【数学】2018届一轮复习人教A版第七章数列、推理与证明专题探究课三高考中数列不等式问题的热点题型学案
专题探究课三 高考中数列不等式问题的热点题型
高考导航 考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题；三是结合函数、不等式(放缩法)等进行综合考查，难度较大，涉及内容较为全面，试题思维量较大.
热点一 等差数列、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.
【例1】 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，
于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为an＝×
＝(－1)n－1·.
(2)由(1)得Sn＝1－＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1
Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.
探究提高 解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.
【训练1】 (2017·乐清模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5－2a2＝25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设Tn是数列的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∴
解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1.
∵b1＝a1＝3，b2＝a4＝9，
∴等比数列{bn}的公比q＝3，∴bn＝3n.
(2)不存在.理由如下：
∵＝＝，
∴Tn＝
＝，
∴1－2Tk＝＋(k∈N*)，
易知数列为单调递减数列，
∴<1－2Tk≤，又＝∈，
∴不存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立.
热点二 数列的通项与求和(规范解答)
数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，
常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.
【例2】 (满分12分)(2015·湖北卷)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
满分解答 (1)解 由题意有
即2分
解得或4分
故或6分
(2)解 由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，
故cn＝，7分
于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②8分
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－10分
＝3－，11分
故Tn＝6－.12分
❶由题意列出方程组得2分；
❷解得a1与d得2分，漏解得1分；
❸正确导出an，bn得2分，漏解得1分；
❹写出cn得1分；
❺把错位相减的两个式子，按照上下对应好，再相减，就能正确地得到结果，本题就得满分，否则就容易出错，丢掉一些分数.
用错位相减法解决数列求和的模板
第一步：(判断结构)
若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.
第二步：(乘公比)
设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.
第三步：(错位相减)
乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差.
第四步：(求和)
将作差后的结果求和，从而表示出Tn.
【训练2】 已知数列{an}，an＝(－1)n－1，求数列{an}的前n项和Tn.
解 an＝(－1)n－1，
当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝1－＝.
当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.
所以Tn＝(或Tn＝).
热点三 数列的综合应用
热点3.1 数列的实际应用
数列在实际问题中的应用，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n项和公式或递推关系式，建立数列模型.
【例3－1】 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元.
(1)求该企业2014年年底分红后的资金；
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.
解 设an为(2010＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，
则a1＝2×1 000－500＝1 500，
a2＝2×1 500－500＝2 500，…，
an＝2an－1－500(n≥2).
∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，
即数列{an－500}是以a1－500＝1 000为首项，2为公比的等比数列，
∴an－500＝1 000×2n－1，
∴an＝1 000×2n－1＋500.
(1)∵a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，
∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元.
(2)由an>32 500，即2n－1>32，得n>6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元.
热点3.2 数列与函数的综合问题
数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.
【例3－2】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n，0)，且f′(0)＝2n(n∈N*).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若数列{an}满足＝f′，且a1＝4，求数列{an}的通项公式；
(3)对于(2)中的数列{an}，求证：
①ak<5；②≤ <2.
(1)解 由f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝2n，
得b＝2n，又f(x)的图象过点(－4n，0)，∴16n2a－4nb＝0，解得a＝.∴f(x)＝x2＋2nx(n∈N*).
(2)解 由(1)知f′(x)＝x＋2n(n∈N*)，∴＝＋2n，即－＝2n，
∴－＝2(n－1)，－＝2(n－2)，…，－＝2，
∴－＝n2－n，∴an＝，
即an＝(n∈N*).
(3)证明 ①ak＝<＝－(k≥2).
当n＝1时，ak<5显然成立；
当n≥2时，ak<4＋
＝5－<5.
②∵＝＝－，
∴ ＝＋＋…＋＝2－.
∵n∈N*，∴2n＋1≥3，
∴≤2－<2.
综上，原不等式得证.
热点3.3 数列与不等式的综合问题
数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.
【例3－3】 (2016·浙江卷)设数列{an}满足|an－|≤1，n∈N*.
(1)证明：|an|≥2n－1(|an|－2)，n∈N*；
(2)若|an|≤，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*.
证明 (1)由≤1得|an|－|an＋1|≤1，
故－≤，n∈N*，
所以－＝＋＋…＋≤＋＋…＋＜1，
因此|an|≥2n－1(|a1|－2).
(2)任取n∈N*，由(1)知，对于任意m＞n，
－＝＋＋…＋≤＋＋…＋＜，
故|an|＜·2n≤·2n＝2＋·2n.
从而对于任意m＞n，均有|an|＜2＋·2n.
由m的任意性得|an|≤2.①
否则，存在n0∈N*，有|an0|＞2，
取正整数m0＞log且m0＞n0，
综上，对于任意n∈N*，均有|an|≤2.
