2019-2020学年河南省平顶山市高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年河南省平顶山市高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省平顶山市高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知命题:，，则为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】由全称命题的否定为特称命题求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为命题:，，‎ 则为，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了特称命题与全称命题的否定，属基础题.‎ ‎2．已知，，是正实数，则“，，成等差数列”是“，，成等比数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由对数的运算结合等差、等比数列的定义运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：若，，成等差数列，‎ 则，所以，‎ 即正实数，，成等比数列.‎ 若正实数，，成等比数列，则，所以，‎ 即.‎ 所以“，，成等差数列”是“正实数，，成等比数列”的充要条件.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的运算及等差、等比数列的定义，重点考查了充分必要条件，属基础题.‎ ‎3．已知数列是等差数列，且，，则数列的前9项和（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知条件列方程组，再结合等差数列求和公式运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由条件知，解得所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列基本量的求法，重点考查了等差数列求和公式，属基础题.‎ ‎4．双曲线(，)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由双曲线渐近线方程求得，再结合双曲线离心率求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由双曲线(，)的一条渐近线方程为可得，‎ 则，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线渐近线方程，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题.‎ ‎5．已知实数，满足则的最大值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，‎ 由目标函数的几何意义，平移直线至点时，取得最大值，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单的线性规划，重点考查了作图能力，属中档题.‎ ‎6．不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别讨论当时，当时，结合二次不等式的解法求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：当时，不等式可化为，解得；‎ 当时，不等式可化为，此时，解得.‎ 所以原不等式的解集为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分式不等式的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.‎ ‎7．曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线的斜率，然后求切线方程即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，‎ 所以，‎ 所以切线的斜率，‎ 所以切线方程为，‎ 即.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的运算，重点考查了导数的几何意义，属基础题.‎ ‎8．一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东方向10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（ ）‎ A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 ‎【答案】D ‎【解析】先阅读题意，再在中利用余弦定理求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：记轮船行驶到某处的位置为，灯塔的位置为，20分钟后轮船的位置为，‎ 如图所示.则， ，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理，重点考查了解斜三角形，属中档题.‎ ‎9．已知抛物线:()的焦点为，点在抛物线上，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由抛物线的定义可得，则有，得解.‎ ‎【详解】‎ 解：过作准线的垂线，交准线于，过作的垂线，交于，依题得，，‎ 因为，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的标准方程，重点考查了抛物线的几何性质，属基础题.‎ ‎10．函数的极大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先利用导数求函数的单调区间，再结合单调区间求极值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：函数定义域为，且，令，则，.‎ 当时，.；当时，:当时，.‎ 即函数的增区间为，减区间为，，‎ 所以函数的极大值为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性，重点考查了利用导数求函数的极值，属中档题.‎ ‎11．已知过原点的直线与抛物线:的一个交点为(与不重合)，过抛物线的焦点作平行于的直线，与抛物线交于点，，若，则点的坐标为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】由直线与抛物线的位置关系及抛物线焦点弦长的求法，设直线的斜率为，则，再将已知条件代入求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：设直线的斜率为()，则直线的方程为，‎ 联立得.‎ 过抛物线的焦点作平行于的直线，与抛物线交于点，，‎ 则直线的方程为.‎ 联立整理得.‎ 设，，‎ 则，‎ 则.‎ 所以，解得，‎ 故点的坐标为或.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与抛物线的位置关系，重点考查了抛物线焦点弦长的求法，属中档题.‎ ‎12．已知是定义在上的偶函数，其导函数为，且不等式恒成立，设函数，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由是定义在上的偶函数，可得函数也是偶函数，再利用导数可得函数在上为增函数，则不等式可化为，再求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：函数，则由是定义在上的偶函数，可得函数也是偶函数，且，‎ 所以，‎ 则原不等式可变形为.‎ 当时，‎ 所以函数在上为增函数，‎ 所以不等式可化为或或.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的综合问题，属中档题..‎ 二、填空题 ‎13．已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列，则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由等差数列和等比数列的性质运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，即，解得.