2019届二轮复习第1讲　函数的图象与性质课件（51张）（全国通用）

2019届二轮复习第1讲　函数的图象与性质课件（51张）（全国通用）

第 1 讲　函数的图象与性质 专题六　函数与导数 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下 . 2 . 对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题 . 3 . 对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数 . 常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 1. 单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质 . 利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论 . 复合函数的单调性遵循 “ 同增异减 ” 的原则 . 2. 奇偶性 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 . (2) 在公共定义域内： ① 两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ② 两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③ 一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数 . 热点一　函数的性质及应用 (3) 若 f ( x ) 是奇函数且在 x ＝ 0 处有定义，则 f (0) ＝ 0. (4) 若 f ( x ) 是偶函数，则 f ( x ) ＝ f ( － x ) ＝ f (| x |). (5) 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称 . 3. 周期性 定义：周期性是函数在定义域上的整体性质 . 若函数在其定义域上满足 f ( a ＋ x ) ＝ f ( x )( a ≠ 0) ，则其一个周期 T ＝ | a |. 常见结论： (1) 若 f ( x ＋ a ) ＝－ f ( x ) ，则函数 f ( x ) 的最小正周期为 2| a | ， a ≠ 0. 例 1 　 (1)(2018· 贵州省黔东南州模拟 ) 设函数 f ( x ) ＝ 的 最大值为 M ，最小值为 N ，则 ( M ＋ N － 1) 2 018 的值为 A.1 B.2 C.2 2 018 D.3 2 018 解析 答案 √ 由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为 0 ， M ＋ N ＝ f ( x ) max ＋ f ( x ) min ＝ g ( x ) max ＋ 1 ＋ g ( x ) min ＋ 1 ＝ 2 ， ( M ＋ N － 1) 2 018 ＝ 1 ，故选 A. 解析 答案 (2)(2018· 上饶模拟 ) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足：函数 y ＝ f ( x － 1) 的图象关于点 (1,0) 对称，且 x ≥ 0 时恒有 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) ＝ e x － 1 ，则 f ( － 2 017) ＋ f (2 018) ＝ ________. 1 － e 解析　 因为函数 y ＝ f ( x － 1) 的图象关于点 (1,0) 对称，所以 y ＝ f ( x ) 的图象关于原点对称， 又定义域为 R ，所以函数 y ＝ f ( x ) 是奇函数，因为 x ≥ 0 时恒有 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ， 所以 f ( － 2 017) ＋ f (2 018) ＝－ f (2 017) ＋ f (0) ＝－ f (1) ＋ f (0) ＝－ (e 1 － 1) ＋ (e 0 － 1) ＝ 1 － e . (1) 可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值 . (2) 利用函数的单调性解不等式的关键是化成 f ( x 1 )< f ( x 2 ) 的形式 . 思维升华 答案 解析 √ 解析 　函数 f ( x ) 为偶函数，且当 x ≥ 0 时，函数为减函数，当 x <0 时，函数为增函数 . 若 对任意的 x ∈ [ m ， m ＋ 1] ，不等式 f (1 － x ) ≤ f ( x ＋ m ) 恒成立 ， 则 |1 － x | ≥ | x ＋ m | ，即 (1 － x ) 2 ≥ ( x ＋ m ) 2 ，所以 2(1 ＋ m ) x ≤ (1 ＋ m )(1 － m ). 当 m ＋ 1 ＝ 0 时，不等式成立； 解析 答案 (2)(2018· 全国 Ⅱ ) 已知 f ( x ) 是定义域为 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 的奇函数，满足 f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ). 若 f (1) ＝ 2 ，则 f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ … ＋ f (50) 等于 A. － 50 B.0 C.2 D.50 √ 解析 　 ∵ f ( x ) 是奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， ∴ f (1 － x ) ＝－ f ( x － 1). ∵ f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) ， ∴ － f ( x － 1) ＝ f ( x ＋ 1) ， ∴ f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ， ∴ f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ＋ 2) ＝－ [ － f ( x )] ＝ f ( x ) ， ∴ 函数 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数 . 