【推荐】专题22+球与几何体的切接-2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练

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‎2018届高三一轮特色专题训练 一、选择题 ‎1. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上, 平面,且,则球的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知CA,CB,CD两两垂直,所以补形为长方形,三棱锥与长方体共球, ,求的外接球的表面积,选C ‎2．一块硬质材料的三视图如图所示,正视图和俯视图都是边长为的正方形,将该木料切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径最接近 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 3.若一个正四面体的表面积为,其内切球的表面积为,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设四面体ABCD的棱长为底面中心将高分为两段,所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为,所以正四面体的体积设正四面体的内切球半径为则,所以内切球表面积,所以正四面体的表面积 ‎4. 《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑, 平面, , ,三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 5．如图,在中, , ,点为的中点,将沿折起到的位置,使,连接,得到三棱锥,若该三棱锥的所有顶点都在同一球面,则该球的表面积是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得该三棱锥的面是边长为的正三角形,且平面,设三棱锥的外接球球心为, 的外接圆的圆心为,则平面,所以四边形为直角梯形.由,及,可得,即为外接球半径,故其表面积为.‎ ‎6.设为球的直径, 三点在球面上,且面,三角形的面积为3, ,则球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 7．已知四面体P－ABC中,PA＝4,AC＝2,PB＝BC＝2,PA⊥平面PBC,则四面体P－ABC的外接球半径 A. 2 B. 2 C. 4 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,已知面所以,由勾股定理得到,即为等边三角形, 为等腰三角形,等边三角 形所在的小圆的直径,那么,四面体的外圆球直径,所以, ,故选.‎ ‎8．已知球是正三棱锥（底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心）的外接球, , ,点在线段上,且,过点作圆的截面,则所得截面圆面积的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图,设 的中心为 ,球 的半径为 ,连接,易求得 ,则 .在中,由勾股定理, ,解得 ,由 ,知 ,所以 ,当过点 的截距与 垂直时,截面圆的面积最小,此时截面圆的半径 ,此时截面圆的面积为 ；当过点 的截面过球心时,截面圆的面积最大,此时截面圆的面积为 ,故选B. ‎ ‎9. 四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据三视图还原几何体为一个四棱锥,平面 平面,由于为等腰三角形,四边形为矩形, ,过的外心 作平面 的垂线,过矩形的中心作平面的垂线两条垂线交于一点 为四棱锥外接球的球心,在三角形 中, ,则 , ,‎ ‎ , , , , .选C. ‎ ‎10. 若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形, ,则该三棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎11.三棱锥中,侧棱底面, , , , ,则该三棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题,侧棱底面, , , ,则根据余弦定理可得 , 的外接圆圆心 ‎ 三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ,则该三棱锥的外接球的表面积为 ‎ ‎12.已知棱长为2的正方体,球与该正方体的各个面相切,则平面截此球所得的截面的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎13.三棱锥的体积为, 底面,且的面积为4,三边的乘积为16,则三棱锥的外接球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵三棱锥的体积为且的面积为4,∴,由底面,所以球心到底面的外接圆圆心的距离为1,另, ,两式相除,由正弦定理知底面的外接圆半径为1,所以三棱锥的外接球的半径为,表面积为,故选B. ‎ ‎14.正四面体的棱长为4, 为棱的中点,过作此正四面体的外接球的截面,则截面面积的最小值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎15.在菱形中, , ,将沿折起到的位置,若二面角的大小为,三棱锥的外接球球心为, 的中点为,则 A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 16．如图,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器,其中侧棱长为,底面边长为,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为,如果不计容器的厚度,则球的表面积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B 二、填空题 ‎17. 在棱长为1 的正方体中,以A为球心半径为的球面与正方体表面的交线长为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图,‎ 球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上,即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上,即面、面和面上．在面上,交线为弧且在过球心的大圆上,因为, ,则,同理,所以,故弧的长为,而这样的弧共有三条．在面上,交线为弧且在距球心为1‎ 的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的圆心为,半径为, ,所以弧的长为,这样的弧也有三条,于是,所得的曲线长为,故答案为.‎ ‎18．已知等腰中, , 分别为的中点,沿将折成直二面角（如图）,则四棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 19.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经榫卯起来,如图3,若正四棱柱体的高为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计） ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球.设其半径为R, ,所以该球形容器的表面积的最小值为.‎ ‎20．已知正四棱柱的底面边长,侧棱长,它的外接球的球心为,点是的中点,点是球上任意一点,有以下判断：‎ ‎①的长的最大值是9；‎ ‎②存在过点的平面,截球的截面面积是；‎ ‎③三棱锥的体积的最大值是20；‎ ‎④过点的平面截球所得截面面积最大时, 垂直该截面.‎ 其中判断正确的序号是______‎ ‎【答案】①③④‎ ‎ 21．如图所示,三棱锥中, 是边长为3的等边三角形, 是线段的中点, ,且,若, , ,则三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 22．体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上,球心在此三棱锥内部,且,点为线段上一点,且,过点作球的截面,则所得截面圆面积的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