高中数学北师大版新教材必修一同步课件：7-2-2　互斥事件的概率

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第 2 课时　互斥事件的概率 必备知识 · 自主学习 互斥事件的概率加法公式 (1) 在一个试验中 , 如果事件 A 和事件 B 是互斥事件 , 那么有 P(A∪B)=__________. 特别地 ,P(A)=_________. (2) 一般地 , 如果事件 A 1 ,A 2 ,…,A n 两两互斥 , 那么有 P(A 1 ∪A 2 ∪…∪A n )= ____________________. 导思 1. 互斥事件的概率加法公式是什么 ? 2. 两个对立事件的概率有什么关系 ? P(A)+P(B) 1-P( ) P(A 1 )+P(A 2 )+…+P(A n ) 【 思考 】 (1) 设事件 A 发生的概率为 P(A), 事件 B 发生的概率为 P(B), 那么事件 A∪B 发生的概率是 P(A)+P(B) 吗 ? 提示 : 不一定 . 当事件 A 与 B 互斥时 ,P(A∪B)=P(A)+P(B); 当事件 A 与 B 不互斥时 ,P(A∪B)≠P(A)+P(B). (2) 从某班任选 6 名同学作为志愿者参加市运动会服务工作 , 记 “其中至少有 3 名女同学”为事件 A, 那么事件 A 的对立事件 是什么 ? 提示 : 事件 A 的对立事件 是“其中至多有 2 名女同学” . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 若 A 与 B 为互斥事件 , 则 P(A)+P(B)=1. ( 　　 ) (2) 若 P(A)+P(B)=1, 则事件 A 与 B 为对立事件 . ( 　　 ) (3) 某班统计同学们的数学测试成绩 , 事件“所有同学的成绩都在 60 分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在 60 分以下” . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 只有当 A 与 B 为对立事件时 ,P(A)+P(B)=1. (2)×. 若 P(A)+P(B)=1,A 与 B 不一定互斥 , 更谈不上对立了 . (3)×. 事件 “ 所有同学的成绩都在 60 分以上 ” 的对立事件为 “ 至少有一个同学的成绩在 60 分及以下 ” . 2.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 甲、乙两队进行足球比赛 , 若两队战平的概率 是 , 乙队胜的概率是 , 则甲队胜的概率是 　　　　 .  【 解析 】 记甲队胜为事件 A, 则 P(A)=1- - = . 答案 : 3. 中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛 , 甲夺得 冠军的概率为 , 乙夺得冠军的概率为 , 那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军 的概率为 　　　　 .  【 解析 】 由于事件 “ 中国队夺得女子乒乓球单打冠军 ” 包括事件 “ 甲夺得冠 军 ” 和 “ 乙夺得冠军 ” , 但这两个事件不可能同时发生 , 即彼此互斥 , 所以可按 互斥事件概率的加法公式进行计算 , 即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率 为 + = . 答案 : 关键能力 · 合作学习 类型一　互斥事件的概率加法公式和对立事件概率公式 ( 数学运算 ) 【 典例 】 一盒中装有各色球 12 个 , 其中 5 个红球、 4 个黑球、 2 个白球、 1 个绿球 . 从中随机取出 1 球 , 求 : (1) 取出 1 球是红球或黑球的概率 ; (2) 取出的 1 球是红球或黑球或白球的概率 . 【 思路导引 】 可以用古典概型的定义法求解 , 也可用互斥事件的概率加法公式 , 还可用对立事件法逆向思维 . 【 解析 】 方法一 :(1) 从 12 个球中任取 1 球是红球有 5 种取法 , 是黑球有 4 种取法 , 是红球或黑球共有 5+4=9 种不同取法 , 任取 1 球有 12 种取法 , 所以任取 1 球是红球或黑球的概率为 P 1 = (2) 从 12 个球中任取 1 球是红球有 5 种取法 , 是黑球有 4 种取法 , 是白球有 2 种取法 , 从而是红球或黑球或白球的概率为 方法二 :( 利用互斥事件求概率 ) 记事件 A 1 ={ 任取 1 球为红球 },A 2 ={ 任取 1 球为黑球 },A 3 ={ 任取 1 球为白球 },A 4 ={ 任 取 1 球为绿球 }, 则 P(A 1 )= ,P(A 2 )= ,P(A 3 )= ,P(A 4 )= . 根据题意知 , 事件 A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 彼此互斥 , 由互斥事件概率公式 , 得 (1) 取出 1 球是红球或黑球的概率为 P(A 1 ∪A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )= + = . (2) 取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为 P(A 1 ∪A 2 ∪A 3 )=P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )= + + = . 方法三 :( 利用对立事件求概率 ) (1) 由方法二知 , 取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球 , 即 A 1 ∪A 2 的对立事件为 A 3 ∪A 4 , 所以取得 1 球为红球或黑球的概率为 P(A 1 ∪A 2 )=1- P(A 3 ∪A 4 )=1-P(A 3 )-P(A 4 )=1- - = = . (2)A 1 ∪A 2 ∪A 3 的对立事件为 A 4 , 所以 P(A 1 ∪A 2 ∪A 3 )=1-P(A 4 )=1- = . 