由 f ( x ) 为奇函数且定义域为 R 得 f (0) ＝ 0 ， 又 ∵ f (1 － x ) ＝ f (1 ＋ x ) ， ∴ f ( x ) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称， ∴ f (2) ＝ f (0) ＝ 0 ， ∴ f ( － 2) ＝ 0 . 又 f (1) ＝ 2 ， ∴ f ( － 1) ＝－ 2 ， ∴ f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ f (4) ＝ f (1) ＋ f (2) ＋ f ( － 1) ＋ f (0) ＝ 2 ＋ 0 － 2 ＋ 0 ＝ 0 ， ∴ f (1) ＋ f (2) ＋ f (3) ＋ f (4) ＋ … ＋ f (49) ＋ f (50) ＝ 0 × 12 ＋ f (49) ＋ f (50) ＝ f (1) ＋ f (2) ＝ 2 ＋ 0 ＝ 2. 故选 C. 1. 作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换 . 2. 利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点 . 热点二　函数图象及应用 解析 答案 √ 解析 　 ∵ y ＝ e x － e － x 是奇函数， y ＝ x 2 是偶函数， 解析 答案 (2)(2018· 河南省中原名校模拟 ) 函数 f ( x ) ＝ e x ＋ a e － x 与 g ( x ) ＝ x 2 ＋ ax 在同一坐标系内的图象不可能是 √ 解析　 因为 g ( x ) ＝ x 2 ＋ ax 的图象过原点 ， 所以 图象中过原点的抛物线是函数 g ( x ) 的图象 ， 在 选项 C 中，上面的图象是函数 f ( x ) 的图象，下面的是函数 g ( x ) 的图象， 所以 f ′ ( x )>0 在 R 上恒成立 ， 所以 函数 f ( x ) 在定义域内单调递增，不是选项 C 中的图象，故选 C. (1) 根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法 . ( 2) 判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选 . 要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值 . 思维升华 答案 解析 √ 解析　 由于 x ≠ 0 ，故排除 A. 又函数 f ( x ) 的定义域为 (1 ，＋ ∞ ) ∪ ( － ∞ ，－ 1) ， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除 C. 答案 解析 √ 解析　 对于 A ，当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ | x | ，且 x ≠ 0 ，故可能； 1. 指数函数 y ＝ a x ( a >0 ， a ≠ 1) 与对数函数 y ＝ log a x ( a >0 ， a ≠ 1) 的图象和性质，分 0< a <1 ， a >1 两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质 . 2. 幂函数 y ＝ x α 的图象和性质，主要掌握 α ＝ 1,2,3 ， ，－ 1 五种情况 . 热点三　基本初等函数的图象和 性质 例 3 　 (1)(2017· 全国 Ⅰ ) 设 x ， y ， z 为正数，且 2 x ＝ 3 y ＝ 5 z ，则 A.2 x <3 y <5 z B.5 z <2 x <3 y C.3 y <5 z <2 x D.3 y <2 x <5 z 答案 解析 √ 解析 　 令 t ＝ 2 x ＝ 3 y ＝ 5 z ， ∵ x ， y ， z 为正数， ∴ t >1. ∴ 2 x >3 y . ∴ 2 x <5 z ， ∴ 3 y <2 x <5 z . 故选 D. 答案 解析 √ (1) 指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力 . (2) 比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性 . 思维升华 跟踪演练 3 　 (1)(2018· 天津 ) 已知 a ＝ log 2 e ， b ＝ ln 2 ， c ＝ ，则 a ， b ， c 的大小关系为 A. a > b > c B. b > a > c C. c > b > a D. c > a > b 答案 解析 √ 解析　 c ＝ ＝ log 2 3>log 2 e ＝ a ，即 c > a . 即 a > b . 所以 c > a > b . 故选 D. (2) 对任意实数 a ， b 定义运算 “ Δ ” ： a Δ b ＝ 设 f ( x ) ＝ 3 x ＋ 1 Δ ( 1 － x ) ，若函数 f ( x ) 与函数 g ( x ) ＝ x 2 － 6 x 在区间 ( m ， m ＋ 1) 上均为减函数 ， 则 实数 m 的取值范围是 A.[ － 1,2] B .( 0,3] C .[0,2] D .[1,3] 答案 √ 解析 ∴ 函数 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减，函数 g ( x ) ＝ ( x － 3) 2 － 9 在 ( － ∞ ， 3] 上单调递减，若函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在区间 ( m ， m ＋ 1) 上均为减函数， 真题押题精练 1.(2018· 全国 Ⅲ 改编 ) 函数 y ＝－ x 4 ＋ x 2 ＋ 2 的图象大致为 _____.