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和等比数列的性质，属基础题.‎ ‎14．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数恰好有三个单调区间等价于有两个不等实数解，再利用判别式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知，由函数恰好有三个单调区间，得有2个不同的实根，‎ 所以需满足且方程的，‎ 解得或，所以实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的综合问题，属中档题.‎ ‎15．已知数列的首项，，则的通项______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知条件可得，再利用等差数列通项公式的求法求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由两边同除以可得，，即，‎ 所以数列以1为首项，1为公差的等差数列，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是等差数列通项的求法，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二次方程有解可得，再利用三角函数的有界性可得，则有，再结合正弦定理运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：把看成关于的二次方程，则由，‎ 即得，而，则.由于，可得，可得，即，‎ 代入方程，‎ 可得，所以.‎ 正弦定理可得，，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解斜三角形，重点考查了三角函数的有界性，属中档题..‎ 三、解答题 ‎17．已知:方程表示焦点在轴上的椭圆.；:不等式有解.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）分别讨论当时，当时，利用方程有解求实数的取值范围即可；‎ ‎（2）先求出均为真命题时实数的取值范围，再结合与必然一真一假，求解即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，不等式显然有解，当时，有解.当时，因为有解，所以，所以.所以当为真命题时，的取值范围为.‎ ‎（2）因为“”为假命题，“”为真命题，所以与必然一真一假.‎ 若:方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题，‎ 方程可化为，则需.‎ 由(1)知，若为真，则.‎ 所以或，‎ 解得或.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程、重点考查了不等式以及常用逻辑用语，属基础题.‎ ‎18．已知，.‎ ‎（1）若，求在上的最大值；‎ ‎（2）若在区间上单调递增，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由导函数可得在上单调递减，在上单调递增.再求函数在上的最大值即可；‎ ‎（2）在区间上单调递增等价于在恒成立，再利用最值法运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）若，.‎ 所以.‎ 令得或.‎ 由得或.；由得.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 又因为，，‎ 所以在上的最大值为.‎ ‎（2）.要使在区间上单调递增，只需在恒成立即可.‎ 当时，由于在单调递增，‎ 所以的最小值为.‎ 令，得.‎ 所以当时､在区间上单调递增.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，重点考查了不等式恒成立问题，属中档题.‎ ‎19．记等差数列的前项和为，已知数列是各项均为正数的等比数列，且，，，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式.；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）先设数列的公差为，数列的公比为()，再结合已知条件求解即可.‎ ‎（2）由数列为等差比数列，则用错位相减法求和即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设数列的公差为，数列的公比为().‎ 由，，得，解得(负值舍去)‎ 所以，，‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 所以.①‎ 所以.②‎ 由②-①可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和等比数列的通项，重点考查了错位相减法求和，属中档题.‎ ‎20．在中，角，，的对边分别为，，，已知.‎ ‎（1）若，求的值.；‎ ‎（2）若的平分线交于，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）1（2）9‎ ‎【解析】（1）由正弦定理化角为边可得，再结合余弦定理可得，得解；‎ ‎（2）由三角形面积公式可得，再结合基本不等式的应用求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由正弦定理，得，即.‎ 由余弦定理得，‎ 又，‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎（2）由题意得，‎ 即.‎ 所以，即.‎ 则，‎ 当且仅当，即，时取等号.‎ 故的最小值为9.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理、余弦定理，重点考查了三角形面积公式及基本不等式的应用，属中档题.‎ ‎21．已知椭圆:()的一个顶点为，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为4.‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点，点为椭圆长轴的右端点，当的面积为时，求的值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）由椭圆的定义及离心率的求法求解即可；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意得，则，‎ 设椭圆的半焦距为.‎ 所以，‎ 椭圆的方程为.‎ 所以椭圆的离心率.‎ ‎（2）由得.‎ 设点，的坐标分别为，，‎ 则，.‎ 所以.‎ 点到直线的距离.‎ 所以的面积.由，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的定义，重点考查了直线与椭圆的位置关系及弦长公式，属中档题..‎ ‎22．已知函数的图象在点处的切线为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】（1）先求导函数，再结合函数的图象在点处的切线为，则，再求解即可；‎ ‎（2）原不等式可转化为()恒成立，再设()，然后利用导数求函数的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知可得.‎ 函数的图象在点处的切线的斜率，‎ 所以.‎ 所以切点坐标为，‎ 代入切线方程，可得.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知.所以对任意的恒成立，‎ 即()恒成立，即()恒成立.‎ 令()，所以即可. .‎ 设()，‎ 则，‎ 所以在上单调递增.‎ 所以当时，单调递增，‎ 所以.‎ 所以在上，在上.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以当时，取得最小值，‎ 所以.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考査利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立的综合问题，属综合性较强的题型.‎