‎ ‎【变式探究】某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．‎ 答案　 ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．‎ ‎(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．‎ 易错起源3、多面体与球 例3、(1)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为(　　)‎ A．4π B．12π C．16π D．64π ‎(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)‎ A.cm3 B.cm3‎ C.cm3 D.cm3‎ 答案　(1)C　(2)A 解析　(1)在△ABC中，‎ 设球心为点O，球半径为Rcm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，‎ 在Rt△OAB中，OA＝(R－2)cm，‎ AB＝4cm，‎ OB＝Rcm，‎ 由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，‎ ‎∴V球＝πR3＝π(cm3)．故选A.‎ ‎【变式探究】在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________．‎ 答案　π 解析　如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，‎ ‎【名师点睛】‎ 三棱锥P－ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：‎ ‎(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A、B、C可作为下底面的三个顶点；‎ ‎(2)P－ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．‎ ‎1．如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 答案　B 解析　由所截几何体可知，FC1被平面AD1E遮挡，可得B图．‎ ‎2．下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为(　　)‎ A．2 B. C. D. 答案　D 解析　多面体ABCDE为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V＝4－＝，选D.‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为(　　)‎ A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－ 答案　B 解析　由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为V＝(22－2××π×12)×2＝8－π.‎ ‎4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于(　　)‎ A．1B．2C．4D．8‎ 答案　B 解析　如图，‎ ‎5．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A.π B．3π C.π D．2π 答案　A 解析　如图所示，‎ ‎6．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．‎ 答案　2＋ 解析　如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，‎ 则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.‎ 而四边形AECD为矩形，AD＝1，‎ ‎∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1.‎ 由此可还原原图形如图．‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2，体积是________cm3.‎ 答案　72　32‎ 解析　由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、2cm，其直观图如下：‎ 其体积V＝2×2×2×4＝32(cm3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm2)．‎ ‎8.如图所示，从棱长为6cm的正方体铁皮箱ABCD—A1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形．如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为________cm3.‎ 答案　36‎ ‎9．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于____________．‎ 答案　2‎ 解析　由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．‎ 由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×(6＋8－10)＝2.‎ ‎10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．‎ ‎(1)求该几何体的体积V；‎ ‎(2)求该几何体的侧面积S.‎ 解　由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E－ABCD.‎ ‎(1)V＝× (8×6)×4＝64.‎ ‎(2)四棱锥E－ABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝＝‎