【 解题策略 】 概率公式的应用 (1) 互斥事件的概率加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B) 是一个非常重要的公式 , 运用该公式解题时 , 首先要分清事件间是否互斥 , 同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件 , 然后求出各事件的概率 , 用加法公式得出结果 . (2) 当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时 , 可先计算出其对立事件的个数 , 求得对立事件的概率 , 然后利用对立事件的概率加法公式 P(A)+P(B)=1, 求出符合条件的事件的概率 . 【 跟踪训练 】 1. 在数学考试中 , 小王的成绩在 90 分以上 ( 含 90 分 ) 的概率是 0.18, 在 80 ～ 89 分的概率是 0.51, 在 70 ～ 79 分的概率是 0.15, 在 60 ～ 69 分的概率是 0.09, 在 60 分以下 ( 不含 60 分 ) 的概率是 0.07. 求 : (1) 小王在数学考试中取得 80 分以上 ( 含 80 分 ) 成绩的概率 ; (2) 小王数学考试及格的概率 . 【 解析 】 设小王的成绩在 90 分以上 ( 含 90 分 ) 、在 80 ～ 89 分、在 60 分以下 ( 不含 60 分 ) 分别为事件 A,B,C, 且 A,B,C 两两互斥 . (1) 设小王的成绩在 80 分以上 ( 含 80 分 ) 为事件 D, 则 D=A∪B, 所以 P(D)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.18+0.51=0.69. (2) 设小王数学考试及格为事件 E, 由于事件 E 与事件 C 为对立事件 , 所以 P(E)=1-P(C)=1-0.07=0.93. 2. 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员 , 某些队员不只参加了一支球队 , 具体情况如图所示 . 现从中随机抽取一名队员 , 求 : (1) 该队员只属于一支球队的概率 ; (2) 该队员最多属于两支球队的概率 . 【 解析 】 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件 A,B,C. 由题图知 3 支球队共有球员 20 名 , 则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= . (1) 令“抽取一名队员 , 该队员只属于一支球队”为事件 D. 则 D=A∪B∪C, 因为事件 A,B,C 两两互斥 , 所以 P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = . (2) 令“抽取一名队员 , 该队员最多属于两支球队”为事件 E, 则 为“抽取一名 队员 , 该队员属于 3 支球队” , 所以 P(E)=1-P( )=1- = . 【 补偿训练 】 从甲地到乙地沿某条公路行驶一共 200 公里 , 遇到红灯个数的概率如表所示 : 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6 个及 6 个以上 概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03 (1) 求表中字母 a 的值 ; (2) 求至少遇到 4 个红灯的概率 ; (3) 求至多遇到 5 个红灯的概率 . 【 解析 】 (1) 由题意可得 0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1, 解得 a=0.2. (2) 设事件 A 为遇到红灯的个数为 4, 事件 B 为遇到红灯的个数为 5, 事件 C 为遇到红 灯的个数为 6 个及以上 , 则事件 “ 至少遇到 4 个红灯 ” 为 A∪B∪C, 因为事件 A,B,C 互斥 , 所以 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33, 即至少遇到 4 个红灯的概率为 0.33. (3) 设事件 D 为遇到 6 个及 6 个以上红灯 , 则至多遇到 5 个红灯为事件 . 则 P( )=1-P(D)=1-0.03=0.97. 类型二　概率与统计的综合问题 ( 数据分析 , 数学运算 ) 【 典例 】 (2019· 天津高考 )2019 年 , 我国施行个人所得税专项附加扣除办法 , 涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除 . 某单位老、中、青员工分别有 72,108,120 人 , 现采用分层抽样的方法 , 从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况 . (1) 应从老、中、青员工中分别抽取多少人 ? (2) 抽取的 25 人中 , 享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人 , 分别记为 A,B,C,D,E,F. 享受情况如表 , 其中“○”表示享受 ,“×” 表示不享受 . 现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访 . 　　　员工 项目　　　 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ① 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果 ; ② 设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同” , 求事件 M 发生的概率 . 【 思路导引 】 (1) 根据题中所给的老、中、青员工人数 , 求得人数比 , 利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的 , 结合样本容量求得结果 ;(2)① 根据 6 人中随机抽取 2 人 , 将所有的结果一一列出 ;② 根据题意 , 找出满足条件的样本点 , 利用公式求得概率 . 