重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）13

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13.3 等腰三角形 第十三章 轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 等腰三角形的性质 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1. 理解并掌握 等腰三角形的性质 .( 重点 ) 2. 经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用 等腰三角形的性质解决有关问题 .( 难点 ) 导入新课 等腰三角形 情境引入 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做 等腰三角形 . 等腰三角形中，相等的两边叫做 腰 ，另一边叫做 底边 ，两腰的夹角叫做 顶角 ，腰和底边的夹角叫做 底角 . A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 讲授新课 等腰三角形的性质 一 剪一剪： 把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形 ABC 有 什么特点？ 互动探究 A B C AB=AC 等腰三角形 折一折： △ ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕 所在的直线 是它的对称轴 . 等腰三角形是轴对称图形 . 找一找： 把剪出的 等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角 . 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠ B 与 ∠ C . ∠ BAD 与 ∠ CAD ∠ADB 与 ∠ ADC 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想 . A B C 已知：△ ABC 中， AB = AC , 求证：∠ B = C . 思考： 如何构造两个全等的三角形？ 猜想 : 等腰三角形的两个底角相等 如何证明两个角相等呢？ 可以运用全等三角形的性质 “ 对应角相等 ” 来证 已知： 如图，在△ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C D 证明： 作底边的中线 AD ， 则 BD = CD . AB = AC ( 已知 ) ， BD = CD ( 已作 ) ， AD = AD ( 公共边 ) ， ∴ △ BAD ≌ △ CAD (SSS). ∴ ∠ B = ∠ C ( 全等三角形的对应角相等 ). 在△ BAD 和△ CAD 中 方法一：作底边上的中线 还有其他的证法吗？ 已知： 如图，在△ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C D 证明： 作顶角的平分线 AD ， 则∠ BAD =∠ CAD . AB = AC ( 已知 ), ∠ BAD =∠ CAD ( 已作 ), AD = AD ( 公共边 ), ∴ △ BAD ≌ △ CAD (SAS). ∴ ∠ B = ∠ C ( 全等三角形的对应角相等 ). 方法二：作顶角的平分线 在△ BAD 和△ CAD 中 想一想： 由△ BAD ≌ △ CAD ，除了可以得到∠ B = ∠ C 之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ 解： ∵ △ BAD ≌ △ CAD ，由全等三角形的性质易得 B D = C D, ∠ ADB =∠ ADC ， ∠ BAD =∠ CAD . 又 ∵ ∠ ADB +∠ ADC =180 °， ∴ ∠ ADB =∠ ADC = 90 ° ， 即 AD 是等腰△ ABC 底边 BC 上的中线、顶角 ∠ BAC 的角平分线、底边 BC 上的高线 . A B C D 性质 1: 等腰三角形的两个底角相等 ( 等边对等角 ). A C B 如图 , 在△ ABC 中 , ∵ AB = AC ( 已知 ), ∴∠ B =∠ C ( 等边对等角 ). 证明后的结论 , 以后可以直接运用 . 总结归纳 性质 2: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 ( 三线合一 ） . A C B D 1 2 ∵ AB = AC , ∠1=∠2( 已知 ) ， ∴ BD = CD , AD ⊥ BC （等腰三角形三线合一） . ∵ AB = AC , BD = CD ( 已知 ) ， ∴ ∠1=∠2, AD ⊥ BC （等腰三角形三线合一） . ∵ AB = AC , AD ⊥ BC ( 已知 ) ， ∴ BD = CD , ∠1=∠2 （等腰三角形三线合一） . 综上可得：如图 , 在△ ABC 中 , 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 为什么不一样? “ 三线合一” 的操作 1. 等腰三角形的顶角一定是锐角 . 2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以 . 3. 钝角三角形不可能是等腰三角形 . 4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边 . 5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合 . 6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角 . （ X ） （ X ） （ X ） （ X ） （ √ ） 明辨是非 （ √ ） A B C D 例 1 如图，在 △ ABC 中 ， AB = AC ， 点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD ， 求 △ ABC 各角的度数 . 典例精析 分析： （ 1 ） 找出图中所有相等的角； （ 2 ） 指出图中有几个等腰三角形？ ∠ A =∠ ABD , ∠ C =∠ BDC =∠ ABC ； △ ABC , △ ABD , △ BCD . A B C D x ⌒ 2 x ⌒ 2 x ⌒ ⌒ 2 x （ 3 ）观察∠ BDC 与∠ A 、∠ ABD 的关系，∠ ABC 、∠ C 呢？ ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD =2 ∠ A =2 ∠ ABD , ∠ ABC = ∠ BDC =2 ∠ A , ∠ C = ∠ BDC =2 ∠ A . （ 4 ）设∠ A = x ° , 请把△ ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来 . ∵ ∠ A + ∠ ABC + ∠ C =180 ° ， ∴ x +2 x +2 x =180 °, A B C D 解： ∵ AB=AC ， BD=BC=AD ， ∴∠ ABC=∠C=∠BDC ， ∠ A=∠ABD . 设 ∠ A = x , 则 ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD =2 x , 从而 ∠ ABC = ∠ C = ∠ BDC =2 x , 于是在 △ ABC 中，有 ∠ A +∠ ABC +∠ C = x +2 x +2 x =180 ° ， 解得 x =36 ° ， 在 △ ABC 中， ∠ A =36° ，∠ ABC =∠ C =72°. x ⌒ 2 x ⌒ 2 x ⌒ ⌒ 2 x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解 . 归纳 如图，在△ ABC 中， AB=AD=DC ，∠ BAD=26° ，求∠ B 和∠ C 的度数 . 解：∵ AB=AD=DC ∴ ∠ B= ∠ ADB ，∠ C= ∠ DAC 设 ∠ C= x ，则 ∠ DAC= x ， ∠ B= ∠ ADB= ∠ C+ ∠ DAC=2 x ， 在△ ABC 中， 根据三角形内角和定理，得 2 x + x +26 ° + x =180 °， 解得 x =38.5 ° . ∴ ∠ C= x =38.5° ， ∠ B=2 x =77°. 针对训练： 例 2 等腰三角形的一个内角是 50 ° ，则这个三角形的底角的大小是 ( 　　 ) A ． 65 ° 或 50 ° B ． 80 ° 或 40 ° C ． 65 ° 或 80 ° D ． 50 ° 或 80 ° 解析：当 50 °的角是底角时，三角形的底角就是 50 °；当 50 °的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65 ° . 故选 A. A 方法总结： 等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 例 3 已知点 D 、 E 在 △ ABC 的边 BC 上， AB ＝ AC . (1) 如图 ① ， 若 AD ＝ AE ，求证： BD ＝ CE ； (2) 如图 ② ，若 BD ＝ CE ， F 为 DE 的中点，求证： AF ⊥ BC . 典例精析 图 ② 图 ① 证明： (1) 如图 ① ，过 A 作 AG ⊥ BC 于 G . ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， ∴ BG ＝ CG ， DG ＝ EG ， ∴ BG － DG ＝ CG － EG ， ∴ BD ＝ CE ； (2)∵ BD ＝ CE ， F 为 DE 的中点， ∴ BD ＋ DF ＝ CE ＋ EF ， ∴ BF ＝ CF . ∵ AB ＝ AC ， ∴ AF ⊥ BC . 图 ② 图 ① G 方法总结： 在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 当堂练习 2. 如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD ∥ BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　） A．40° B．30° C．70° D．50° A 1. 等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° B 3.(1) 等腰三角形一个底角 为 75° , 它的另外两个角为 _ ___ __ ； (2) 等腰三角形一个角为 36° , 它的另外两个角为 ____________________ ； (3) 等腰三角形一个角为 120° , 它的另外两个角为 _ ___ __ . 75°, 30° 72°,72° 或 36°,108° 30° ， 30° 4. 在△ ABC 中， AB=AC ， AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交得的锐角为 50° ，则底角的大小为 ___________ ． A B C A B C 70° 或 20 ° 注意： 当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论 . 5. 如图，在 △ABC 中， AB = AC ， D 是 BC 边上的中点， ∠B = 30° ，求 ∠BAD 和 ∠ADC 的度数 . A B C D 解： ∵AB=AC ， D 是 BC 边上的中点， ∴ ∠C= ∠ B=30° ， ∠BAD = ∠ DAC ， ∠ADC = 90°. ∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°. ∴ = 60°. 6. 如图，已知 △ ABC 为等腰三角形， BD 、 CE 为底角的平分线，且 ∠ DBC ＝ ∠ F ，求证： EC∥DF . ∴∠ DBC ＝ ∠ ECB . ∵∠ DBC ＝ ∠ F ， ∴∠ ECB ＝ ∠ F ， ∴ EC∥DF . 证明： ∵△ ABC 为等腰三角形， AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝ ∠ ACB . 又 ∵ BD 、 CE 为底角的平分线， ∴ 7.A 、 B 是 4×4 网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为 1 ，请在图中标出使以 A 、 B 、 C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置． A B 分别以 A 、 B 、 C 为顶角 顶点来分类讨论！ 8 个 这样分类就不会漏啦！ C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 拓展提升： 课堂小结 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线 , 底边上的高和中线才有这一性质 . 而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质 .