( 填序号 ) 真题体验 答案 解析 ④ 解析　 方法一 　 f ′ ( x ) ＝－ 4 x 3 ＋ 2 x ， 方法二 　当 x ＝ 1 时， y ＝ 2 ，所以排除 ①② . 当 x ＝ 0 时， y ＝ 2 ， 2.(2017· 天津改编 ) 已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数， g ( x ) ＝ xf ( x ). 若 a ＝ g ( － log 2 5.1) ， b ＝ g (2 0.8 ) ， c ＝ g (3) ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ________. 解析 答案 b < a < c 解析　 依题意 a ＝ g ( － log 2 5.1 ) ＝ ( － log 2 5.1)· f ( － log 2 5.1) ＝ log 2 5.1 f (log 2 5.1) ＝ g (log 2 5.1). 因为 f ( x ) 在 R 上是增函数，可设 0< x 1 < x 2 ， 则 0< f ( x 1 )< f ( x 2 ). 从而 x 1 f ( x 1 )< x 2 f ( x 2 ) ，即 g ( x 1 )< g ( x 2 ). 所以 g ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上亦为增函数 . 又 log 2 5.1>0,2 0.8 >0,3>0 ， 且 log 2 5.1log 2 5.1>2 0.8 >0 ，所以 c > a > b . 6 答案 解析 解析 　 若 0< a <1 ，由 f ( a ) ＝ f ( a ＋ 1) ， 若 a ≥ 1 ，由 f ( a ) ＝ f ( a ＋ 1) ， 得 2( a － 1) ＝ 2( a ＋ 1 － 1) ，无解 . 解析 4.(2017· 全国 Ⅱ ) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈ ( － ∞ ， 0) 时， f ( x ) ＝ 2 x 3 ＋ x 2 ，则 f (2) ＝ ______. 答案 12 解析　 方法一 　令 x >0 ，则－ x <0. ∴ f ( － x ) ＝－ 2 x 3 ＋ x 2 . ∵ 函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ). ∴ f ( x ) ＝ 2 x 3 － x 2 ( x >0). ∴ f (2) ＝ 2 × 2 3 － 2 2 ＝ 12. 方法二 　 f (2) ＝－ f ( － 2) ＝－ [2×( － 2) 3 ＋ ( － 2) 2 ] ＝ 12. 押题预测 答案 解析 押题依据 押题依据 　指数、对数、幂函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置 . 1. 在同一直角坐标系中，函数 f ( x ) ＝ x a ( x ≥ 0) ， g ( x ) ＝ log a x 的图象可能 是 √ 解析 　方法一 　分 a >1,0< a <1 两种情形讨论 . 当 a >1 时， y ＝ x a 与 y ＝ log a x 均为增函数，但 y ＝ x a 递增较快，排除 C ； 当 0< a <1 时， y ＝ x a 为增函数， y ＝ log a x 为减函数，排除 A. 由于 y ＝ x a 递增较慢，故选 D. 方法二 　幂函数 f ( x ) ＝ x a 的图象不过 (0,1) 点，排除 A ； B 项中由对数函数 g ( x ) ＝ log a x 的图象知 0< a <1 ，而此时幂函数 f ( x ) ＝ x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故 B 错， D 正确 ； C 项中由对数函数 g ( x ) ＝ log a x 的图象知 a >1 ，而此时幂函数 g ( x ) ＝ x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故 C 错 . √ 答案 解析 押题依据 押题依据 　利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，考查学生思维的灵活性 . 可得 f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，则当 x ∈ [ － 2 ，－ 1] 时， x ＋ 4 ∈ [2,3] ， f ( x ) ＝ f ( x ＋ 4) ＝ x ＋ 4 ＝ x ＋ 1 ＋ 3 ； 当 x ∈ [ － 1,0] 时，－ x ∈ [0,1] ， 2 － x ∈ [2,3] ， f ( x ) ＝ f ( － x ) ＝ f (2 － x ) ＝ 2 － x ＝ 3 － x － 1 ，故选 D. √ 答案 解析 押题依据 押题依据 　图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力 . ∴ f ( x ) 的定义域为 { x | x > － 1 且 x ≠ 0}. 当－ 1< x <0 时， g ′ ( x )>0 ；当 x >0 时， g ′ ( x )<0. ∴ f ( x ) 在区间 ( － 1,0) 上为减函数，在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数，对照各选项，只有 B 符合 . 解析 押题依据 押题依据 　分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点 . 本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质 . 答案 ( － 2,0) ∪ (0,2) 所以函数 h ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减， 因为函数 h ( x )( x ≠ 0) 为偶函数，且 h ( t )> h (2) ， 所以 h (| t |)> h (2) ，所以 0<| t |<2 ， 解得－ 2< t <0 或 0< t <2. 综上，所求实数 t 的取值范围为 ( － 2,0) ∪ (0,2).