【 解析 】 (1) 由已知 , 老、中、青员工人数之比为 6∶9∶10, 由于采取分层抽样的方法从中抽取 25 位员工 , 因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人 ,9 人 ,10 人 . (2)① 从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 {A,B},{A,C},{A,D}, {A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F}, {E,F}, 共 15 种 ; ② 由表格知 , 符合题意的所有可能结果为 {A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D}, {B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F}, 共 11 种 , 所以事件 M 发生的概率 P(M) = 【 变式探究 】 在本例中 , 设 N 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除都不相同” , 求事件 N 发 生的概率 . 【 解析 】 方法一 : 由例题的解答可知 , 事件 N 包含的结果为 {A ， C} ， {B ， C} ， {C ， D} ， {D ， E} ， 共 4 种 , 所以 P(N)= . 方法二 : 由例题的解答可知事件 M 和事件 N 为对立事件 , 所以 P(N)=1-P(M)= 1- = . 【 解题策略 】 解决古典概型有关问题的方法 解决古典概型有关问题时 , 把相关的知识转化为事件 , 列举样本点 , 求出样本点和样本空间 , 然后利用古典概型的概率计算公式进行计算 . 【 跟踪训练 】 某汽车美容公司为吸引顾客 , 推出优惠活动 : 对首次消费的顾客 , 按 200 元 / 次收费 , 并注册成为会员 , 对会员逐次消费给予相应优惠 , 标准如表 : 消费 次数 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 5 次及 以上 收费 比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80 该公司从注册的会员中 , 随机抽取了 100 位进行统计 , 得到统计数据如表 : 消费 次数 1 次 2 次 3 次 4 次 5 次及 以上 频数 60 20 10 5 5 假设汽车美容一次 , 公司成本为 150 元 , 根据所给数据 , 解答下列问题 : (1) 估计该公司一位会员至少消费两次的概率 ; (2) 某会员仅消费两次 , 求这两次消费中 , 公司获得的平均利润 ; (3) 该公司要从这 100 位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出 8 人 , 再从这 8 人中抽出 2 人发放纪念品 , 求抽出的 2 人中恰有 1 人消费两次的概率 . 【 解析 】 (1)100 位会员中 , 至少消费两次的会员有 40 位 , 所以估计一位会员至少 消费两次的概率为 =0.4. (2) 该会员第 1 次消费时 , 公司获得的利润为 200-150=50( 元 ), 第 2 次消费时 , 公司 获得的利润为 200×0.95-150=40( 元 ), 所以 , 公司获得的平均利润为 =45( 元 ). (3) 因为 20∶10∶5∶5=4∶2∶1∶1, 所以用分层抽样方法抽出的 8 人中 , 消费 2 次的有 4 人 , 分别设为 A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 , 消费 3 次的有 2 人 , 分别设为 B 1 ,B 2 , 消费 4 次 和 5 次及以上的各有 1 人 , 分别设为 C,D, 从中抽出 2 人 , 抽到 A 1 的有 A 1 A 2 ,A 1 A 3 , A 1 A 4 ,A 1 B 1 ,A 1 B 2 ,A 1 C,A 1 D, 共 7 种 ; 去掉 A 1 后 , 抽到 A 2 的有 A 2 A 3 ,A 2 A 4 ,A 2 B 1 ,A 2 B 2 ,A 2 C,A 2 D, 共 6 种 ; …… 去掉 A 1 ,A 2 , A 3 ,A 4 ,B 1 ,B 2 后 , 抽到 C 的有 :CD, 共 1 种 , 总的抽取方法有 7+6+5+4+3+2+1=28( 种 ), 其中恰有 1 人消费两次的抽取方法有 4+4+4+4=16( 种 ), 所以 , 抽出的 2 人中恰有 1 人消费两次的概率为 课堂检测 · 素养达标 1. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球 , 从中摸出 1 个球 , 摸出红球的概率是 0.42, 摸出白球的概率是 0.28, 那么摸出黑球的概率是 ( 　　 ) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7 【 解析 】 选 C. 因为摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件 , 所以摸出黑球的概率是 1-0.42-0.28=0.3. 2. 甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是 0.2, 没有平局 , 那么乙获胜的概率为 ( 　　 ) A.0.2 B.0.8 C.0.4 D.0.1 【 解析 】 选 B. 乙获胜的概率为 1-0.2=0.8. 3. 如图所示 , 靶子由一个中心圆面 Ⅰ 和两个同心圆环 Ⅱ 、 Ⅲ 构成 , 射手命中 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 的概率分别为 0.35 、 0.30 、 0.25, 则不命中靶的概率是 　　　　 .  【 解析 】 “ 射手命中圆面 Ⅰ” 为事件 A,“ 命中圆环 Ⅱ” 为事件 B,“ 命中圆环 Ⅲ” 为事件 C,“ 不中靶”为事件 D, 则 A 、 B 、 C 彼此互斥 , 故射手中靶的概率为 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90. 因为中靶和不中靶是对立事件 , 故不命中靶的概率为 P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10. 答案 : 0.10 4. 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中 , 任取 2 个点 , 则这 2 个点的距离不小于 该正方形边长的概率为 　　　　 .  【 解析 】 取两个点的所有情况为 10 种 , 所有距离不小于正方形边长的情况有 6 种 , 概率为 答案 : 5.( 教材二次开发 : 习题改编 ) 甲、乙两人下棋 , 平局的概率是 , 乙获胜的概 率是 , 则乙不输的概率是 　　　　 .  【 解析 】 乙不输表示为平局或获胜 , 故其概率为 P= + = . 答案 :