湖北省荆门市两校2020届高三9月月考数学（文）试题（龙泉中学宜昌一中）
龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试
数学（文科）试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.为虚数单位，复数，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简为的形式，进而求得.
【详解】依题意，故，故选D.
【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.
2.已知集合A={x|–1
1}，则A∪B=
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据并集的求法直接求出结果.
【详解】∵ ，
∴ ，
故选C.
【点睛】考查并集的求法，属于基础题.
3.若，则的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定函数的定义域；利用导数可知当时，范围即为所求区间，从而得到结果.
【详解】由题意得：定义域为：
当时，；当时，
的单调递增区间为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，易错点是忽略函数的定义域，从而造成求解错误.
4.设，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立.
【详解】在上递减，
若充分性成立，
若，则，
必要性成立，
即“”是“”的充要条件，故选C.
【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
5.已知是定义在上的偶函数，且在内单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性可知，通过对数函数单调性可知，进而根据在上单调递减得到大小关系.
【详解】为定义在上的偶函数
且在上单调递减
，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小关系，关键是能够利用奇偶性将自变量化到同一个单调区间内，进而根据单调性得到函数值的大小关系.
6.已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
详解】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
7.若函数的图象关于轴对称，则实数的值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到，进而得到恒成立，根据对应项系数相同可得方程求得结果.
【详解】图象关于轴对称，即为偶函数
即：
恒成立，即：
，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.
8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排除选项；当时，可知，排除选项，从而得到结果.
【详解】当时，，可排除选项；
当时，， 时，，可排除选项
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数图象的判断，常用方法是采用特殊值排除的方式，根据特殊位置函数值的符号来排除错误选项.
9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
A. 1033 B. 1053
C. 1073 D. 1093
【答案】D
【解析】
试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.
10.如图点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B，则()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，点B得到，
将所求的转化为，按照公式展开，得到答案.
【详解】由题意因为，点B
所以，
所以，
故选C
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，凑角求值，属于简单题.
11.若存在两个正实数使得等式成立（其中是以为底的对数），则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将等式转化为；令，则等式化为，将问题转化为与有交点；令，通过导数可求得函数单调性，得到
，通过判断和时的极限，可确定的取值范围.
【详解】由得：
令，则
设，，则
当时，；当时，
即在上单调递增；在上单调递减
又时，；时，
又成立等价于与有交点
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据等式能成立求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的有交点的问题，从而利用导数研究函数的图象，根据图象确定参数的取值范围.
12.已知函数（表示不超过实数的最大整数），若函数的零点为，则（ ）
A. B. -2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先对函数求导，判断函数单调性，再根据函数零点存在性定理，确定的大致范围，求出，进而可得出结果.
【详解】因为，所以在上恒成立，
即函数在上单调递增；
又，
所以在上必然存在零点，即，
因此，
所以.
故选B
【点睛】本题主要考查导数的应用，以及函数的零点，熟记导数的方法研究函数单调性，以及零点的存在性定理即可，属于常考题型.
二、填空题.
13.已知函数，若，则实数的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
解方程即得a的值.
【详解】∵
∴
∵
∴，
因为
所以解得a＝．
故答案为：
【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14.函数的图象在点处的切线方程为_____
【答案】
【解析】
【分析】
当时，可得解析式，从而得到；将代入函数解析式和导函数解析式，求得切点纵坐标和切线斜率，从而得到切线方程.
【详解】当时，，则
，
在处的切线方程为：
【点睛】本题考查根据导数的几何意义求解函数在某一点处的切线方程的问题，属于基础题.
15.求值： ________．
【答案】4
【解析】
故答案为4
16.定义函数，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的“均值”为，则函数的“均值”为________．
【答案】1010
【解析】
【分析】
根据定义域可知，；由在上单调递增，可知若需满足题意，则，进而得到结果.
【详解】，即
若，则，
对于任意，存在唯一的使得且在上单调递增
本题正确结果：
【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，关键是能够充分理解新定义的“均值”的含义，进而通过单调性可得的值，考查学生的分析和解决问题能力.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知命题，命题关于的不等式在上恒成立．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
分别求出为真、为真时，的取值范围；（1）由为真可知全都为真，得到不等式组求得结果；（2）由为假可知全都为假，从而得到不等式组求得结果.
【详解】若为真，即对，恒成立
当时，
若为真，即不等式在上恒成立
，解得：
（1）为真，则全都为真
即
（2）假，则全都为假
即
【点睛】本题考查根据复合命题的真假性求解参数范围的问题，关键是能够准确求解出两个命题分别为真时参数的取值范围，进而根据复合命题的真假性确定两个命题的真假性.
18.已知函数.
（1）求的值；
（2）将函数的图像向左平移后得到函数，若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1). (2)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式将化简为，代入即可求得结果；（2）根据三角函数左右平移原则可得解析式，利用的范围求出
的范围，结合正弦函数的图象可得的值域；由不等式恒成立可得、与最小值和最大值之间的关系，解不等式组求得结果.
【详解】（1）
（2）
当时，
即
又恒成立 ，解得：
实数的取值范围为：
【点睛】本题考查三角函数值的求解、正弦型函数在区间内的值域的求解；涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数式、三角函数的平移变换等知识；解决本题中恒成立问题的关键是找到不等式上下限与三角函数最值之间的关系，从而构造不等式组求得结果.
19.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析： （1）幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为故将代入验证，为偶函数即可．（2）由（1）得
，从而得的解析式，求导得，显然不是方程的根，为使仅在处有极值，必须恒成立，即有，解这个不等式便得的取值范围．
试题解析：（1）在区间上是单调增函数，
即又4分
而时，不是偶函数，时，是偶函数，
． 6分
（2）显然不是方程的根.
为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分
即有，解不等式，得. 11分
这时，是唯一极值．． 12分
考点：1、基本初等函数及其性质；2、导数的应用；3、不等关系..
20.已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【解析】
分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，
得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0
查看更多
