数学理卷·2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考试（2017

数学理卷·2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考试（2017

‎2018届高三第四次模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，则下列命题中错误的是（ ）‎ A． B． C．的虚部为 D．在复平面上对应点再第一象限 ‎2.集合，则的子集个数是（ ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 ‎3.设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.命题：“若，则且”的逆否命题是（ ）‎ A．若且，则 B．若且，则 ‎ C．若或，则 D．若或，则 ‎5.已知向量，则是“与反向”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数），若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）小时.‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.函数的图象可能是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9.已知点的坐标满足不等式，为直线上任一点，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.若函数的图象关于直线对称，且当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知双曲线右焦点为为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，则的最大值为 ．‎ ‎14.已知向量满足且，则的最小值为 ．‎ ‎15.若，则的解集为 ．‎ ‎16.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点是抛物线焦点，点在抛物线上，且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在锐角中，.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在区间上的最大值为，求的值.‎ ‎19.已知数列为数列的前项和，且满足 ‎.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求的通项公式 ‎20.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线交椭圆与两点，若，求证：.‎ ‎21.已知函数在上不具有单调性.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线的极坐标方程为为极角）‎ ‎（1）分别写出曲线的普通方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）已知为曲线的上顶点，为曲线上任意一点，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值；‎ ‎（2）若函数，求函数的值域.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CCBCC 6-10:DCCBA 11、12：BB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，‎ 所以，‎ 则，即，‎ 由为锐角三角形得.‎ ‎（2）在中，，即，‎ 化简得，解得（负根舍去），‎ 所以.‎ ‎18.解：（1）易知定义域为，‎ 令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 在上是增函数，在上是减函数.‎ ‎（2），‎ ①若，则，从而在上是增函数，‎ ‎，不合题意.‎ ②若，则由，即，‎ 若在上是增函数，由①知不合题意.‎ 由，即.‎ 从而在上是增函数，在为减函数，‎ ‎，‎ 所求的.‎ ‎19.解：（1）当时，，‎ 当时，由，得：，‎ 则 当时，适合上式 综上，是公比为，首项为的等比数列，；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ 累加得.‎ ‎20.解：（1）设椭圆的方程为 由椭圆过点得：‎ 解得 椭圆的方程为 ‎（2）设由 消去整理得，由韦达定理得，则 由两边平方整理可得 只需证明 而 故恒成立 ‎21.解：（1）‎ 在上不具有单调性，在上有正也有负也有，即二次函数在上有零点 是对称轴是，开口向上的抛物线，的实数的取值范围 ‎（2）由（1），‎ 方法1：，‎ ‎，‎ 设 在是减函数，在增函数，当时，取最小值 从而，函数是增函数，‎ 是两个不相等正数，不妨设，则 ‎，即 方法2：是曲线上任意两相异点，‎ 设，令，‎ 由，得，由得，‎ 在上是减函数，在上是增函数，‎ 在处取极小值，‎ 所以，即 ‎22.解：（1）‎ ‎（2）由（1）知 当或时，最大为.‎ ‎23.解：（1）对任意的恒成立，‎ 等价于对任意的恒成立，‎ 等价于对任意的 因为，‎ 当且仅当时取等号，所以，得.‎ 所以实数的最小值为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 当时，.‎ 综上，.‎ 所以函数的值域为.‎